Los objetos matemáticos no existen

Experientia docet

Cortesía de John Chiappone
Cortesía de John Chiappone

La idea de que existen realmente eso que llamamos “objetos matemáticos” puede trazarse hasta Platón. Su razonamiento puede resumirse más o menos en lo siguiente: los geómetras hablan de círculos “perfectos”, triángulos “perfectos” y demás cosas perfectas que no se encuentran en este mundo; por otra parte en la aritmética hablamos de números compuestos de unidades perfectamente iguales entre sí, aunque esas unidades tampoco se encuentren en este mundo; por lo tanto, concluye Platón, las matemáticas tratan de objetos matemáticos que no existen en este mundo, serían objetos puramente inteligibles que habitan “otro mundo”; además, como los objetos no son de este mundo, nuestro conocimiento de ellos debe ser independiente de nuestra experiencia o, lo que dicho técnicamente, constituye un conocimiento “a priori”.

Hoy día un porcentaje significativo de matemáticos trata a los objetos matemáticos platónicamente, bien porque hayan reflexionado sobre ello y hayan llegado a ese convencimiento (los menos) o bien de hecho. Se suele reconocer esta última actitud en que hablan de “descubrimientos”, como si los objetos matemáticos fuesen flores desconocidas en medio de una, hasta ese momento, impenetrable selva ecuatorial. Esta posición que, nos atrevemos a decir, es la que adquieren los matemáticos por defecto, es una forma de realismo: los objetos matemáticos son abstractos, eternos y no tienen relación causal con los objetos materiales. Démonos cuenta que desde un punto de vista lingüístico esto es equivalente a interpretar literalmente el lenguaje matemático (por ejemplo, existe un x y existe un y pertenecientes a tal conjunto tales que si y > x entonces se cumple que….). Siendo justo, no todo realismo matemático es platónico, pero la distinción es tan sutil que a los efectos de lo que sigue no merece la pena pararse en ello.

La cuestión es, si los objetos matemáticos no son de este mundo y, por tanto, no tienen relación causal con los materiales (humanos incluidos), ¿cómo podemos saber que nuestro conocimiento de esos objetos matemáticos es correcto? O, ya puestos, ¿cómo podemos llegar a conocerlos en primer lugar?

Algunos han respondido estas preguntas afirmando que existe una capacidad especial que usan los matemáticos, una intuición matemática, un algo que le da al matemático acceso directo al universo abstracto, eterno y acausal de las matemáticas. Según este punto de vista, la intuición matemática sería uno más de los sentidos que tenemos (que no son cinco, por cierto, son, al menos, nueve; pero este es otro tema). El propio Platón y Kurt Gödel desarrollaron epistemologías a partir de esta idea e indicios de la misma pueden verse en pensadores contemporáneos como Roger Penrose, por ejemplo.

Pero, claro, este planteamiento tiene un problema evidente si ponemos un límite naturalista a la epistemología o, dicho de otra manera, si pensamos que los humanos somos parte de un universo, y no como expresaba Spinoza “un imperio dentro de otro imperio”, todas las facultades humanas deben poder ser estudiadas por métodos científicos. Pero para poder estudiar esta intuición matemática necesitaríamos que el universo matemático tuviese una relación causal con ella; como no la tiene, no puede ser estudiada como parte del universo, digamos, natural y por tanto la posición platónica y la creencia en las revelaciones divinas tendrían el mismo fundamento, esto es, la voluntad del que cree: “creer es un acto del entendimiento que asiente a la verdad divina por imperio de la voluntad movida por Dios mediante la gracia” que decía Tomás de Aquino en la “Suma teológica”.

Entonces, si los objetos matemáticos no pueden estar en un universo paralelo e inaccesible, en este punto se nos plantea la cuestión de qué son los objetos matemáticos, suponiendo que existan de alguna manera. Una respuesta sería afirmar que son objetos mentales pero, entonces, perderían su apriorismo o, lo que es lo mismo, empezarían a existir cuando los pensamos y no antes. Un realismo, aparentemente, de quita y pon equivalente, en último término, a una nada servida en distintos sabores: idealismo, subjetivismo, etc. Otra posibilidad es que los objetos matemáticos como tales no existan, sino que sean las relaciones entre ellos (las estructuras) las que existan; esta posición se llama estructuralismo. Pero fijémonos que esto sólo transforma el problema, no lo soluciona.

