Existe un puzzle geométrico sencillo, muy, muy sencillo, que consiste en dos piezas idénticas con las que se construye un tetraedro, es decir, una pirámide con base triangular y con sus cuatro triángulos iguales. En su versión más clásica es un bonito puzzle de madera.

Este es mi rompecabezas preferido para talleres dirigidos a jóvenes, semanas y ferias de la ciencia, y otros eventos similares a los que acude un público de lo más heterogéneo. Normalmente lo utilizo como elemento de enganche. Un puzzle de dos piezas. Cuando alguien se acerca al stand de matemáticas sin atreverse a participar en el mismo, pero con curiosidad, inicio el reto, “¿Habéis hecho un puzzle alguna vez?”. “¡Por supuesto!” suelen contestarme, puesto que casi todo el mundo ha realizado por lo menos un puzzle en su vida, desde los sencillos puzzles infantiles de 12, 25 o 50 piezas, hasta complejos puzzles formados por miles. Aunque suelen mostrarse cautos, temiendo que allí haya gato encerrado. Yo continuo, “¿De cuántas piezas era el puzzle? ¿500, 1.000, 5.000?”. Me contestan lo que corresponda, pero ya más confiados. Seguimos hablando un poco más de puzzles, de los clásicos, y entonces les planteo el reto, “Por lo tanto, ¡no tendréis problemas para realizar un simple puzzle de dos piezas!”, y les doy las dos piezas del mismo. Se sonríen, “¡qué sencillo!” piensan, como todo el mundo cuando se lo ofrezco (hay que dárselo a las manos y no sobre una mesa), sin embargo, cuando intentan resolverlo descubren que les cuesta obtener la solución más de lo que esperaban, pero ya están enganchados.

El fundamento en el que se basa este rompecabezas es el siguiente. El tetraedro puede dividirse en dos partes iguales a través de una sección cuadrada del mismo. Si realizamos secciones planas de un tetraedro empezando por uno de sus lados, y realizando cortes con planos paralelos a ese lado y al opuesto en el poliedro, estas serán… la primera, el mencionado lado, después rectángulos alargados, con su lado más largo coincidiendo con la dirección del lado inicial, según avancemos en las secciones rectangulares se irán acortando los lados largos y alargando los cortos, hasta llegar a la sección cuadrada central, para después volver a obtener rectángulos, pero con su lado más largo apuntando en la dirección del lado al que se acercan, es decir, los lados contrarios a los anteriores.

Si el tetraedro se corta por la sección cuadrada central que acabamos de describir (cuyos vértices son los puntos medios, A, B, C, D, de los otros cuatro lados), dividiremos al poliedro en dos partes iguales, que son las que forman nuestro rompecabezas geométrico.

Por lo tanto, una forma de construir este puzzle es realizar un tetraedro en madera y cortarlo por la sección central cuadrada que pasa por los cuatro puntos medios de cuatro de sus aristas (los puntos A, B, C y D de la imagen de arriba), generando así los dos semi-tetraedros.

Como muchas otras personas, yo me he comprado este sencillo puzzle en ferias de artesanía o tiendas en las que venden juegos de ingenio, sin embargo, no siempre tenemos que comprar nuestros juegos, en ocasiones también podemos construirlos nosotros mismos. Nos ahorramos dinero, los entendemos mejor y los hacemos más personales. En esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica vamos a ver cómo realizar en papel el puzzle de las dos piezas del tetraedro.

Hace años, en el magnífico libro “Actividades matemáticas” de Brian Bolt, leí sobre un método para construir en papel nuestro puzzle, es decir, cada uno de los dos semi-tetraedros. Y es el que os traigo hoy aquí.

Para construir los dos semi-tetraedros necesitamos dos cartulinas de tamaño A4 sobre las que dibujar el diagrama que dará lugar a un semi-tetraedro en cada una de ellas, y que aparece en la siguiente imagen.

Para trazar el diagrama anterior, se empieza dibujando un triángulo equilátero de dieciocho centímetros de lado (ABC en la imagen). Para ello, primero dibujé, con regla y lápiz, un segmento de 18 centímetros de lado, que sería la base AB del triángulo. Después, desde las esquinas A y B del segmento tracé con un compás dos arcos de circunferencia, con un radio de 18 centímetros, lo cual me dio el otro vértice C del triángulo (véase la siguiente fotografía que realicé a uno de mis esquemas). Y entonces dibujé, con la regla y el lápiz, los otros dos lados del triángulo, AC y BC. A continuación, haciendo uso de nuevo del compás, marqué los puntos de los tres lados que estaban a seis centímetros de los vértices, para poder después trazar los dos segmentos horizontales y los dos segmentos inclinados que aparecen dentro del triángulo en el diagrama. Así, ya solamente faltaba trazar el cuadrado, de seis centímetros de lado, de la parte superior, borrar lo que está dibujado a lápiz en el interior del cuadrado y dibujar las pestañas exteriores que aparecen en el diagrama y que vamos a utilizar para pegar la figura.

Una vez realizadas las figuras sobre las cartulinas (yo elegí el color verde para este primer puzzle), se recortan con cuidado, y se pliegan tanto los cuatro segmentos interiores como los segmentos que nos marcan las pestañas exteriores. Con lo cual nos quedan las dos piezas que aparecen en la siguiente imagen.

Finalmente, se pega cada una de las dos piezas con un pegamento rápido, o se fijan con celofán, y se obtienen los dos semi-tetraedros que forman el rompecabezas.

Ahora con estas dos piezas, cada una de ellas la mitad de un tetraedro, podemos plantear ya, a quien deseemos, el reto de construir un tetraedro, y recordad que si no saben lo que significa la palabra “tetraedro”, podéis decirles que tienen que construir una pirámide triangular (generalmente suelo tener a mano un tetraedro realizado en papel según el arte del origami, y que muestro al final de esta entrada). Cuando planteo este reto, yo suelo entregar las piezas como aparecen en la siguiente imagen.

Para terminar, me gustaría recordar aquí un método que nos enseñó Juan Gimeno, en la página www.divulgamat.net, para construir un tetraedro con dos billetes de metro (de Madrid o París, por ejemplo). Lo podéis encontrar en su colaboración de la sección de Papiroflexia y Matemáticas de divulgamat, bajo el título “Tetraedro Regular con 2 billetes del Metro de Madrid”.

Referencias

1.- Brian Bolt, Actividades matemáticas, Labor, 1988 [reeditado por RBA, 2008]

2.- Juan Gimeno, Tetraedro Regular con 2 billetes del Metro de Madrid, divulgamat, 2004

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

Esta anotación participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid