Incendios, los grafos de visibilidad y la conjetura de Collatz

Matemoción

Hay verdades que sólo pueden ser reveladas a condición de ser descubiertas.”
Carta final de Nawal Marwan a sus hijos gemelos Jeanne y Simon

En septiembre de 2016 se representó por primera vez en castellano Incendios del dramaturgo Wajdi Mouawad; la obra de teatro está dirigida por Mario Gas y cuenta con un gran elenco de actrices y actores.

Lamentablemente, no me ha sido posible ir a verla, pero he leído más de una vez el texto en el que se basa la obra, una durísima historia que trata sobre la violencia (sobre todo ejercida contra las mujeres), la venganza, la importancia de lo escrito y de lo hablado, la recuperación de la memoria, la búsqueda de los orígenes, las huellas que dejan lo vivido… Lo que comentaré en esta nota se basa, por lo tanto, en el libro [1].

Incendios, la historia

Nawal Marwan acaba de morir, tras haberse negado a hablar durante cinco años. Por medio del notario Hermile Lebel, deja a su hija y a su hijo –los gemelos Jeanne y Simon– un testamento en forma de misión: la de entregar una carta a un padre que creían muerto y otra a un hermano del que desconocían la existencia. Tras cumplir con este cometido, podrán poner su nombre sobre la tumba de su madre y abrir otras dos misivas que explicarían el silencio de Nawal durante los últimos años de su vida.

Jeanne y Simon deben dejar Canadá –país en el que creen haber nacido– para regresar al Líbano y encontrar sus orígenes. En esta búsqueda se esconde la necesidad de comprender la historia de su madre, y por lo tanto la suya propia.

Poco a poco van conociendo la historia de Nawal a la que, con tan sólo quince años, arrebatan al hijo nacido de la relación con su amado Wahab. Nawal debe abandonar su poblado y regresa años más tarde para buscar al niño robado. Se encuentra en mitad de una sangrienta guerra, en la que los refugiados huyen perseguidos por milicianos que violan y asesinan de manera impune.Hay un verdadero incendio en la historia, el de un autobús del que Nawal consigue salir de manera milagrosa; Nawal es encarcelada tras matar a un miliciano en defensa propia, y en la prisión de Kfar Rayat es sometida a terribles torturas por parte de Abou Tarek. Fruto de las continuas violaciones de este hombre, Nawal queda embarazada y da a luz a los dos gemelos.

Como parte del legado de su madre, Jeanne y Simon deben encontrar a su padre –al que creían muerto– y a su hermano mayor, y entender el motivo del incomprensible silencio de Nawal.

Las matemáticas de Incendios

Jeanne enseña teoría de grafos en la universidad, y así habla de la matemática básica durante una de sus clases:

Las matemáticas que habéis conocido hasta ahora han tenido como objetivo encontrar una respuesta estricta y definitiva a problemas estrictos y definitivos. Las matemáticas en las que os embarcáis al seguir este curso de introducción a la teoría de grafos son de naturaleza completamente diferente, porque se tratará con problemas insolubles que os llevarán siempre a otros problemas igualmente insolubles. La gente de vuestro entorno os repetirá que eso en lo que os obstináis es inútil. Cambiará vuestra manera de hablar, y más aún, vuestra forma de callar y de pensar. Esto es precisamente lo que menos os perdonarán. Os reprocharán a menudo el malgastar vuestra inteligencia en ejercicios teóricos absurdos en vez de ponerla al servicio de la investigación contra el SIDA o de un tratamiento contra el cáncer. No tendréis ningún argumento para defenderos, ya que vuestros argumentos son en sí mismos de una complejidad teórica absolutamente agotadora. Bienvenidos a las matemáticas puras, es decir, al país de la soledad. Introducción a la teoría de grafos.

Poco después, Jeanne explica lo que es un grafo de visibilidad, aludiendo a las relaciones familiares. Volverá a hablar de este objeto matemático, cuando ‘deba añadir a su propio grafo de visibilidad –el que representa su familia– a su padre y a su hermano mayor’.

Consideremos un polígono simple con cinco lados etiquetados A, B, C, D y E. Llamamos a este polígono, el polígono K. Ahora imaginemos que este polígono representa el plano de una casa donde vive una familia. Y en cada rincón de la casa se sitúa uno de los miembros de esta familia. Reemplacemos por un instante A, B, C, D y E por la abuela, el padre, la madre, el hijo, la hija que viven juntos en el polígono K. Nos planteamos entonces la cuestión de quien –desde el punto de vista que ocupa– ve a quien. La abuela ve al padre, a la madre y a la hija. El padre ve a la madre y a la abuela. La madre ve a la abuela, al padre, al hijo y a la hija. El hijo ve a la madre y a la hermana. Por último, la hermana ve a su hermano, a la madre y a la abuela. […] Ahora, quitemos las paredes de la casa y unamos mediante caminos sólo los miembros de la familia que se ven. El dibujo al que llegamos se llama grafo de visibilidad del polígono K. […] El problema es el siguiente: para cualquier polígono simple, se puede trazar fácilmente –como hemos demostrado– su grafo de visibilidad y su aplicación teórica. Ahora, ¿cómo se puede –partiendo de una aplicación teórica, ésta por ejemplo–, dibujar el grafo de visibilidad y así encontrar la forma del polígono concordante? ¿Cuál es la forma de la casa en la que viven los miembros de la familia representada por esta aplicación? Intentad dibujar el polígono. […] No lo conseguiréis. La teoría de grafos se basa esencialmente en este problema, de momento imposible de resolver. Ahora bien, es esta imposibilidad la que es bella.

