Shizuo Kakutani y sus teoremas

Matemoción

El matemático Shizuo Kakutani (1911-2004) nació tal día como hoy, hace 108i años.

Shizuo Kakutani. Imagen: Wikimedia Commons.

Es sobre todo conocido por haber demostrado el teorema del punto fijo que lleva su nombre y que generaliza el teorema del punto fijo de Brouwer:

Consideremos S un subconjunto no vacío, compacto y convexo del espacio euclidiano de dimensión n. Sea φ una función de S en el conjunto potencia de S, semicontinua superiormente, convexa y tal que φ(x) es un conjunto cerrado y no vacío para todo x en S. Entonces φ tiene un punto fijo.

Este teorema posee aplicaciones en economía y teoría de juegos. Por ejemplo John Nash lo utilizó para demostrar la existencia de equilibrios de Nash en estrategias mixtas.

Otras de sus contribuciones matemáticas son el teorema de Kakutani (todo cuerpo convexo en un espacio tridimensional tiene un cubo circunscrito, es decir, un cubo tal que todas sus caras tocan al cuerpo), el concepto de descomposición en rascacielos de Kakutani en teoría ergódica o su solución de la ecuación de Poisson usando métodos de análisis estocástico.

Kakutani ayudó a difundir la conjetura de Collatz, que a veces se nombra también “conjetura de Kakutani”. ¿Y qué dice la conjetura de Collatz? Lo vamos a recordar a través de un fragmento de la obra de teatro Incendios del dramaturgo Wajdi Mouawad. La siguiente es una conversación entre Jeanne, matemática, y su hermano gemelo Simon:

Jeanne (J): ¡De acuerdo! Hay una conjetura muy extraña en matemáticas. Una conjetura que nunca se ha demostrado. Me vas a dar un número, cualquiera. Si el número es par, se divide por dos. Si es impar, se multiplica por tres y se suma uno. Haremos lo mismo con el número que se obtiene. Esta conjetura afirma que cualquiera que sea el número de partida, por este procedimiento se llega siempre a uno. Di un número.

Simon (S): Siete.

J: Bueno siete es impar. Lo multiplicamos por tres y le añadimos uno, da…

S: Veintidós.

J: Veintidós es par, se divide por dos.

S: Once.

J: Once es impar, se multiplica por tres, y se añade uno:

S: Treinta y cuatro.

J: Treinta y cuatro es par. Se divide por dos, diecisiete. Diecisiete es impar, se multiplica por tres, y se suma uno, cincuenta y dos. Cincuenta y dos es par, se divide por dos, veintiséis. Veintiséis es par, se divide por dos, trece. Trece es impar. Se multiplica por tres y se suma uno cuarenta. Cuarenta es par, se divide por dos, veinte. Veinte es par, se divide por dos, diez, diez es par, se divide por dos, cinco. Cinco es impar, se multiplica por tres y se suma uno. Dieciséis. Dieciséis es par, se divide por dos, ocho, ocho es par, se divide por dos, cuatro, cuatro es par, se divide por dos, dos, dos es par, se divide por dos, uno. Independientemente de la cifra inicial, se llega a… ¡No!

¿A qué se llega? Al número 1.

En este enlace, puedes introducir el número que quieras y comprobar que, efectivamente, realizando las operaciones indicadas se llega a 1…

Por si acaso, he hecho una prueba con el famoso número 241543903 y, siguiendo la regla antes explicada, este calculador ha ido obteniendo los siguientes números:

241543903, 724631710, 362315855, 1086947566, 543473783, 1630421350, 815210675, 2445632026, 1222816013, 3668448040, 1834224020, 917112010, 458556005, 1375668016, 687834008, 343917004, 171958502, 85979251, 257937754, 128968877, 386906632, 193453316, 96726658, 48363329, 145089988, 72544994, 36272497, 108817492, 54408746, 27204373, 81613120, 40806560, 20403280, 10201640, 5100820, 2550410, 1275205, 3825616, 1912808, 956404, 478202, 239101, 717304, 358652, 179326, 89663, 268990, 134495, 403486, 201743, 605230, 302615, 907846, 453923, 1361770, 680885, 2042656, 1021328, 510664, 255332, 127666, 63833, 191500, 95750, 47875, 143626, 71813, 215440, 107720, 53860, 26930, 13465, 40396, 20198, 10099, 30298, 15149, 45448, 22724, 11362, 5681, 17044, 8522, 4261, 12784, 6392, 3196, 1598, 799, 2398, 1199, 3598, 1799, 5398, 2699, 8098, 4049, 12148, 6074, 3037, 9112, 4556, 2278, 1139, 3418, 1709, 5128, 2564, 1282, 641, 1924, 962, 481, 1444, 722, 361, 1084, 542, 271, 814, 407, 1222, 611, 1834, 917, 2752, 1376, 688, 344, 172, 86, 43, 130, 65, 196, 98, 49, 148, 74, 37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2 y 1.

¡Bien! Pasando por 109 números pares y 51 impares, hemos verificado lo que dice la conjetura de Kakutani con el número 241543903, un número cualquiera. ¿Será cierta la conjetura de Collatz? ¿O quizás alguien consiga encontrar un contraejemplo? El tiempo lo dirá…

Más información

BONUS: Entre otras propiedades matemáticas, 108 es un número abundante (hablamos de este tipo de números en Sumas y sucesiones alícuotas), semiperfecto, tetranacci, hiperfactorial, refactorable o de Devlali. Además, es el número atómico del elemento hasio y la medida (en grados) de los ángulos internos de un pentágono regular. Y, por cierto, con una temperatura interna de 108 grados Fahrenheit (algo más de 42 grados centígrados), los órganos vitales del cuerpo humano comienzan a fallar por sobrecalentamiento…

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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