¿Te tocó ayer la lotería? Da lo mismo, eres la persona más rica del mundo

Platón: Lo que está diciendo Aristóteles es falso.
Aristóteles: Lo que acaba de decir Platón es verdad [2].

Platón y Aristóteles (detalle de La escuela de Atenas de Raffaello, 1509).

Platón y Aristóteles (detalle de La escuela de Atenas de Raffaello, 1509).

Eres la persona más rica del mundo… Y te lo voy a demostrar utilizando ese método que tanto nos gusta a las gentes de matemáticas: la reducción al absurdo.

Lee estas tres sentencias que, de momento, no sabemos si son verdaderas o falsas:

  1. La tercera frase es verdadera y eres la persona más rica del mundo.

  2. La tercera frase no es verdadera.

  3. Una al menos de las dos primeras frases es verdadera.

Ahora razonemos por reducción al absurdo: Supongamos que la sentencia 3. es falsa; eso significa que ninguna de las frases 1. y 2. es verdadera. Como 2. es falsa, la sentencia 3. es verdadera. Luego la sentencia 3. es a la vez falsa (por hipótesis) y verdadera (lo acabamos de deducir), con lo que llegamos a una contradicción.

Como la hipótesis de que la sentencia 3. es falsa nos lleva a una contradicción, se concluye que 3. debe de ser necesariamente verdadera. Por lo tanto, la sentencia 2. es falsa, y deducimos entonces que la sentencia 1. debe de ser verdadera (ya que al menos una de las sentencias 1. o 2. es verdadera, según afirma 3.). Por lo tanto, como 1. esverdadera, eres la persona más rica del mundo, como queríamos probar.

Sin embargo, conoces a gente mucho más rica que tú… ¿Qué es lo que hemos hecho mal? Nada, ésta es una conocida paradoja llamada autorreferencial: hemos aceptado desde el principio que las sentencias anteriores eran verdaderas o falsas y, sin haber cometido ningún error en el razonamiento, hemos llegado a una contradicción.

La conversación entre Platón y Aristóteles que inicia esta entrada es también autorreferencial: las frases que la componen no pueden ser ni verdaderas ni falsas.

Varias teorías han intentado explicar este tipo de paradojas; una de ellas consiste simplemente en afirmar –por decreto– que este tipo de argumentos no son ni verdaderos ni falsos, y deben suprimirse al ser incorrectos. Sin embargo, se trata de una solución demasiado drástica, ya que no todas las frases autorreferenciales son problemáticas, como por ejemplo:

Estoy escribiendo esta frase.

M.C. Escher, Drawing Hands, 1948

M.C. Escher, Drawing Hands, 1948

Existen diferentes propuestas para solucionar esta paradoja, aunque los expertos no consiguen llegar a un acuerdo (ver [2]).

Referencias:

[1] Jean-Paul Delahaye, Vous êtes la personne la plus riche du monde, Accromath 4.1, 2009

[2] Glenn W. Erickson and John A. Fossa, Dictionary of Paradox, University Press Of America 1998

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

Esta entrada participa en la edición 6.9: el conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

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