El teorema de Ducci

Matemoción

Enrico Ducci (1864-1940) fue un matemático italiano del que poco se sabe. Fue docente en enseñanzas medias y en el Colegio Militar de Nápoles, y autor de varios trabajos de matemática recreativa. Se le debe el siguiente reto, planteado en los años 1930, y que fue olvidado hasta la publicación del libro Ingenuity in Mathematics de Ross Honsberger (1970) que lo mencionaba en una de sus páginas.

Coloca cuatro números enteros sobre una circunferencia. Calcula los valores absolutos de las diferencias entre pares de números adyacentes. Escribe estos valores entre los números correspondientes, borra los números anteriores y repite el proceso. ¿Qué sucede?

Para entenderlo mejor, vamos a pensar en lo que se plantea a través de un ejemplo. Elegimos los primeros enteros (-1,22,4,-13) y seguimos las instrucciones de Ducci. Debajo se muestran los resultados de las iteraciones indicadas. ¡Vaya! En siete pasos hemos obtenido la 4-tupla (0,0,0,0), así que el proceso ya ha terminado.

¿Pensáis que había elegido previamente los números para que saliera este extraño resultado? ¿Habrá pasado por casualidad?

No, siempre se llega al mismo resultado que en nuestro ejemplo. De hecho, podríamos llamarlo el teorema de Ducci que se enuncia de este modo:

Dada una 4-tupla, siguiendo las instrucciones de Ducci, tras un número finito de iteraciones, siempre se llega a la 4-tupla (0,0,0,0).

Una prueba de esta propiedad puede encontrarse en [1].

¿Y si cambiamos los cuatro números por otra cantidad? De nuevo, vamos a pensar en un ejemplo. Si tomamos cinco números y realizamos el mismo proceso de antes, las 5-tuplas obtenidas serían:

(2,-4,7,-1,0) – (6,11,8,1,2) – (5,3,7,1,4) – (2,4,6,3,1) – (2,2,3,2,1) – (0,1,1,1,1) – (1,0,0,0,1) – (1,0,0,1,0) – (1,0,1,1,1) – (1,1,0,0,0) – (0,1,0,0,1) – (1,1,0,1,1) – (0,1,1,0,0) – (1,0,1,0,0) – (1,1,1,0,1) – (0,0,1,1,0) – (0,1,0,1,0) – (1,1,1,1,0) – (0,0,0,1,1) – (0,0,1,0,1) – (0,1,1,1,1) – (1,0,0,0,1) – (1,0,0,1,0) – (1,0,1,1,1) – (1,1,0,0,0) – …

No, esta vez no llegamos a una 5-tupla de ceros. Parece que llega un momento en el que las 5-tuplas empiezan a repetirse. De hecho, puede probarse (ver [5]), que si el problema de Ducci se plantea con n-tuplas (donde n es un número natural arbitrario), la sucesión de n-tuplas obtenida se vuelve periódica en un número finito de pasos.

¿El teorema de Ducci solo funciona para n=4? No, fijaos en que le sucede a esta 6-tupla a la que se le aplica la propuesta de Ducci:

(1,2,1,2,1,0) – (1,1,1,1,1,1) – (0,0,0,0,0,0).

Se conjetura, pero aún no se ha demostrado que:

Si n es una potencia de 2, toda sucesión de Ducci de n-tuplas termina en la n-tupla (0,0,…,0) en un número finito de pasos.

Como se comenta en [6], el matemático Sir Bryan Thwaites ofreció en 1996 una cantidad de dinero por la demostración de dos conjeturas. Lo propuso en el artículo Two Conjectures or how to win £1100 publicado en la revista Mathematical Gazette. La primera era la conjetura de Collatz, y ofrecía 1000 libras esterlinas por su solución. El otro problema planteado merecía solo 100 libras de premio:

Tomar una familia cualquiera de n números racionales. Formar otro conjunto tomando los valores absolutos de las diferencias de dos miembros consecutivos del primer conjunto, el último de los cuales es el valor absoluto de la diferencia entre el primero y el último del conjunto original. Iterar. En algún momento el conjunto formado constará solo de ceros si y solo si n es una potencia de 2.

Thwaites se inspiraba en el caso conocido de n=4 demostrado por Ducci. Aunque ser potencia de 2 no es una condición necesaria como hemos visto en el ejemplo de n=6… ¿será suficiente?

Por cierto, quedan otros muchos problemas abiertos relacionados con el teorema de Ducci. ¿Y si en vez de usarse solo números enteros se forman n-tuplas de números reales arbitrarios? Algunos de esos problemas abiertos pueden verse en las referencias.

Referencias

[1] Carlos D’Andrea y Adrián Paenza, Un cuadrado, cuatro números, Pensamiento matemático vol VIII, no. 1, 71-82

[2] Greg Brockman, Ducci Sequences

[3] Marc Chamberland y Diana M. Thomas, The N-Number Ducci Game, Journal of Difference Equations and Applications, vol .10, no. 3 (2004) 339-342

[4] Klaus Sutner, CDM. Iteration II, 2017

[5] Ducci sequence, Wikipedia (consultado el 1 de diciembre de 2018)

[6] Two Puzzles, Futility Closet, 29 noviembre 2018

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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