En el texto que sigue hablaremos de una ‘enfermedad’–que claramente no existe– para ilustrar una paradoja de la teoría de la probabilidad –de la que ya se ha hablado en este blog–. Comenzamos con la historia ficticia de Pablo y su posible dolencia.

Pablo es hipocondríaco. Pedro –que pretende burlarse de la obsesión de su amigo Pablo– le habla de una enfermedad genética recientemente descubierta –la reverosis–, que se manifiesta sólo a partir de los 40 años. Las personas que contraen esta enfermedad entienden al revés gran parte de lo que se les dice, aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas.

La reverosis es una enfermedad tremendamente rara: sólo la padece una persona entre un millón. Pedro comenta a su amigo que existe un test genético que permite averiguar a una persona si padecerá esta dolencia antes de contraerla. Lamentablemente, el test falla una vez de cada mil –es decir, acierta en el 99,9% de los casos–.

El aprensivo Pablo cumple en unos pocos días 40 años y no puede soportar la indecisión. Así que decide acudir a una consulta privada para realizar el test. Unos días más tarde, su médica le dice:

Su test de reverosis ha dado positivo. Pero no se preocupe, tiene sólo una posibilidad sobre mil de estar enfermo.

Pablo piensa que esto no tiene sentido, y reflexiona del siguiente modo:

Si el test se equivoca una vez de cada mil y mi test es positivo, la probabilidad de estar enfermo es del 99,9%… A lo mejor ya soy víctima de la reverosis, y aunque la médica me ha dicho “Su test de reverosis ha dado negativo”, yo he entendido “Su test de reverosis ha dado positivo”… y, entonces, probablemente no estaría enfermo… Pero, ¿cómo se ha invertido sólo su primera frase?

O a lo mejor esta enfermedad, que ya padezco, me ha hecho invertir sólo el sentido de la segunda frase, y en realidad la médica ha dicho: “Su test de reverosis ha dado positivo. Pero preocúpese, porque tiene una posibilidad sobre mil de no estar enfermo”.

Pablo se está dejando llevar por el pánico y está razonando mal. Lo que ha dicho su médica tiene sentido.

Para entenderlo mejor, supongamos que hacemos pasar el test a 100.000.000 personas: aproximadamente 100 de ellas estarán enfermas –recordar que una persona entre un millón padece la reverosis–. Para casi todas estas 100 personas, el test será positivo –recordar que la fiabilidad del test es del 99,9%– con lo que es muy probable que se equivoque para una o dos de esas 100 personas enfermas.

Para las 99.999.900 personas restantes –que están sanas– el test se equivocará aproximadamente 100.000 veces –es decir, una vez por cada mil–. Son los llamados falsos positivos, y la clave está en su gran cantidad. En efecto, a causa de los falsos positivos, entre las aproximadamente 100+100.000 personas para las que el test es positivo, no hay más que unas 100 personas realmente enfermas. Es decir, entre las personas con test positivo, hay aproximadamente 1/1.000 que realmente están enfermas.

Como bien dice su médica Pablo no debería preocuparse por el resultado de este test… Se ha topado con la paradoja del falso positivo, un problema de probabilidades condicionadas.

Nota 1: Como he comentado antes, de falsos positivos ya se ha hablado antes en este blog. Por ejemplo, en Falsos positivos, o la importancia de comprender la información de Raúl Ibáñez, To screen or not to screen de Naia Pereda, o Errar es humano de Juan Ignacio Pérez. Recomiendo cualquiera de ellos para aprender más.

Nota 2: Extraído y adaptado de Jean-Paul Delahaye, Au pays des paradoxes, Bélin, 2008.

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.