Un paso más allá es la vía propuesta por Kant, en la que los objetos matemáticos no existen independientemente, sino que se construyen: las matemáticas tratan de las estructuras comunes a las mentes humanas. Esta aproximación, si nos fijamos, da a los objetos matemáticos una dependencia de la mente pero también una objetividad por ser las estructuras comunes a todos los humanos, enraizándolos de paso en la realidad. Además tenemos la necesidad y la objetividad aseguradas porque este constructivismo afirma que las matemáticas representan las formas en las que debemos pensar, percibir y comprender si hemos de pensar, percibir y comprender de alguna manera.

Existen aún más alternativas no realistas, que niegan que las matemáticas tengan objeto alguno, pero éstas no nos interesan ahora. Lo que sí podemos ver de lo que hemos simplemente apuntado es que los objetos matemáticos no existen independientemente, ya que mantener lo contrario los pone al nivel de los habitantes del planeta imaginario Hadesun, con el mismo fundamento lógico. A lo sumo existen las estructuras y además como expresión del resultado de nuestra evolución, que fue la que nos dio nuestro encéfalo. Pero, si esto es así, ¿cómo explicar la increíble efectividad de las matemáticas a la hora de comprender el mundo? Y además, ¿cómo sabemos que las matemáticas son ciertas, correctas, consistentes? Tenemos territorio que explorar.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

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46 comentarios

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25 comentarios

  • Avatar de iiignaciooo

    Tema apasionante el de analizar a la matemática… hasta 1900 la cuestión creo que estuvo en el aire, pera a raíz de los problemas de Hilbert surgió el genio de Gödel desmitificando el supuesto «sentido» de las mismas (1931). Creo que desde entonces ser considera que la verdadera naturaleza de las matemáticas recae en su utilidad (Bourbaki dixit).

    Creo que hoy nadie investiga la llamada «metamatemática». Se supone que el origen es axiomático (y por lo tanto sin sentido especial) y eso si, inspirado en la realidad que la rodea: números, dimensiones…

    Por otro lado ese concepto de «son de otro universo» o que serían las mismas en «cualquier otro universo posible», parece fantasmal o profundo, pero al ajedrez, al lenguaje, al backgammon… le ocurre lo mismo.

    Como formalismo tienen un componente que no tiene el resto de los lenguajes: son sistemáticas, bien ordenadas y creo que su efectividad frente a otros formalismos les viene de esta característica.

    Saludos

  • ihcdiario

    Avatar de ihcdiario

    Lo más curioso del tema es que Gödel se dedicara a la filosofía, una vez demostrada la incompletitud y la imposibilidad de demostrar la consistencia de la matemática… Creo que es un personaje trágico pues buscaba una respuesta final y definitivamente concluyente del mundo, del universo … pero puso sus esperanzas en una «ciencia» (entre comillas) que a la postre acabó defraudándole como solución a sus aspiraciones.

    No es el único matemático que «muere de éxito», creo que G. Perelman se ha retirado de la práctica matemática y creo que uno de los líderes de Bourbaki es actualmente un «elfo» de los pirineos franceses.

    Creo que sus teoremas han cambiado la manera de ver la ciencia, separando lo que es la realidad (la física) de los necesarios formalismos para poder entenderla, captarla y poder interactuar con ella. Aunque la polémica de donde acaba una y de donde comienza la otra es un debate eterno y apasionante.

  • Avatar de jesuszamorabonilla

    Sobre este tema, he argumentado (aquí: http://abordodelottoneurath.blogspot.com.es/2013/03/platonismo-trivial.html) que el debate se basa en una confusión sobre el significado del verbo «existir». Cualquiera de nosotros admitirá que la pregunta «¿existe algún número primo que sea par?» tiene una respuesta afirmativa. No podemos afirmar que existe un número primo que es par (el 2) pero que no existe el número 2. Igual decimos que existen dos soluciones para muchas ecuaciones cuadráticas, etc., etc. Afirmar que ciertas entidades matemáticas existen NO ES MÁS QUE repetir lo que dicen los teoremas matemáticos que afirman que dichas entidades existen.
    El problema es que con «existir» generalmente asociamos la idea de que, algo «existe» no sólo si podemos demostrar (matemáticamente o empíricamente) que existe, sino TAMBIÉN si tiene algo así como «propiedades causales», que es algo con lo que de un modo u otro podemos «interactuar». Obviamente, con el número 2 no podemos «interactuar», pero no por eso deja de ser verdad que existe un número primo que es par, o que existe un número entero mayor que 1 y menor que 3.

    • Avatar de César

      Discrepo sutilmente, Jesús.

      No es una confusión sobre el verbo existir. Los realistas/platonistas/irreflexivos, como digo en el texto, afirman el valor literal de las expresiones matemáticas. El resto siguen usando esas expresiones matemáticas pero entienden que es una forma de hablar, de la misma manera que un biólogo puede hablar teleológicamente describiendo una especie por practicidad sabiendo perfectamente que la evolución excluye finalidad alguna.

      Por tanto hay una diferencia fundamental entre los que afirman la existencia independiente de la ocurrencia o no de agentes pensantes, sus lenguajes, pensamientos y prácticas, y los que simplemente hablan «como si».

    • Avatar de Jesús Zamora

      César:
      pues yo creo más bien que no: a los críticos del platonismo sólo les entran dudas sobre si para la ecuación x2-4=0 existen una, cero o dos soluciones cuando se ponen a hacer filosofía. Mientras se comportan como matemáticos EN LA PRÁCTICA, consideran que la respuesta «existen dos soluciones para esa ecuación» es verdadera, y que la respuesta «no existe ninguna solución para esa ecuación» es falsa; al menos, si yo respondiera en un examen que no existe ninguna solución a esa ecuación, me darían la respuesta por incorrecta.
      Lo que yo sugiero es que «existir» significa lo que significa CUANDO USAMOS EL LENGUAJE MATEMÁTICO EN LA PRÁCTICA, no lo que significa cuando hacemos FILOSOFÍA de la matemática. Y por lo tanto, que lo que decimos cuando hacemos matemáticas lo afirmamos de manera LITERAL, no figurada. Es decir, la existencia matemática es un problema MATEMÁTICO, no es un problema FILOSÓFICO -y tiene huevos que lo diga yo, que soy filósofo 😉
      La ÚNICA cuestión MATEMÁTICAMENTE importante no es, por lo tanto, la de si el número dos existe o no existe, sino, ya que SABEMOS que existe (pues es una de las dos soluciones que EXISTEN de aquella ecuación), la cuestión, digo, es qué propiedades tiene. Es obvio que el 2 y el resto de los números tienen propiedades diferentes a las que tienen los neutrones o los escarabajos, p.ej. La matemática se ocupa de intentar averiguar (mediante teoremas) qué propiedades tienen los números, la física de averiguar qué propiedades tienen los neutrones, y la biología de averiguar qué propiedades tienen los escarabajos. P.ej., los neutrones pueden CHOCAR contra los escarabajos, pero los números no. ¿Eso quiere decir que los números no existen? No, porque chocarse o dejarse de chocar es simplemente una propiedad IRRELEVANTE para los números, tan irrelevante como lo es para el escarabajo la propiedad de ser primo (en sentido aritmético; en sentido genético, obviamente no.
      Un saludo

    • Avatar de César

      Non sequitur.

      ¿Y si la lógica fuese innata en la forma de reglas gramaticales? Si le damos contenido ¿no tendríamos juicios sintéticos a priori? La cuestión se reduce pues a los propios contenidos: mientras que los de contenido metafísico hacen que estos juicios sintéticos a priori no sean verificables de ninguna manera, con los matemáticos ocurre lo que demostró Frege, que en realidad son analíticos a priori, en el sentido ampliado de analítico de Carnap.

