La engañosamente simple conjetura de Kakeya ha desconcertado a los matemáticos durante 50 años. Una nueva demostración de la conjetura en tres dimensiones arroja luz sobre toda una serie de problemas relacionados.
Un artículo de Joseph Howlett. Historia original reimpresa con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente respaldada por la Fundación Simons.
Imagina un lápiz sobre tu escritorio. Intenta girarlo para que apunte una vez en cada dirección, pero asegúrate de que cubra la menor superficie posible. Puedes girarlo sobre su centro, dibujando un círculo. Pero si lo deslizas con inteligencia, puedes lograr un resultado mucho mejor.
«Se trata simplemente de un problema sobre cómo las líneas rectas pueden intersecarse entre sí», explica Jonathan Hickman, matemático de la Universidad de Edimburgo. «Pero hay una increíble riqueza encerrada en él: una increíble variedad de conexiones con otros problemas».
Durante cinco décadas, los matemáticos han buscado la mejor solución posible a la versión tridimensional de este desafío: sostener un lápiz en el aire y apuntarlo en todas direcciones, minimizando al mismo tiempo el volumen del espacio que recorre. Este sencillo problema ha eludido a algunos de los más grandes matemáticos vivos, y se esconde tras una multitud de problemas sin resolver.
Ahora, la búsqueda de una solución parece haber terminado. En un artículo publicado recientemente en el sitio web de prepublicaciones científicas arxiv.org, Hong Wang, del Instituto Courant de la Universidad de Nueva York, y Joshua Zahl, de la Universidad de Columbia Británica, han demostrado la conjetura de Kakeya tridimensional: han establecido un límite absoluto a lo pequeño que puede ser dicho patrón de movimientos.
«Esto no necesita exageración», afirma Nets Katz, matemático de la Universidad Rice. «Es un resultado de los que sea da una vez en un siglo».
Una trama que se complica
En 1917, Sōichi Kakeya planteó el problema, pero con un lápiz infinitamente fino. Encontró una forma de deslizar el lápiz que cubría un área menor que el instintivo movimiento circular.
Kakeya se preguntó cómo de pequeña podría ser el área que el lápiz barre. Dos años después, el matemático ruso Abram Besicovitch encontró la respuesta: un complejo conjunto de giros cerrados que, contrariamente a la intuición, no cubre espacio alguno.
Esto prácticamente resolvió la cuestión hasta 1971, cuando Charles Fefferman estaba estudiando algo aparentemente ajeno a las líneas giratorias: la transformada de Fourier, una herramienta matemática fundamental que permite reimaginar cualquier función matemática como una combinación de ondas. En el trabajo de Fefferman surgía constantemente una versión modificada del problema de Kakeya. En este caso, el lápiz tiene un grosor y gira en tres dimensiones. Aquí la pregunta de Kakeya se convierte en la siguiente: al cambiar el grosor del lápiz, ¿cómo afecta esto al volumen del espacio que traza?
Los matemáticos prefieren visualizar este problema de una forma ligeramente diferente (pero equivalente). En lugar de mover un lápiz en el espacio, imagina todas las posiciones de su trayectoria a la vez. El resultado es una configuración de tubos fantasmales superpuestos que apuntan a todas partes, llamada conjunto de Kakeya. Puedes deslizar los tubos, pero no rotarlos. El objetivo es formar una configuración con la mayor superposición posible.
Incluso el conjunto de Kakeya que más se superpone ocupa espacio, descubrió Fefferman. Ese volumen mínimo depende del grosor de los tubos. Los matemáticos cuantifican la relación entre el grosor de los tubos y el volumen del conjunto mediante un número llamado dimensión de Minkowski. Cuanto menor sea la dimensión de Minkowski, más se puede reducir el volumen del conjunto adelgazando ligeramente los tubos.
La conjetura tridimensional de Kakeya establece que la dimensión de Minkowski de un conjunto debe ser tres. Esto constituye una relación muy débil: si se reduce a la mitad el grosor de los tubos, por ejemplo, solo se eliminará una pequeña parte del volumen como máximo.
Pero incluso esta leve restricción resultó ser casi imposible de probar.
