El teorema de Pitágoras en el arte

Matemoción

No es la primera vez que hablamos del famoso Teorema de Pitágoras en el Cuaderno de Cultura Científica y seguramente no será la última. Esto se debe a que este teorema es, sin lugar a dudas, el resultado matemático más conocido por todo el mundo. Además, se ha convertido en un símbolo de las propias matemáticas. El enorme interés que ha despertado este teorema geométrico en la sociedad ha sido tal que ha trascendido el ámbito de la investigación científica y la enseñanza de las matemáticas, para convertirse en fuente de inspiración en las artes, desde las artes plásticas hasta las artes escénicas, pasando por la literatura, la música o el cine.

Entre las entradas que hemos dedicado al teorema de Pitágoras en el Cuaderno de Cultura Científica, estaban Pitágoras sin palabras, Sin Noticias de Pitágoras (Pitágoras en la Literatura), en la cual presentamos algunas novelas con referencias al Teorema de Pitágoras, y más aún, un primer acercamiento a la pintura y la escultura que se han inspirado en este resultado matemático dentro del arte contemporáneo,Cultura pitagórica: arte.

Empecemos, como de costumbre, recordando el enunciado de este famoso teorema, que hemos aprendido en la escuela y que resuena en nuestra cabeza como si fuera el estribillo de una canción: dado un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. De hecho, existen algunas canciones que hablan del mismo, como la canción Pitágoras del grupo Seguridad Social (que podéis escuchar aquí), que es una versión del tema de 1961 del grupo de rock español Los Milos.

Ese familiar estribillo del Teorema de Pitágoras “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” también lo hemos aprendido a través de su expresión algebraica, es decir, dado un triángulo rectángulo con catetos a y b, e hipotenusa c, entonces a2 + b2 = c2.

El teorema de Pitágoras, “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

La entrada Cultura pitagórica: arte se iniciaba con una serie de obras del artista conceptual estadounidense Mel Bochner (nacido en Pittsburgh, Pensilvania, en 1940). Una parte importante de la obra de este artista está relacionada con los números y las matemáticas. Entre sus obras destacan algunas que reflexionan sobre el Teorema de Pitágoras, como puede verse en esa entrada. En particular, en ella mencionábamos una serie de obras titulada Meditación sobre el Teorema de Pitágoras, en la cual empezó a trabajar a principios de los años 1970 y sobre la que ha continuado trabajando hasta la actualidad.

En esta serie de obras aborda la representación gráfica de la terna pitagórica (3, 4, 5), que satisface la ecuación 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25), y su conexión con el asociado triángulo rectángulo, pero dando mayor importancia a los valores numéricos de la terna pitagórica, 3, 4 y 5, y el valor de sus cuadrados, que representa en sus esculturas con diferentes objetos, desde avellanas, guijarros o cristales, hasta fichas del juego Go.

Versión de libro de artista de la obra Meditación sobre el Teorema de Pitágoras (1993), en la Galería de arte 360º, Tokio (Japón), realizada con fichas del juego Go, 8 copias con fichas blancas, salvo las tres negras de los vértices del triángulo (imagen de abajo), y 4 copias con fichas negras, salvo los vértices (imagen de arriba). Tamaño 60 x 55 x 19 cm. Imágenes de la página web de la Gallery 360º

El diagrama del triángulo de Pitágoras (véase la primera imagen de arriba) con los tres cuadrados adyacentes cuyas áreas simbolizan los cuadrados de los lados correspondientes del triángulo rectángulo y, por lo tanto, el área del cuadrado adyacente a la hipotenusa (c2) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados adyacentes a los catetos (a2 + b2), es un diagrama que nos encontramos en muchas obras. Un ejemplo es la obra Pythagoras (1989) del compositor y artista coreano-americano Nam June Paik (Seúl, Corea del Sur, 1932 – Miami, EE.UU., 2006), uno de los creadores del videoarte.

La obra está formada por 16 televisores, que representan el triángulo rectángulo, con 1, 3, 5 y 7 televisores por fila, 5 tubos de neón azul, para el cuadrado de la hipotenusa, 3 tubos de neón rojo, para el cuadrado del cateto lateral, y 5 tubos de neón verde, para el cuadrado del cateto de la base. Además, las imágenes que se emitían en las televisiones procedían de tres lectores de dvd.

Instalación Pythagoras (1989), del artista Nam June Paik. La obra pertenece a la colección sobre Fluxus de Dino di Maggio, cedida a la Fondation du doute, a cuya página web pertenece la anterior imagen

El artista plástico y matemático francés Pierre Gallais realizó dos instalaciones relacionadas con este diagrama del Teorema de Pitágoras en el año 1990, en el Centro de Arte Contemporáneo de Fleurs (Francia), Pythagore e Intersections.