  • n3storm

    Avatar de n3storm

    Me extraña que no haya una perspectiva o visión lingüistico-cultural.

    Podría ser algo así como que los objetos matemáticos son símbolos lingüisticos pero perfeccionados al extremo (ya sea por atractivo o por utilidad).

    Cuando decimos he visto un perro, todos sabemos a que nos referimos porque tenemos el símbolo de un perro en nuestra cabeza incluso antes de hablar. No es ningún perro concreto y por tanto no existe.

    Si personas similares a los matemáticos se hubieran puesto hace siglos a pensar en como es ese perro ideal ahora mismo tendríamos una definición del símbolo del perro tan exacta como la de la tangente.

    Es más útil definir una tangente que un perro, por tanto el grado de definición de este símbolo y todo el metamundo de la matemática ha crecido durante siglos.

    Salud

    • Avatar de César

      Existir existen interpretaciones lingüístico-culturales, pero como no son realistas, no se mencionan porque ya parten de la base de que los objetos matemáticos no existen.

      Lo que tú haces es construir las matemáticas como analítica, verdadera en virtud de los significados de los términos. El problema epistemológico de esta visión es explicar el funcionamiento «real» de los matemáticos (con «o»).

  • Hector04

    Avatar de Hector04

    Buen artículo, el teorema de incomplitud de Gödel tiene mucho que decir al respecto, básicamente te esta diciendo que las matemáticas(formales) y la Lógica(formal) no son resultado de un mismo razonamiento y por ende no hay una relación biunivoca entre ellos, así, el termino existir utilizado tanto en lógica como en matemática no se refiere al mismo significado, en física la cosa es peor, existir significa pasar desde fuera del ser al ser y desde heisenberg se sabe que entre ambos estados(Ser y no ser) hay infinitud de estados mezcla y dependiendo de la interpretación de la Mecánica cuántica que se utilice pueden también existir o no existir, Ejemplo de esto es la interpretación de Bohm que le da un carácter real a una formula matemática como la función de onda.

    • Avatar de César

      Discrepo.

      Lo que Gödel te dice con su segundo teorema, extensión del primero, es que la consistencia de determinadas teorías no puede ser probada a partir de axiomas de las propias teorías. Pero nada impide que pueda ser probada recurriendo a axiomas de otras teorías consistentes con los axiomas de la primera.

      Por otra parte los resultados de Gödel, como la cuántica, han alcanzado el nivel místico/mítico. Poca gente, incluidos matemáticos, conoce los resultados de Gentzen que ya en los años 30 pusieron las cosas en su sitio. Véase: http://plato.stanford.edu/entries/proof-theory-development/#ConAriAna

      Incidentalmente, Gödel murió de hambre porque se negó a comer pensando que le querían envenenar. Gentzen murió de hambre porque no le dieron de comer cuando era prisionero.

    • Hector04

      Avatar de Hector04

      Si Bien ya lo sabía gracias; pero lo q no entendiste de mi comentario es que la matemática no se puede deducir a partir de la lógica , la incomplitud de la teoría de conjuntos lo impide eso es lo que resalto. Léelo de nuevo a ver que tal . Saludos

    • Avatar de César

      El programa logicista no puede cumplirse porque para que pudiese llevarse a cabo habría que emplear lógicas distintas de las de primer orden que, o son poco expresivas o demasiado oscuras o se parecen sospechosamente a una formulación de la teoría de conjuntos, que ya es parte de las matemáticas. Así, por ejemplo, Kripke elaboró en 1965 una semántica de la lógica intuicionista y demostró que es consistente y completa y Veldman suministró una prueba en 1976 de la completitud de la lógica de predicados intuicionista (algo que Gentzen se puso como objetivo en 1932). Pero, eso sí, los intuicionistas consideran la lógica en sí misma como parte de las matemáticas, por lo que no es un fundamento de éstas. Como puedes ver el andamio se cae antes incluso de considerar el teorema de Gödel. Curiosamente, éste se prueba, mire usted, empleando la lógica.

