Para avanzar en una de las cuestiones más elementales de la teoría de números dos matemáticos recurrieron a una fuente inesperada.
Un artículo de Joseph Howlett. Historia original reimpresa con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente respaldada por la Fundación Simons.
Una nueva prueba ha acercado a los matemáticos un paso más a la comprensión del orden oculto de esos “átomos de la aritmética”, los números primos.
Los números primos (números que solo son divisibles por sí mismos y por el 1) son los elementos básicos de las matemáticas. También son los más misteriosos. A primera vista, parecen estar dispersos al azar en la recta numérica, pero, por supuesto, los primos no son aleatorios. Están completamente determinados y, si los observamos más de cerca, encontramos todo tipo de patrones extraños que los matemáticos han pasado siglos intentando desentrañar. Una mejor comprensión de cómo se distribuyen los primos iluminaría vastas zonas del universo matemático.
Pero, si bien los matemáticos tienen fórmulas que dan una idea aproximada de dónde se encuentran los números primos, no pueden señalarlos con exactitud. En cambio, han tenido que adoptar un enfoque más indirecto.
Alrededor del año 300 a. C., Euclides demostró que hay una cantidad infinita de números primos. Desde entonces, los matemáticos han desarrollado su teorema y han demostrado la misma afirmación para los primos que cumplen criterios adicionales (un ejemplo sencillo: ¿hay una cantidad infinita de primos que no contienen el número 7?). Con el tiempo los matemáticos han ido haciendo que estos criterios sean cada vez más estrictos. Al demostrar que todavía hay una cantidad infinita de primos que satisfacen estas restricciones cada vez más rígidas, han podido aprender más sobre dónde se encuentran los primos.
Pero este tipo de afirmaciones son muy difíciles de demostrar. “No hay muchos resultados de este tipo”, afirma Joni Teräväinen, de la Universidad de Turku (Finlandia).
Ahora, dos matemáticos —Ben Green, de la Universidad de Oxford, y Mehtaab Sawhney, de la Universidad de Columbia— han demostrado que tal afirmación es cierta para un tipo de número primo particularmente difícil. Su demostración, publicada en línea en octubre, no sólo agudiza la comprensión de los matemáticos sobre los números primos, sino que también hace uso de un conjunto de herramientas de un área muy diferente de las matemáticas, lo que sugiere que esas herramientas son mucho más poderosas de lo que los matemáticos imaginaban y que podrían tener aplicaciones en otros ámbitos.
“Es fantástico”, comenta John Friedlander, de la Universidad de Toronto. “Realmente me ha sorprendido que hayan hecho esto”.
Un conjunto de pruebas
Los matemáticos tienden a estudiar familias de números primos que son lo suficientemente complicadas como para ser interesantes, pero lo suficientemente simples como para poder avanzar en ellas. Por ejemplo, podrían intentar demostrar que hay una cantidad infinita de números primos que están separados por 500 unidades, o que podemos construir una cantidad infinita de números primos sumando los cuadrados de otros números.
Esta última restricción ha sido particularmente útil, guiando siglos de progreso matemático. En 1640, Pierre de Fermat conjeturó que hay infinitos números primos que pueden formularse elevando al cuadrado dos números enteros y sumándolos. (El número primo 13, por ejemplo, puede escribirse como 22 + 32). Leonhard Euler lo demostraría más tarde. Pero modificar un poco la cuestión (al insistir en que uno de los números que se elevan al cuadrado sea impar, tal vez, o un cuadrado perfecto) hace que el problema sea mucho más difícil. “Cuanto más se restringe un conjunto, más difícil es encontrar primos en él”, explica Green.
En el siglo XIX, la investigación sobre este tipo de enunciados condujo al desarrollo de gran parte de la teoría de números moderna. En el siglo XX, ayudó a inspirar uno de los esfuerzos matemáticos más ambiciosos hasta la fecha, el programa Langlands. Y en el siglo XXI, el trabajo sobre este tipo de números primos ha seguido produciendo nuevas técnicas y conocimientos.
En 2018, Friedlander y Henryk Iwaniec, de la Universidad Rutgers, se preguntaron si hay infinitos números primos de la forma p2 + 4q2, donde tanto p como q también deben ser primos (por ejemplo, 41 = 52 + 4 × 22). La restricción resultó ser particularmente difícil de abordar, pero si los matemáticos podían resolver el problema lograrían ejercer un nuevo nivel de control sobre los números primos, exactamente lo que esperaban poder hacer desde el principio.
Una visita fructífera
Ni Green ni Sawhney habían jugado antes a este tipo de juego de contar números primos, pero ambos tenían experiencia en el estudio de los extraños patrones a los que dan lugar los números primos.
En julio, los dos matemáticos se conocieron en una conferencia en Edimburgo. Sawhney, que acababa de terminar la escuela de posgrado, siempre había admirado a Green. Un resultado fundamental que Green había demostrado 20 años antes fue “una de las cosas que me atrajeron hacia el tema”, cuenta Sawhney. “Pensé: ‘¡Oh, Dios! ¿Cómo pudiste hacer esto?’”. Green también estaba impresionado por el matemático más joven. “Mehtaab es un matemático excepcional, excepcional”, afirma. “De alguna manera lo sabe todo”.