Pythagore (1990), del artista y matemático francés Pierre Gallais, en el Centro de Arte Comtemporáneo de Fleurs (Francia). Imagen de ARTactif, Digital Art Gallery
Intersections (1990), del artista y matemático francés Pierre Gallais, en el Centro de Arte Comtemporáneo de Fleurs (Francia). Imagen de ARTactif, Digital Art Gallery

Otro de los grandes artistas del siglo XX, el multifacético suizo Max Bill (Winterthur, Suiza, 1908 – Berlín, Alemania, 1994), artista, arquitecto, diseñador gráfico, diseñador industrial y tipógrafo, que estudió en la Bauhaus y fue uno de los máximos exponentes del arte concreto, también se interesó por el Teorema de Pitágoras. Este artista, que muchas personas del ámbito de las matemáticas relacionan con la banda de Moebius, por las hermosas esculturas que realizó con esta superficie, desarrolló una abstracción geométrica en la que las formas básicas, como el triángulo, tomaron un papel protagonista.

Poster de la exposición sobre la obra de Max Bill, pintura y escultura, que organizó el Museo de Arte Contemporáneo de Madrid, en febrero de 1980, junto a la Fundación Joan Miró de Barcelona, cuya exposición tendría lugar en marzo y abril de 1980. Imagen de la página web El marco verde

En este poster de la exposición organizada por el Museo de Arte Contemporáneo de Madrid (febrero de 1980), junto a la Fundación Joan Miró (marzo y abril de 1980), podemos observar una obra de Max Bill con el esquema del Teorema de Pitágoras para la terna pitagórica (3, 4, 5). El cuadrado superior es un cuadrado 5 x 5, correspondiente a la hipotenusa, mientras que los cuadrados de abajo son cuadrados 3 x 3 y 4 x 4, correspondientes a los catetos. La terna pitagórica (3, 4, 5) es la más sencilla de todas, por lo que es la más conocida y la que se suele utilizar de forma explícita en el arte.

Sobre el mismo tema Max Bill realiza también la obra Konstruktion um das thema 3-4-5 (1980), “Construcción sobre el tema 3-4-5”, en la cual nos encontramos de nuevo el triángulo rectángulo de la terna pitagórica (3, 4, 5), así como los tres cuadrados de lados 3, 4 y 5, cuyos lados están formados también por cuadraditos de cuatro colores distintos, como en el poster anterior, cuyos colores se van distribuyendo sobre el perímetro de los cuadrados de forma cíclica, y el centro es blanco. El número de cuadraditos del perímetro de los tres cuadrados es 8, 12 y 16, todos divisibles por 4, por lo cual cada color aparece el mismo número de veces en cada uno de ellos, 2, 3 y 4, respectivamente.

Konstruktion um das thema 3-4-5 (1980), “Construcción sobre el tema 3-4-5”, de Max Bill. Imagen de WikiArt

De esa misma serie de obras de la década de 1980 sobre el teorema de Pitágoras es la obra Pythagoräisches dreieck in quadrat II, “Triángulo pitagórico en el cuadrado II”.

Pythagoräisches dreieck in quadrat II (1980), “Triángulo pitagórico en el cuadrado II”, de Max Will. Imagen de WikiArt

Además, tiene toda una serie de obras sobre lo que denomina en los títulos de las mismas, triángulos pitagóricos, que suelen ser distintos triángulos rectángulos dispuestos de diferentes formas en un cuadrado, por ejemplo, Triángulos pitagóricos sobre un cuadrado rojo (1982).

Triángulos pitagóricos sobre un cuadrado rojo (1982), de Max Bill

Aunque ya trabajó con el teorema de Pitágoras y el esquema del triángulo rectángulos con los tres cuadrados cuatro décadas antes, hacia 1940. De esa época es la obra Konstruktion mit drei Quadratgrößen, Denkmal für Pythagoras (1939-1941), “Construcción con tres tamaños de cuadrados, homenaje a Pitágoras”.

Konstruktion mit drei Quadratgrößen, Denkmal für Pythagoras (1939-1941), “Construcción con tres tamaños de cuadrados, homenaje a Pitágoras”, de Max Bill

La unión de diferentes copias de este diagrama para generar una estructura mucho mayor también ha sido utilizada en el arte por otros artistas. El artista holandés Herman van de Poll, que describe su trabajo como basado “en las formas matemáticas de la teoría del caos” y la “geometría fractal”, también ha utilizado este diagrama en sus obras para generar estructuras fractales. Como la serie Puzzle boom van Pythagoras, algo así como “Árbol con el rompecabezas de Pitágoras”.

