La sucesión de Levine

Matemoción

Neil James Sloane (1939) es un matemático que ha trabajado en combinatoria, en códigos correctores de errores y en el problema de empaquetamiento de esferas. Pero es sobre todo conocido por la creación y el mantenimiento de la magnífica página On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (Enciclopedia On-Line de las Sucesiones de Números Enteros, OEIS por sus siglas en inglés), una base de datos que cataloga sucesiones de números enteros. Para cada sucesión registrada en este repositorio se incluyen sus primeros términos, la manera en la que se genera, sus propiedades matemáticas, su interés y enlaces a artículos que hablan de ella.

Neil Sloane. Imagen: Wikimedia Commons.

Sloane empezó a recopilar estas sucesiones de enteros en 1964 debido a sus trabajos en combinatoria. Tras publicar un par de libros sobre el tema, muchas personas comenzaron a enviarle ejemplos de sucesiones que él no había seleccionado. Era tal cantidad de propuestas que recibía que, a partir de 1995, decidió empezar a registrarlas en Internet. Desde 2002, un grupo de personas voluntarias ayudan a editar y mantener esta interesante iniciativa. En marzo de 2018 la OEIS alcanzó un total de 300.000 sucesiones registradas, utilizadas por su interés científico y también por amantes de la matemática recreativa.

Por cierto, el número de Erdős de Sloane es 2.

Aunque en esta anotación pretendía hablar de la sucesión de Levine (que he conocido gracias a la también magnífica página Futility Closet), he querido empezar por esta pequeña reseña de Sloane ya que fue él quien dio a conocer esta sucesión. En efecto, como comentaba en el artículo My Favorite Integer Sequences (páginas 15 y 16), en el verano de 1997 el matemático Lionel Levine le envío una propuesta de nueva sucesión para la OEIS. La sugerencia enseguida captó la atención de Sloane y la de otros colegas. Está catalogada como A011784 en la OEIS.

Los primeros términos de la sucesión de Levine son:

1, 2, 2, 3, 4, 7, 14, 42, 213, 2837, 175450, 139759600, 6837625106787, 266437144916648607844, 508009471379488821444261986503540, 37745517525533091954736701257541238885239740313139682, 5347426383812697233786139576220450142250373277499130252554080838158299886992660750432,…

Como puede observarse, los términos crecen rápidamente. ¿Pero cómo se construye? Cada término de esta sucesión es el último término de la correspondiente fila de esta tabla de números:

1 1

1 2

1 1 2

1 1 2 3

1 1 1 2 2 3 4

1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 13 14

Esta tabla se construye siguiendo la siguiente regla:

  • la primera fila es 1 1;

  • cada una de las filas siguientes se construye leyendo la fila anterior de derecha a izquierda y pensando en un registro de números (de derecha a izquierda, 1, 2, 3, etc.).

Veamos algunos ejemplos para aclarar cómo se genera la tabla:

  • la primera fila se lee «un 1 y un 2», con lo que la segunda fila queda:

1 2.

  • La segunda fila se lee «dos 1 y un 2», y entonces la tercera fila queda:

1 1 2.

  • La tercera fila se lee «dos 1, un 2 y un 3», y entonces la cuarta fila queda:

1 1 2 3.

  • La cuarta fila se lee «tres 1, dos 2, un 3 y un 4», y entonces la quinta fila queda:

1 1 1 2 2 3 4.

Y se continúa así sucesivamente (pueden verse más detalles en My Favorite Integer Sequences).

De momento sólo se conocen 19 términos de la sucesión de Levine… el término 19 de esta sucesión posee ¡221 dígitos!, es éste:

83941772663735173160560543672534726683873453747462593691278544525723285290023673872585715830432071384827472565652426695269724710458808241779132656748501183672544006254377431217217762964060736471826937656819379445242826439

¿Se conseguirá encontrar el vigésimo término? En noviembre de 1997, cuando sólo se conocían 15 de los términos de la sucesión de Levine, Sloane decía: “[…] as I said it may be impossible to calculate the 20th term!”. Ojalá se equivoque.

Referencias

  1. Levine’s Sequence, Futility Closet, 30 abril 2019

  2. Neil Sloane, Wikipedia (consultado el 4 de mayo de 2019)

  3. OEIS, Wikipedia (consultado el 4 de mayo de 2019)

  4. OEIS (castellano e inglés)

  5. N. J. A. Sloane, My Favorite Integer Sequences, arXiv:math/0207175

  6. A011784, OEIS (consultado el 4 de mayo de 2019)

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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