Estos jardines metafóricos se han convertido en objetos centrales de las matemáticas modernas.

Un artículo de Konstantin Kakaes. Historia original reimpresa con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente respaldada por la Fundación Simons.

En 1940, los alemanes tomaron prisionero al matemático y oficial de artillería francés Jean Leray, quien les dijo a sus captores que era topólogo, temeroso de que si descubrían su verdadera especialidad, la hidrodinámica, lo obligarían a colaborar con el esfuerzo bélico alemán. Durante los casi cinco años que estuvo en prisión, Leray mantuvo este subterfugio investigando en topología, una rama de las matemáticas que estudia las formas deformables. Terminó creando una de las ideas más revolucionarias de las matemáticas modernas: el concepto de “haz”.

Después de que Alexander Grothendieck diera a conocer la noción de Leray en las décadas de 1950 y 1960, los haces asumieron un “papel estelar” en las matemáticas, afirma David Ben-Zvi de la Universidad de Texas en Austin, convirtiéndose en “una de las herramientas más básicas en la geometría algebraica moderna”.

Como dice una explicación introductoria, los haces pueden considerarse como desarrollos construidos sobre otros objetos matemáticos. “Piénsalo como si el objeto matemático fuera una parcela de tierra y un haz fuese como un jardín encima de ella”, explica Mark Agrios.

Los haces recibieron su nombre porque implican unir “tallos” a un objeto subyacente. Leray las llamó “faisceaux” (en francés, “haces”) porque esta disposición le recordaba a las gavillas de trigo cosechado. Así como los jardines se pueden cultivar en diferentes tipos de tierra, los haces se pueden construir sobre numerosos tipos diferentes de objetos matemáticos y, por lo tanto, pueden adoptar muchas formas diferentes.

Incluso los haces más simples son entidades matemáticas bastante complicadas. Para comprenderlas mejor, podemos construir una. Aquí se explica cómo hacer un haz simple a partir de líneas rectas.

Tomemos el objeto subyacente como la línea de los números reales:

Construimos un haz no a partir de puntos individuales, sino de intervalos. Puedes dividir la recta numérica en intervalos de infinitas maneras. A continuación se muestra un ejemplo.

Entre cada pareja de paréntesis hay un intervalo que incluye todos los puntos entre ellos, pero no los extremos. Por lo tanto, el intervalo (0, 1) contiene todos los números mayores que cero y menores que 1.

El haz contiene todos los intervalos, no solo uno cualquiera. A cada intervalo se le puede asignar un conjunto de “secciones”. En este ejemplo, las secciones son todas las posibles líneas rectas que pasan por un intervalo.

Tomemos un único intervalo, como se muestra a continuación. Solo se muestran tres de las secciones, ya que es imposible visualizarlas todas a la vez.

El haz comprende todas las secciones de todos los intervalos posibles y las uniones de esos intervalos.

Se trata de una entidad desconcertantemente caótica, que resulta matemáticamente atractiva porque oculta una simplicidad subyacente. En la figura anterior, las secciones elegidas para los diferentes intervalos chocan. Las líneas pasan unas por encima y otras por debajo de otras, en lugar de coincidir.

A los matemáticos les interesa comprender qué sucede cuando se elige una sección de cada intervalo y se impone el requisito de que las distintas secciones sean compatibles entre sí, de modo que los intervalos superpuestos concuerden. Con esa restricción, sucede algo notable.

Si un intervalo está anidado dentro de otro, las líneas deben coincidir en la superposición.

De esta restricción local se obtiene una consecuencia global: en lugar de muchas líneas pequeñas, se obtienen las únicas opciones posibles que cumplen la regla de anidación: líneas rectas que continúan a lo largo de toda la línea numérica.

Estas se denominan secciones globales. Una de las características que les otorga a llos haces su poder es que estos objetos globales surgen de las restricciones locales.

Este es un recorrido por el haz de líneas rectas, o funciones lineales, sobre la línea real. Es uno de los haces más simples.

Se pueden crear muchos haces sobre la línea real. Esto es análogo a plantar diferentes flores en un jardín en la misma parcela de tierra. Hay un haz que consta de funciones cuyos gráficos no tienen saltos, un haz de funciones cuyos gráficos no tienen curvas agudas y un número infinito de otros.

Pero eso es solo el comienzo. En lugar de plantar una flor diferente, podrías cuidar una parcela de tierra diferente. Imagina que construyes un haz sobre un círculo, en lugar de sobre una línea. Esto crea una estructura que parece un cilindro con una altura infinita. La estructura de los objetos dibujados en ese cilindro depende de la construcción concreta de un haz específico.

Hasta este punto, todas las haces que hemos considerado pueden considerarse familias de funciones. Pero los haces pueden volverse (mucho) más complicados que eso.

El cilindro de la figura anterior se puede considerar como el resultado de un rectángulo infinitamente alto cuyos lados has pegado. Si, en cambio, torcieras los extremos del rectángulo antes de pegarlos, como en la figura siguiente, crearías una banda de Möbius infinitamente ancha (no es posible dibujarla, por lo que mostraremos una banda de Möbius finita). En esta banda de Möbius, aún puedes dibujar curvas que recuerdan a los gráficos.

En cualquier pequeña parte local del círculo, esta curva parece el gráfico de una función. Pero a escala global, no es una función. Esto se debe a que no hay forma de definir un sistema de coordenadas global consistente, debido a la torsión. (Si recorremos toda la franja, nuestras nociones de arriba y abajo terminan invirtiéndose, lo que hace imposible hacerlo). Los matemáticos llaman a estos objetos «funciones torsionadas».

Si bien cada haz es una vasta colección de objetos, también se puede considerar la colección de todos los haces de un objeto matemático dado: la línea real, un círculo o alguna otra entidad. Esto es como considerar todos los posibles jardines que se podrían plantar en una parcela de tierra determinada. Esto nos dice algo sobre cómo es esa tierra. Algunas parcelas son selvas tropicales, otras son desiertos. Averiguar qué haces son posibles les da a los matemáticos una manera de investigar la estructura del espacio subyacente, de la misma manera que saber qué plantas crecen en un tipo concreto de suelo nos da información sobre ese suelo.

A partir de Grothendieck, los matemáticos se dieron cuenta gradualmente de que las colecciones de haces tienen muchas similitudes con las colecciones de funciones, pero a un nivel de complejidad más alto. Se pueden sumar y multiplicar haces, e incluso hacer una versión de cálculo con ellos.

En prisión, Leray había abierto la puerta a un mundo matemático completamente nuevo.

El artículo original, What Are Sheaves?, se publicó el 19 de julio de 2024 en Quanta Magazine.

Traducido por César Tomé López