– Repito: ¿es usted Arturo Quirantes?

Por segunda vez, el desconocido hizo la pregunta y se quedó mirándome, esperando una respuesta. En condiciones normales hubiera respondido sin titubear, pero mi interlocutor no parecía muy normal. Había algo extraño en él, quizá sus ojos penetrantes, la tensión en su voz, ese uniforme lleno de bolsillos que parecía calcado de una película de ciencia-ficción y, sobre todo, el hecho de que cinco minutos antes apareciese de la nada, materializándose de un destello de luz extremadamente brillante. Eso de que la gente se materialice en mi despacho es algo que me desconcierta.

Finalmente, pude balbucear algo así como «sí, me llamo Arturo Quirantes, ¿a quién tengo el gusto de conocer?» No recuerdo bien lo que respondió, pero sí me quedé con lo esencial: el visitante hablaba español correctamente, era alto, algo más delgado que yo, cabello castaño con entradas (con abonos de temporada, más bien) y si lo que afirmaba era cierto, procedía de una realidad paralela a la nuestra. Sobre el bolsillo superior de su uniforme se podía leer la palabra GRAIL, lo que según él significaba Generador de Realidades Alternativas Interdependientes. No quiso decirme lo que significaba la L, o yo no lo oí bien.

No suelo aceptar como prueba incontestable un emblema que cualquiera puede comprar en una feria del cómic, pero cuando la gente se materializa en mi despacho me vuelvo bastante más crédulo que de costumbre. Fuese porque le creí, o porque no tenía nada mejor que hacer hasta la hora de la cena, le pregunté qué quería de mí.

– Muy sencillo -dijo- quiero que me ayudes a salvar el mundo.

Esta es la historia que me contó. Su mundo tenía una especie de Walking Dead en ciernes. Un virus de origen desconocido convertía a las personas en muertos vivientes tras un período de incubación de dos semanas. Los infectados se contaban ya por millones, y las autoridades se veían impotentes para contenerlos. El pánico se extendía por todos los rincones del mundo.

Había una esperanza. En el momento en que mi nuevo amigo vino a visitarme, los científicos trabajaban en algo que llamaban la Cura. Se trataba de un suero experimental que, aplicado durante el período de incubación, lo convertía de nuevo en humano. Por desgracia, aplicar la Cura a un humano normal conllevaba desagradables efectos secundarios como diarrea, vómitos, pérdida auditiva y muerte segura.

– Entenderás entonces -dijo- que necesitemos alguna forma de detectar quién está incubando el virus zombi antes de aplicarle la Cura. De otro modo, mataremos a innumerables humanos sanos.

– Evidente -respondí yo.- ¿Y habéis conseguido una prueba clínica?

– Desarrollamos un test zombi -dijo él.- Yo mismo formaba parte del equipo de desarrollo del test. Pero ya sabes que ningún test es perfecto, y siempre hay falsos positivos y falsos negativos. Es decir, hay casos en los que el test indica positivo cuando en realidad el individuo está sano; y al revés, a veces un infectado no es detectado.

Es algo que me sonaba familiar. Ya sea un médico haciendo un test de virus, o un guardia de seguridad buscando contrabando, el efecto de los falsos positivos y negativos es algo con lo que hay que tener cuidado.

– Finalmente, depuramos el test hasta llegar a un 99% de fiabilidad. Mi novia decía que no era suficiente, que necesitábamos apurar al menos un decimal más, pero las autoridades nos presionaban, la situación se hacía peor a cada momento, y para ser sincero, yo también pensé que 99% era una buena cifra. Sería inevitable que muriesen algunos inocentes no inoculados, pero podríamos detener la infección a nivel global.

– Entonces salió todo bien, ¿es lo que me estás diciendo? -dije yo.

– ¡Todo lo contrario! -replicó él.- Contra todo pronóstico, la gente sana comenzó a morir a montones tras inocularles la Cura. Cuando fuimos a la sala de autopsias, nos sorprendió comprobar que solamente el 9% de los fallecidos estaban infectados, el resto eran personas sanas a las que habíamos dado la Cura creyendo que eran infectados. ¡Teníamos un test fiable al 99% que solamente detectaba un contagio de cada once! No sabíamos qué hacer, todo parecía correcto, pero no atinábamos con la solución. Finalmente, hicimos una búsqueda en Boogle…

– ¿Boogle?

– Sí, el buscador de Internet -replicó, algo molesto por la interrupción.- Boogleamos un poco y descubrimos a un Arturo Quirantes que había escrito algo sobre las matemáticas de un ataque zombi. Por desgracia, el Quirantes de mi mundo había muerto víctima de los saqueadores, pero por fortuna un grupo secreto del gobierno había conseguido perfeccionar el salto entre realidades pocos meses antes. Buscamos una realidad alternativa donde Arturo Quirantes siguiese vivo, programamos las coordenadas y aquí estoy, pidiéndote ayuda para salvar mi mundo. Y puede que el tuyo, porque según el teorema de…

En ese punto dejé de prestarle atención. La verdad es que mis conocimientos sobre la defensa contra los muertos vivientes proceden de la Guía de Superviviencia Zombi de Max Brooks, así que no podría serle de mucha ayuda en ese campo; y tampoco soy médico (debió haber apuntado a casa de mi hermana). Pero una idea comenzó a formarse en mi mente. Podría ayudarle a fin de cuentas. El problema no era de medicina o virología, sino de simples matemáticas.