Puzzle boom van Pythagoras n. 10, “Árbol con el rompecabezas de Pitágoras, n. 10”, del artista Herman van de Poll. Imagen de la página de art olive

O también la serie Fractalgeneratie, algo así como “Generación fractal”.

Fractalgeneratie n. 31, “Generación fractal n. 31”, del artista Herman van de Poll. Imagen de la página de art olive

Esta misma idea de generar un fractal ha sido utilizada por otros artistas, como el austriaco Hartmut Skerbisch (Ramsau am Dachstein, Austria, 1942 – Schloss Kalsdorf, Austria, 2009), que genera un árbol fractal de Pitágoras tridimensional, es decir, formado por cubos en lugar de triángulos.

Fractal árbol de Pitágoras, del artista Hartmut Skerbisch, en el jardín de la iniciativa cultural kunstgarten, en Graz, Austria. Imagen de la página de kunstgarten

Crockett Johnson (Nueva York, 1906 – 1975) era el seudónimo del ilustrador de libros infantiles y humorista gráfico David Johnson Leisk, quien dedicó los diez últimos años de su vida a pintar cuadros relacionados con las matemáticas y la física matemática. Ochenta de estos cuadros pertenecen a la colección de The National Museum of American History (El Museo Nacional de Historia Americana), de la Institución Smithsonian.

Entre las obras matemáticas de Crockett Johnson podemos disfrutar de, al menos, dos de ellas relacionadas con el Teorema de Pitágoras. La primera es la obra Squares of a 3-4-5 Triangle in Scalene Perspective (Dürer), “Cuadrados de un triángulo 3-4-5 en perspectiva escalena (Durero)”, de 1965. Esta pintura es una versión con perspectiva del esquema del teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo (3, 4, 5). Los tres cuadrados asociados a los lados del triángulo (3, 4, 5) están pintados con un diseño ajedrezado, el primero con 9 cuadraditos, el siguiente con 16 y el tercero con 25, como se observa en la imagen del cuadro que mostramos más abajo. Además, los cuadrados no están colocados en el mismo plano que el triángulo rectángulo, sino perpendiculares al mismo, de forma que están en la dirección de la persona que observa el cuadro, y están pintados en perspectiva.

Ilustración de la construcción de un suelo ajedrezado perteneciente al libro The Life and Art of Albrecht Dürer (1955), de Erwin Panofsky. Imagen de la página web de The National Museum of American History
Pintura Squares of a 3-4-5 Triangle in Scalene Perspective (Dürer), “Cuadrados de un triángulo 3-4-5 en perspectiva escalena (Durero)”, de 1965, de Crockett Johnson. Imagen de la página web de The National Museum of American History

La otra obra es Proof of the Pythagorean Theorem (Euclid), “Demostración del Teorema de Pitágoras (Euclides)”, de 1965, y que fue la segunda obra que pintó de esta serie matemática. Como se menciona en el título de esta pintura se utiliza el diagrama de la demostración del Teorema de Pitágoras que aparece en Los Elementos de Euclides (aprox. 325-265 a.n.e.). Como se menciona en la entrada Pitágoras sin palabras, “los árabes llamaban al esquema de la demostración del Teorema de Pitágoras dado por Euclides, la silla de la novia, ya que al parecer se parece a la silla que en algunos países orientales llevaba un esclavo a la espalda para transportar a la novia a la ceremonia. También ha sido llamada calesa de la mujer recién casada, capucha de franciscano, cola de pavo real y figura del molino de viento. El filósofo Schopenhauer llamaba a la demostración de Euclides una prueba paseando en zancos y también prueba de la ratonera”.

Ilustración con el esquema de la demostración de Euclides del Teorema de Pitágoras de la revista Mathematical Gazette (n. 11, 1922-23), en el contexto de la primera guerra mundial

Crockett Johnson pintó el esquema de la demostración de Euclides que había visto en el artículo Greek Mathematics, “La matemática griega”, de Ivor Thomas, perteneciente a la publicación The World of Mathematics (1956), editado por James R. Newman. Este esquema es el mismo que el de la ilustración anterior.

Proof of the Pythagorean Theorem (Euclid), “Demostración del Teorema de Pitágoras (Euclides)”, de 1965, de Crockett Johnson. Imagen de la página web de The National Museum of American History

Las propias demostraciones del Teorema de Pitágoras también han tenido mucho interés para las personas que se han interesado por el resultado geométrico y algunas de ellas poseen una gran fuerza estética.

La siguiente obra del conservador, historiador del arte y artista Kesler Woodward (AIken, Carolina del Sur, EE UU, 1951), cuya obra está compuesta principalmente por paisajes, se basa en la conocida demostración del matemático indio Bhaskara (siglo XII).

