Una conjetura sobre ciertos números en el ‘sistema Shadok’

Matemoción

Los Shadok son los personajes de una serie de animación francesa creada por Jacques Rouxel (1931-2004).

Imagen 1: Una de las imágenes del Doodle dedicado al 48 aniversario (29 de abril de 2016) de la primera emisión en televisión de Les Shadoks (29 de abril de 1968). En la etiqueta: ¡¿Por qué hacerlo simple cuando puede hacerse complicado?!

Los Shadok son seres antropomorfos, con la apariencia de pájaros ‘redondos’, con largas piernas y alas diminutas. Son bastante crueles y tontos; por ejemplo, se dedican a construir máquinas absurdas, que nunca funcionan.

La lengua shadok solo posee cuatro fonemas de base: GA, BU, ZO, MEU. En efecto, su cerebro está constituido por cuatro casillas, y no puede contener más sílabas… de hecho, los Shadok solo son capaces de hacer cuatro cosas; para aprender una nueva, deben olvidar otra…

Estos personajes pueden construir palabras usando las sílabas GA, BU, ZO y MEU… pero la lengua shadok es incomprensible, ya que las palabras son polisémicas. Así, todo Shadok puede emitir cualquier palabra y su interlocutor comprenderá lo que mejor le convenga… aunque intercambian ideas entre ellos. Por ejemplo, ZoGa significa ‘bombear’, ZoBuGa denota ‘bombear con una bomba pequeña’ y ZoBuBuGa representa ‘bombear con una bomba grande’. GaMeu es la noche, BuBu el mar y BuGa la tierra.

Estos cuatro fonemas sirven también para contar: GA (0), BU (1), ZO (2) y MEU (3), y cualquier número se construye a partir de estos cuatro por un sistema de numeración por posición, que es sencillamente la base 4:

Imagen 2: Base decimal versus base shadok.

Existen incluso páginas web destinadas a convertir números del sistema de numeración decimal al sistema shadok y viceversa. Por ejemplo, el número 100 se escribe en el sistema shadok:

BU-ZO-BU-GA.

El pasado domingo, en Blogdemaths (ver [1]) su autor escribía un artículo describiendo algunas propiedades interesantes de los números

Ga-Bu-Zo-Meu-Ga-Bu-Zo-Meu-[…]-Ga-Bu-Zo-Meu,

donde Ga-Bu-Zo-Meu se repetía n veces.

Los primeros valores de estos números son:

Imagen 3: Los primeros números de la forma Ga-Bu-Zo-Meu-[…]-Ga-Bu-Zo-Meu, en base 10 y su descomposición en factores primos. Extraído de [1].
A la vista de esta serie de valores, el autor del blog establece la siguiente conjetura:

Conjetura: La descomposición en factores primos de los números

Ga-Bu-Zo-Meu-[…]-Ga-Bu-Zo-Meu

es el producto de una potencia de 3 por un entero libre de cuadrados.

Intentando probar esta conjetura (o encontrar un contraejemplo para ella), el autor obtiene una expresión general para estos números:

Así, para encontrar los divisores de Ga-Bu-Zo-Meu-[…]-Ga-Bu-Zo-Meu, basta con encontrar los divisores de 28n-1, que es un número de Mersenne.

Usando el teorema de Euler, el autor demuestra que

Ga-Bu-Zo-Meu-[…]-Ga-Bu-Zo-Meu (42 veces)

es divisible por 49… así que su conjetura es falsa. A partir de allí encuentra más contraejemplos a su conjetura, para

Ga-Bu-Zo-Meu-[…]-Ga-Bu-Zo-Meu (n veces)

con n = 54, 110, 120, 156,… todos ellos números pares.

La conjetura es falsa, pero el autor se pregunta a continuación, ¿quizás no existe un contraejemplo a su conjetura para

Ga-Bu-Zo-Meu-[…]-Ga-Bu-Zo-Meu (n veces)

con n impar? La respuesta es negativa; esta vez, usando números de Mersenne y números primos de Wieferich, es capaz de encontrar un contraejemplo con n impar a su conjetura, y lo descubre para n=91.

Aún es posible hacerse más preguntas, y el autor, efectivamente, las plantea: ¿es n=91 el menor contraejemplo impar a su conjetura?

Referencias

[1] GaBuZoMeu…GaBuZoMeu, Blogdemaths, 24 de septiembre de 2017

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

1 comentario

  • Avatar de Manuel López Rosas

    ¡Qué interesante y hasta divertido a ratos! Se presta para jugar incluso sólo con las imágenes, pero el juego se incrementa al buscar equivalentes en español. Y tenemos un montón de mundos para explorar lo que tienen en común las variantes.

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