Dos conjeturas sobre números primos

Matemoción

Números naturales de cero a cien. Los números primos están marcados en rojo. Imagen: Wikimedia Commons.

¿Existe el primo morada de cualquier número entero?

Elije un número entero n mayor que 1. Enumera sus factores primos (con la multiplicidad que corresponda) de menor a mayor y escríbelos concatenados. Al número obtenido aplícale el mismo procedimiento y continúa de este modo. Terminarás cuando obtengas un número primo. Este número primo alcanzado (si existe) se denota por HP(n) y se denomina el primo morada (en inglés, home prime) de n.

Por ejemplo, si n=14, sus factores primos ordenados son (2,7) y obtendríamos el número 27. Sus factores primos son (3,3,3) y conseguiríamos así el número 333. Los factores primos de 333 son (3,3,37), y lograríamos el número 3337. El anterior número factoriza en (47,71), obteniendo al concatenarlos 4771, que es el producto de los primos 13 y 367. Y 13367 es primo, con lo cual habríamos terminado. Así HP(14)=13367. Y, por cierto,

HP(14) = HP(27) = HP(333) = HP(3337) = HP(4771) = H(13367) = 13367.

Observa, además, que si n es un número primo, es HP(n)=n.

Se ha calculado el valor HP(n) para todos los números menores o iguales a 48. Pero aún no se conoce el primo morada (si es que existe) del número 49. Los primeros cálculos no son complicados de realizar:

HP(49) = HP(77) = HP(711) = HP(3379) = HP(31109) = HP(132393) = HP(344131) =…

Como se puede observar, en cada paso las factorizaciones se hacen más complicadas ya que los números intermedios que van apareciendo en este proceso van creciendo.

En agosto de 2016, en la búsqueda de HP(49) se llegó a un número compuesto para factorizar que constaba de 251 dígitos; este número se consiguió tras 118 iteraciones del proceso descrito arriba. Por supuesto, para realizar todos los cálculos involucrados, ha sido necesaria la utilización de recursos computacionales.

El cálculo del primo morada de un número dado se reduce al problema de factorización de números enteros para el cual no existe ningún algoritmo eficiente que lo resuelva.

Además de los problemas computacionales relacionados con la solución de este problema, aún se desconoce si existe el número primo morada de cualquier entero positivo. Aunque se conjetura que sí.

Los detalles de la historia de esta búsqueda se mantienen en el sitio web World of Numbers de Patrick De Geest.

¿Son todos los números afortunados primos?

Multiplica los n primeros números primos. Encuentra el menor entero (mayor que 1) que produce un número primo cuando se añade al anterior producto. Ese número, a(n),se llama un número afortunado (en inglés, Fortunate number, por el antropólogo social Reo Fortune, quien fue el primero es estudiar este tipo de números).

Por ejemplo, si n=6, hacemos el producto:

2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 = 30030.

El menor entero (mayor que 1) que sumado a 30030 da un número primo es 17. Efectivamente, 30030 + 17 = 30047 es primo y 30030 + m no es primo si m es menor que 17. Así, 17 (= a(6)), es un número afortunado.

Los primeros números afortunados (cada número en la lista, a(n), corresponde al producto de los n primeros números primos) son:

3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, 89, 103, 79, 151…

Observar que algunos de ellos se repiten. Además, ¡todos ellos son primos!

De hecho, Reo Fortune conjeturó que a(n) es siempre un número primo. De momento, la conjetura sigue abierta…

Referencias:

Home primes, Futility Closet, 29 diciembre 2020

Home primes (A037274), The OEIS Foundation

Home Prime, Wikipedia

Open Sequences for Home Prime Base 10 (HP10) with n ≤ 11500Fortunate Numbers, Futility Closet, 24 diciembre 2020

Fortunate numbers (A005235), The OEIS Foundation

Fortunate primes in numerical order with duplicates removed (A046066), The OEIS Foundation

Fortunate number, Wikipedia

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad

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