Esquema de la demostración sin palabras basada en la demostración del matemático indio Bhaskara (siglo XII) del Teorema de Pitágoras. Imagen del blog de Jan Marthedal

Teniendo en mente esta demostración Kesler Woodward pinta la obra Bhaskara’s Birchbark, “El abedul de Bhaskara” (2018).

Bhaskara’s Birchbark, “El abedul de Bhaskara” (2018), de Kesler Woodward

Pero no es la primera vez que nos encontramos la demostración de Bhaskara en una obra de arte. El propio artista Max Bill la utiliza en varias de sus obras, como por ejemplo, la pintura 12 vierergruppen in weissem feld, “12 grupos de cuatro en un campo blanco” (1982).

12 vierergruppen in weissem feld, “12 grupos de cuatro en un campo blanco” (1982), del artista Max Bill

O la obra Rotation um sich ausdehnendes weiss “Rotación alrededor de un blanco expansivo” (1978-1981), que está por cuatro copias de la estructura de la demostración de Bhaskara.

Rotation um sich ausdehnendes weiss, “Rotación alrededor de un blanco expansivo” (1978-1981), de Max Bill

Esta obra está compuesta por cuatro copias de la estructura de la demostración de Bhaskara, en las cuales el cuadrado central es cada vez más grande, en el sentido de las agujas del reloj, izquierda-arriba-derecha-abajo, como se puede observar mejor en la siguiente imagen en la que hemos separado las cuatro estructuras. Además, esos cuadrados centrales no están blancos, sino que a su vez contienen cuatro copias de una de las demostraciones clásicas, que es una adaptación de la que aparece en el texto clásico de la matemática china Zhoubi Suanjing (aprox. 200 a.c.) del teorema de Pitágoras.

Esquema de la demostración sin palabras basada en la demostración del texto clásico de la matemática china Zhoubi Suanjing (aprox. 200 a.c.) del Teorema de Pitágoras. Imagen del blog de Jan Marthedal

En la siguiente imagen hemos trazado unas líneas en negro para distinguir las cuatro demostraciones de tipo Bhaskara y las cuatro de tipo Zhoubi Suanjing, en la obra de Max Bill.

Pero las demostraciones que utiliza el máximo exponente del arte concreto, Max Bill, en su trabajo no terminan ahí. En la serigrafía Vier sich durchdringende farben, “Cuatro colores que se interconectan”, de 1967, utiliza de nuevo dos demostraciones distintas del teorema de Pitágoras. El esquema de la parte interior, el cuadrado inclinado partido en cuatro trozos, se corresponde con la demostración visual atribuida al matemático recreativo estadounidense Henry E. Dudeney (1857-1930) del teorema de Pitágonas, mientras que en la parte exterior está la demostración visual que ya hemos visto basada en el Zhoubi Suanjing.

Vier sich durchdringende farben, “Cuatro colores que se interconectan”, de 1967, de Max Bill

A continuación, mostramos el esquema de la demostración visual de H. E. Dudeney del Teorema de Pitágoras, del año 1917. Aunque como se apunta en el libro Dissections: plane and fancy la demostración fue publicada con anterioridad, en 1873, por el inglés Henry Perigal (1801-1898).

Esquema de la demostración visual de H. E. Dudeney y H. Perigal del Teorema de Pitágoras. Imagen de Blue Math Software

Vamos a finalizar esta entrada con un poema visual sobre el Teorema de Pitágoras, del ingeniero químico retirado estadounidense Li C. Tien, titulado Right Triangle.

Poema visual Right Triangle, de Li C. Tien. Imagen del blog Poetry with Mathematics

Bibliografía

1.- Página web del artista conceptual estadounidense Mel Bochner

2.- Institut de Mathologie Pierre Gallais

3.- Página web del artista Herman van de Poll

4.- Página web de The National Museum of American History

5.- James R. Newman (editor), The World of Mathematics, editorial Simon and Schuster, 1956.

6.- Roger B. Nelsen, Demostraciones sin palabras (ejercicios de pensamiento visual), Proyecto Sur, 2001.

7.- Manuel Fontán del Junco, María Toledo (editores), catálogo de la exposición Max Bill, Fundación Juan March, Madrid(octubre 2015 – enero 2016), Fundación Juan March y Editorial de Arte y Ciencia, 2015.

8.- JoAnne Growney, Poetry with Mathematics

9.- Greg N. Frederickson, Dissections: plane and fancy, Cambridge Universuty Press, 1997.

10.- Catálogo de la exposición Max Bill, obras de arte multiplicadas como originales (1938-1994), Museu Fundación Juan March, Palma (febrero-mayo 2015) y Museo de Arte Abstracto Español, Cuenca (junio-septiembre, 2015). Fundación Juan March y Editorial de Arte y Ciencia, Madrid, 2015.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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