Los dos decidieron colaborar. Solo tenían que encontrar el problema adecuado en el que trabajar. Después de un breve debate, se decidieron por la conjetura de Friedlander e Iwaniec.
Green invitó a Sawhney a pasar una semana en Oxford. Sabían que, para demostrar conjeturas similares, los matemáticos solían recurrir a un conjunto particular de técnicas de conteo. Pero, como los números primos en su problema estaban definidos de manera tan estricta, Green y Sawhney no pudieron encontrar una manera de hacer funcionar este conjunto de herramientas tradicionales.
En cambio, esperaban demostrar la conjetura de una manera más indirecta, haciendo una especie de movimiento de ajedrez matemático. Pero antes tendrían que demostrar que les estaba permitido hacer el movimiento.
Al final de la visita de Sawhney, él y Green habían descubierto cómo hacerlo, lo que les permitió demostrar la conjetura. Para ello, terminaron haciendo una sorprendente conexión con otra área de las matemáticas.
Prueba con otro conjunto
A Green y Sawhney no les era posible contar directamente la cantidad de números primos que se formaban elevando al cuadrado otros dos números primos y sumándolos. Pero ¿qué pasaría si relajaban un poco su restricción? Se dieron cuenta de que podían resolver una versión ligeramente más débil de su problema: una en la que los números elevados al cuadrado solo debían ser «aproximadamente» primos.
Los números primos aproximados son mucho más fáciles de encontrar que los primos comunes. Digamos que quieres contar todos los números primos aproximados entre 1 y 200. Primero, considera un puñado de los primos más pequeños, como 2, 3, 5 y 7. Luego, enumera todos los números que no son divisibles por esos primos. Estos números son los primos aproximados. En este caso, terminas con 50 números primos aproximados: 46 de ellos son realmente primos, mientras que los cuatro restantes (121, 143, 169 y 187) no lo son. Debido a que los primos aproximados están distribuidos de manera mucho menos aleatoria que los primos, es significativamente más fácil trabajar con ellos. «Los primos aproximados son un conjunto que entendemos mucho, mucho mejor», apunta Sawhney.
Green y Sawhney demostraron que hay una cantidad infinita de números primos que se pueden formar elevando al cuadrado dos primos aproximados y sumándolos. Ahora sólo tenían que demostrar que esta afirmación implicaría el problema que realmente querían resolver: también hay una cantidad infinita de números primos que se pueden escribir como la suma de los cuadrados de los primos reales.
Pero no era obvio. Tendrían que analizar un conjunto especial de funciones, llamadas sumas de Tipo I y de Tipo II, para cada versión de su problema, y luego demostrar que las sumas eran equivalentes sin importar qué restricción usaran. Sólo entonces Green y Sawhney sabrían que podían sustituir números los primos aproximados en su prueba sin perder información.
Pronto se dieron cuenta de algo: podían demostrar que las sumas eran equivalentes utilizando una herramienta que cada uno de ellos había utilizado de forma independiente en trabajos anteriores. La herramienta, conocida como norma de Gowers, fue desarrollada décadas antes por el matemático Timothy Gowers para medir lo aleatoria o estructurada que es una función o un conjunto de números. A primera vista, la norma de Gowers parecía pertenecer a un ámbito completamente diferente de las matemáticas. “Es casi imposible decir, desde fuera, que estas cosas están relacionadas”, afirma Sawhney.
Pero, a partir de un resultado histórico demostrado en 2018 por los matemáticos Terence Tao y Tamar Ziegler, Green y Sawhney encontraron una forma de establecer la conexión entre las normas de Gowers y las sumas de Tipos I y II. Básicamente, necesitaban utilizar las normas de Gowers para demostrar que sus dos conjuntos de primos (el conjunto construido con primos aproximados y el conjunto construido con primos reales) eran suficientemente similares.
Resultó que Sawhney sabía cómo hacerlo. A principios de este año, para resolver un problema no relacionado, había desarrollado una técnica para comparar conjuntos utilizando las normas de Gowers. Para su sorpresa, la técnica era lo suficientemente buena como para demostrar que los dos conjuntos tenían las mismas sumas de Tipos I y II.
Con esto en la mano, Green y Sawhney demostraron la conjetura de Friedlander e Iwaniec: hay infinitos números primos que pueden escribirse como p2 + 4q2. Finalmente, pudieron extender su resultado para demostrar que hay infinitos números primos que pertenecen también a otros tipos de familias. El resultado marca un avance significativo en un tipo de problema en el que los avances suelen ser muy escasos.
Más importante aún, el trabajo demuestra que la norma de Gowers puede actuar como una herramienta poderosa en un nuevo dominio. “Debido a que es tan nueva, al menos en esta parte de la teoría de números, existe potencial para hacer muchas otras cosas con ella”, explica Friedlander. Los matemáticos esperan ahora ampliar aún más el alcance de la norma de Gowers, intentando usarla para resolver otros problemas en la teoría de números más allá del conteo de números primos.
“Es muy divertido para mí ver que cosas en las que pensé hace algún tiempo tienen aplicaciones nuevas e inesperadas”, comenta Ziegler. “Es como cuando un padre le da libertad a su hijo y este crece y hace cosas misteriosas e inesperadas”.
El artículo original, Mathematicians Uncover a New Way to Count Prime Numbers, se publicó el 11 de diciembre de 2024 en Quanta Magazine.
Traducido por César Tomé López