– ¿Has oído hablar del teorema de Bayes? – le pregunté.

– ¿Teorema de quién dices? -respondió.- No conozco a ese señor. En mi mundo, Bayes es una empresa que fabrica aspirinas.

Suspiré, y por un momento me sentí tentado de enviarlo al despacho de Clara Grima. Estaba claro que en su universo paralelo, o de donde fuese que viniese ese tipo, no sabían mucho sobre combinatoria o análisis probabilístico. Tendría que explicárselo pasito a pasito, sin teoremas. Era hora de desplegar la amabilidad que me caracteriza en estos casos.

– Atiende, merluzo, que te voy a explicar dónde habéis metido la pata. El problema es que, como el test tiene una fiabilidad del 99%, habéis llegado a la conclusión de que cada prueba positiva indica infección el 99% de las veces, y una prueba negativa indica humano sano el 99% de las veces.

– Exacto -asintió.

– ¡Error! -repliqué yo. Al hacer eso, estáis presuponiendo que el número de humanos e infectados es el mismo. Pero ambas poblaciones son distintas en número, y eso influye en el resultado.

Puso cara de no haberlo entendido, así que le puse un ejemplo.

– Supongamos que eres guardia de seguridad en un aeropuerto. Tu misión es capturar terroristas. Imagínate un detector de terroristas con las siguientes características: siempre que pasa un terrorista, lo detecta, pero si es un ciudadano normal tiene un 99% de probabilidad de confundirlo con un terrorista.

– O sea, tiene un éxito del 100% frente a falsos negativos, y un éxito del 99% frente a falsos positivos.

– Exacto. Bien, ahora supón que han pasado un millón de personas por tu detector. Por término medio habrá pasado un terrorista, así que en ese caso la máquina pita y podéis detenerlo. Pero también han pasado 999.999 personas honradas, y hay un 1% de probabilidades de que les pite a ellas, lo que hace que 9.999 de ellas sean detenidas y registradas sin motivo. Es decir, de ese millón de veces, la máquina ha avisado 10.000 veces, y solamente en una de ellas habrá acertado. ¿Hasta aquí bien?

– Sí.

– Pero -proseguí- imagínate ahora que la mitad de la gente que vuela sean terroristas. Tendremos medio millón de personas honradas, de las cuales el uno por ciento son confundidas con terroristas. Eso son 500 personas. Por otro lado, la máquina pita con los otros 500.000 terroristas. La tasa de éxito al detectar terroristas es de 500.000/505.000, es decir, el 99 por ciento.

– O sea, que si hay muchos menos infectados que humanos, la situación será como la del terrorista y los viajeros, ¿no?

– Exacto. Por lo que me has comentado, la infección estaba en su estado inicial, así que la población de infectados debía ser todavía pequeña.

– Así es -me dijo.- No estamos seguros, pero analizando los primeros brotes hemos llegado a la conclusión de que hay como un 0,1% de infectados entre la población. Si no encontramos una solución, vamos a perder a millones.

– Pues la escasa tasa de infección -le expliqué- es justo el problema. Digamos que tu test, fiable al 99%, da resultado positivo. Eso puede ser por dos motivos: porque hayas detectado realmente a un infectado, o porque hayas detectado a un humano por error. El primer caso te pasará cuando tengas frente a ti a un infectado (lo que sucede el 0,1% de las veces) y cuando el test indique positivo (lo que sucede el 99% de las veces). La probabilidad de que eso suceda, y que por tanto tengas una identificación positiva de un infectado, es de 0,001*0,99=0,00099, es decir, el 0,099% de las veces.

– Pero también -proseguí- puedes tener un falso positivo. Eso pasará cada vez que tengas un humano (que pasará el 99,9% de las veces) y el test falle (lo que sucede el 1% de las veces); es decir, eso sucederá con una probabilidad del 0,999*0,01 = 0,0099, o sea el 0,999% de las veces. O dicho de otro modo, de cada millón de pruebas, tendrás:

0,00099*1.000.000 = 990 infecciones

0,0099 *1.000.000 = 9.990 falsos positivos

Y el porcentaje de detecciones válidas (infecciones auténticas) será de 990/(9.990+990) = 0,09016, es decir, poco más del 9%

– ¡Por eso solamente aparecía un 9% de infectados en las autopsias tras inyectarles la Cura! ¿Cierto?

– Cierto- afirmé.- Y eso con un test fiable al 99%

– Pero, ¿y el caso opuesto? ¿Qué pasa si el test da negativo y resulta que falla?