      Por otra parte se pueden usar los topos de Grothendiek como alternativa a la teoría de conjuntos como fundamento de las matemáticas.

      No obstante lo anterior, concurrimos en que las matemáticas no se pueden «fundamentar» en la lógica pero por argumentos diferentes: el correcto es que no se puede hacer porque la única forma de conseguirlo es autorreferente.

    • Avatar de César

      Sobre qué es original de Platón y que reelaboró a partir de otros es discutible. Lo que no lo es es que Platón existió, sistematizó y divulgó estas ideas y que por tanto la influencia posterior se debe a él. En cualquier caso el platonismo matemático es un caso particular de la metafísica platónica.

  • Urbek

    Avatar de Urbek

    «Existir significa pasar desde fuera del ser al ser»

    No entiendo como lo que no-es pueda pasarse al Ser. El no-ser, por definición, no tiene potencia para «hacer cosas». Desde Parménides se sabe que no-ser es la mera ausencia del Ser sustancializada por el lenguaje: un espejismo ontológico.
    Yo pensaba que existir es un modo de ser específico: el de «ser-ahí» de Gaos, el traductor de Heidegger (estar, que diríamos en castellano más profano)

    • Hector04

      Avatar de Hector04

      Podríamos decir también » el ser ahí y en este momento» y pasamos al concepto de observador… …y consecuentemente al problema de la medida. Real y Realidad serán conceptos distintos, toma tu partido:
      Véalo aquí: http://atsf.foroactivo.com/t2440-solo-la-realidad-es-real
      La palabra existir proviene de «ex» (desde fuera) «sisto»(ser, estar) o pasar desde fuera del ser al ser, otras palabras con las mismas raíces le dan contexto:consistir, desistir, asistir.

  • Avatar de Diego Schmidt (@diegschmidt)

    Las matemáticas son la forma en que nuestra mente ordena símbolos y abstracciones para crear un universo simplificado que sigue los lineamientos básicos del universo real y así poder manipular cantidades de información finita para predecir fenómenos en otro modelo de información infinita. Esto tiene que ver más con nuestra biología que con la estructura de la realidad.

    • Javier G. C.

      Avatar de Javier G. C.

      Y los «lineamientos básicos del universo real» de los que hablas, ¿qué son? ¿No serían dichos «lineamientos» los objetos matemáticos?

      Creo que no lo has pensado bien.

  • Sí existen

    Avatar de Sí existen

    Veo que no has leído a Kolmogorov, muy triste. Kolmogorov decía que la matemática es una rama de la física. Suerte en tu próximo post.

    • Avatar de César

      1 Partes de la hipótesis, no necesariamente cierta, de que cualquiera que lea a Kolmogorov automáticamente pasa a estar de acuerdo con lo que pudiese haber dicho.

      2 Se hace difícil reconciliar algunas ramas de las matemáticas con una realidad objetiva, como, por ejemplo, la teoría de números o buena parte de la geometría o el álgebra.

      3 Y aún suponiendo que las matemáticas sean una parte de la física eso no presupone la existencia de los objetos matemáticos. La física trabaja con modelos, que son idealizaciones, no realidades.

      4 Más suerte con tu próximo comentario.

  • Martín Murillo R.

    Avatar de Martín Murillo R.

    Pues es discusión de nunca acabar; porque si el mensaje de tu artículo es que no reconoce que las verdades matemáticas existen independientemente de la razón humana y por ende no se crean, sino que se descubren, tampoco aceptará cualquier idea que exceda a la razón o el intelecto del hombre. Gödel demostró en sus teoremas que para cualquier conjunto de axiomas, no importa cuan grande sea, planteado por nuestra razón, siempre el ser humano es capaz de «concebir» por intuición proposiciones indemostrables dentro del conjunto planteado. Así que la gran paradoja es que no todo lo que existe es comprensible mediante la razón, pero sí concebible por la intuición; y no solo la intuición matemática, sino la intuición «sobrenatural» que poseemos todos los seres humanos y de la que carecen los sistemas algorítmicos.

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