Tras recoger la carta destinada a su padre de las manos del notario, Jeanne dice a Lebel:

En matemáticas, 1+1 no son 1,9 o 2,2. Son 2. Ya se esté de buen humor o se sea infeliz, 1 y 1 son 2. Todos pertenecemos a un polígono, Sr. Lebel. Pensé que conocía mi lugar en el interior del polígono al que pertenezco. Creía ser el punto que sólo ve a su hermano Simon y a su madre Nawal. Ahora, me entero de que, desde el lugar que ocupo, es posible que pueda ver también a mi padre; me entero además de que existe otro miembro de este polígono, otro hermano. El grafo de visibilidad que siempre he dibujado es falso. ¿Cuál es mi lugar en el polígono? Para saberlo, tengo que resolver una conjetura. Mi padre está muerto. Ésa es la conjetura. Todo lleva a pensar que es verdadera. Pero nada la demuestra. No he visto su cadáver, no he visto su tumba. Es posible, por lo tanto, entre el 1 y el infinito, que mi padre esté vivo.

El descubrimiento de la verdad sobre el padre y el hermano mayor rompe esas certezas en las que cualquiera cree sin dudar –como la de que uno más uno son dos–. A través de la conjetura de Collatz la terrible realidad –que no vamos a decir de manera explícita– sale a la luz:

Simon (S): Siempre me has dicho que uno más uno son dos. ¿Es verdad?

Jeanne (J): Sí… Es verdad.

S: ¿No me has mentido?

J: ¡No! ¡Uno y uno son dos!

S: ¿Nunca es uno?

J: ¿Qué has descubierto, Simon?

S: Uno más uno ¿puede ser uno?

J: Sí.

S: ¿Qué?

[…]

S: Explícame como uno más uno puede ser uno, siempre me has dicho que no entendía nada, así que ¡ahora es el momento! ¡Explícame!

J: ¡De acuerdo! Hay una conjetura muy extraña en matemáticas. Una conjetura que nunca se ha demostrado. Me vas a dar un número, cualquiera. Si el número es par, se divide por dos. Si es impar, se multiplica por tres y se suma uno. Haremos lo mismo con el número que se obtiene. Esta conjetura afirma que cualquiera que sea el número de partida, por este procedimiento se llega siempre a uno. Di un número.

S: Siete.

J: Bueno siete es impar. Lo multiplicamos por tres y le añadimos uno, da…

S: Veintidós.

J: Veintidós es par, se divide por dos.

S: Once.

J: Once es impar, se multiplica por tres, y se añade uno:

S: Treinta y cuatro.

J: Treinta y cuatro es par. Se divide por dos, diecisiete. Diecisiete es impar, se multiplica por tres, y se suma uno, cincuenta y dos. Cincuenta y dos es par, se divide por dos, veintiséis. Veintiséis es par, se divide por dos, trece. Trece es impar. Se multiplica por tres y se suma uno cuarenta. Cuarenta es par, se divide por dos, veinte. Veinte es par, se divide por dos, diez, diez es par, se divide por dos, cinco. Cinco es impar, se multiplica por tres y se suma uno. Dieciséis. Dieciséis es par, se divide por dos, ocho, ocho es par, se divide por dos, cuatro, cuatro es par, se divide por dos, dos, dos es par, se divide por dos, uno. Independientemente de la cifra inicial, se llega a… ¡No!

Aunque no se dice explícitamente en el texto, se reconoce en la historia la cruel guerra del Líbano que tuvo lugar entre 1975 y 1989. Por ejemplo, se alude al incendio del autobús en 1975 y las masacres de los campos de refugiados de Sabra y Chatila.

Nota: Las traducciones de los extractos elegidos de la obra (ver [1]) son de la autora de esta anotación.

Referencias

  1. Wajdi Mouawad, Incendies, Actes Sud, 2011

  2. Marta Macho Stadler, Incendies, de Wajdi Mouawad, DivulgaMAT, Teatro y matemáticas, diciembre 2012

  3. Página de Wajdi Mouawad dedicada a Incendies

  4. Alfonso Jesús Población Sáez, La conjetura de Siracusa, reseña sobre la película Incendies basada en la obra de W. Mouawad, DivulgaMAT, Cine y Matemáticas, mayo 2011

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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