– En ese caso, como hay pocos infectados, la probabilidad sería muy pequeña. Digamos que el 1% de las veces tenemos un falso negativo, es decir, un infectado que no es detectado por el test. Como la probabilidad de que tengas a un infectado es del 0,1%, la probabilidad de tener un falso negativo sería de 0,01*0,001, es decir una vez entre cien mil. Es de los falsos positivos de lo que te tienes que preocupar.

– Entonces tendré que aumentar la fiabilidad de mi test. ¿Cuánto será suficiente? ¿99,5% 99,9%, 99,99999%? ¿Qué me recomiendas? -me preguntó.

– Eso va a depender de cuántas pérdidas estáis dispuestos a tener en caso de aplicar la Cura a una persona sana, y eso a su vez dependerá del porcentaje de infectados y la probabilidad de falsos positivos. Ahí es donde entra ese teorema de Bayer de que te hablé antes.

Vi que ponía cara de «puaj, ahora vienen las matemáticas.» Volví a sentirme tentado de enviarlo a freír espárragos, pero no quise dejar el asunto a medio resolver. En realidad, no es tan difícil. Supongamos que el porcentaje de infectados es I, y el porcentaje de éxito del test es P. En caso de que la prueba de un resultado positivo, puede ser porque realmente tengamos un infectado, o porque sea un falso positivo. La primera posibilidad la tendremos con un infectado -con probabilidad I- y un test válido -con probabilidad P;- el segundo caso se tendrá cuando haya una persona sana -con probabilidad (1-I)- y un falso positivo -con probabilidad (1-P). Eso significa que:

– la probabilidad de tener un positivo auténtico es P*I = A

– la probabilidad de tener un positivo falso es (1-P)*(1-I) = B

– y por tanto, la probabilidad de que realmente hayamos detectado a un infectado cuando el test indique positivo es de:

Z = A/(A+B) = P*I / [ (1-P)*(1-I) + P*I]

– ¿Y no podrías hacerme una gráfica, y así lo veré más fácil? -dijo el visitante.- Ah, y a ver si puedes hacérmela para varios valores de I, porque lo mismo cuando vuelva hay más infectados, y la verdad, yo en realidad soy de letras, y además en el instituto me suspendieron en estadística, y si te soy sincero, a mí esto de las probabilidades y ese señor Bayes como que no va conmigo. Si no te importa, claro.

La verdad es que sí me importaba, y además estoy harto de oír estas cantinelas en mi propio despacho, pero opté por la línea de menor resistencia y le hice la gráfica. En el eje horizontal representé la tasa de éxito del test (P), y en el eje vertical lo que denominé Z, que es la probabilidad de que un test positivo nos indique realmente un humano sin infección. Para que no se queje, se lo hice para tres poblaciones de infectados (I=0,1% 0,2% y 1%).

Al ver la gráfica, el extraño visitante se puso muy contento, como niño con zapatos nuevos.

– Es decir -dijo- que para una detección fiable Z al 50% necesito una fiabilidad del test del 99,5% Aunque puede que la infección se haya propagado, lo que significa que I habrá aumentado, y entonces tendré que usar la curva roja. A menos, claro, que…

En ese punto comencé a carraspear, como diciendo «¿quieres irte de una maldita vez a tu realidad paralela y dejarme en paz, pesado, que tengo un episodio de Doctor Who por ver?» El visitante me tendió la mano, me agradeció muy efusivamente todo lo que había hecho por él, y me prometió que algún día volveríamos a vernos. Claro que sí, chavalote, igual que con mis compañeros de promoción en el aniversario.

– Oye -le pregunté cuando estaba a punto de pulsar el botón de una especie de mando a distancia que llevaba en un bolsillo lateral,- ¿por qué viniste a buscarme justo a mí? ¿Es que no hay expertos en Estados Unidos o Alemania?

– ¿En esos estercoleros? ¿Tú estás de broma? -respondió con tono de asombro.- Vine aquí porque en mi mundo España es una potencia económica mundial. Aquí será más o menos igual, ¿verdad?

Le dije que por supuesto, que lo que quisiera, y que muchos recuerdos para todos por allí.

– Y no te olvides de escribir ese artículo sobre decimales y zombis- dijo mientras la puerta dimensional se abría.

– ¿Qué artículo de qué decimales y qué zombis? -le pregunté- Yo no he escrito nada de eso. Y ahora no me vengas con que hemos creado una paradoja interdimensional, porque ya estoy harto de….

[Fogonazo]

EPÍLOGO: Me llamo Arturo Quirantes, y hace unos minutos me he despertado en el suelo de mi despacho. Debo haber perdido el sentido o algo así. Nunca me ha sucedido, pero dicen que siempre hay una primera vez. Lo más extraño es que he encontrado un artículo encima de la mesa, con el encabezado de algo llamado «buscador Boogle.» Lo publico aquí, con la esperanza de que alguien pueda decirme quién las ha escrito y si tienen algún sentido. Y ahora, si me disculpan, creo que tengo pendiente el último episodio de Doctor Who. ¡Allons-y!.

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Este post ha sido realizado por Arturo Quirantes (@elprofedefisica) y es una colaboración de Naukas con la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.