Pasito a pasito
En 2022, cinco décadas después de la formulación de la conjetura moderna de Kakeya, Wang y Zahl dieron un paso significativo. Siguiendo un programa que Katz y Terence Tao habían diseñado en 2014, examinaron una clase problemática de conjuntos de Kakeya. Su demostración mostró que cada conjunto de esa clase en concreto tenía una dimensión de tres. (La demostración se aplica tanto a la dimensión de Minkowski como a un concepto estrechamente relacionado, la dimensión de Hausdorff). Con ese grupo problemático a un lado, ahora tenían que demostrar que la dimensión era tres para todos los demás conjuntos de Kakeya.
Su enfoque consistía en avanzar paso a paso. Primero examinarían un rango estrecho de dimensiones de Minkowski (por ejemplo, de 2,5 a 2,6) e intentarían demostrar que ningún conjunto de Kakeya podría estar en ese rango. Si lograban demostrar esto para cada intervalo hasta llegar a tres, habrían demostrado la conjetura de Kakeya.
Afortunadamente, Wang y Zahl no tuvieron que empezar desde cero. Tom Wolff demostró en 1995 que ningún conjunto tridimensional de Kakeya tiene una dimensión de Hausdorff o Minkowski inferior a 2,5. Pero necesitaban una manera de demostrar que una dimensión entre 2,5 y, por ejemplo, 2,500001, también era imposible. Entonces podrían repetir ese argumento para obtener un límite de 2,500002, y así sucesivamente. Cada vez estarían demostrando esencialmente que no existen conjuntos de Kakeya dentro de ese pequeño incremento.
En la práctica, no tuvieron que demostrar tediosamente cada uno de estos millones de incrementos uno por uno. Solo necesitaban demostrar el primer incremento, siempre y cuando pudieran demostrar que un límite implica el siguiente, ligeramente mayor. Luego, tendrían que demostrar que su argumento funcionaba sin importar dónde comenzaran. Eso sería suficiente para demostrar que el intervalo puede irse incrementando hasta llegar a tres.
Pero a diferencia de 2022, cuando aplicaron la estrategia de Katz y Tao, no tenían una hoja de ruta a seguir. Recurrieron a una propiedad especial llamada granulosidad.
En 2014, Larry Guth, matemático del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), demostró que cualquier contraejemplo de la conjetura de Kakeya debía ser “granuloso”. En un conjunto granuloso existen numerosas secciones tridimensionales pequeñas donde se superponen muchos tubos. Cada uno de estos “granos” tiene aproximadamente el grosor de un tubo y es varias veces más ancho, pero no tiene su longitud, ya que muchos tubos lo atraviesan longitudinalmente.
Wang y Zahl se dieron cuenta de que podían prescindir por completo de los tubos y trabajar con estos granos más simples. Descubrieron que era más fácil enumerar y calcular las diversas maneras en que los granos podían superponerse.
Incluso en los casos en que todos los granos conspiraban para proporcionar la máxima superposición, descubrieron que el número de granos que intersecaban un punto dado no podía ser demasiado grande. A partir del límite de 2,5, pudieron demostrar que los granos tampoco podían superponerse lo suficiente como para resultar en una dimensión ligeramente superior a dicho límite. Luego, a partir del límite superior, demostraron que se podían aplicar los mismos pasos computacionales para aumentar aún más el límite. Y así sucesivamente.
«Es como perfeccionar una máquina de movimiento perpetuo. Es mágico», comenta Tao. «Obtienen más en la salida que en la entrada». Su máquina los llevó hasta una dimensión de Minkowski (y Hausdorff) de tres, demostrando la conjetura tridimensional de Kakeya.
Torre de sueños
La resolución de la conjetura supone un cambio radical para el campo del análisis armónico, que estudia los detalles de la transformada de Fourier.
Una torre de tres conjeturas monumentales en análisis armónico reposa sobre la conjetura de Kakeya. Cada piso de la torre debe ser robusto para que los pisos superiores tengan alguna posibilidad de éxito. Si la conjetura de Kakeya se hubiera demostrado falsa —si Wang y Zahl hubieran encontrado un contraejemplo—, toda la torre se habría derrumbado.
Pero ahora que la han demostrado, los matemáticos podrían ser capaces de subir en la torre, usando Kakeya para construir demostraciones de estas conjeturas cada vez más ambiciosas. «Todos estos problemas que [los matemáticos] soñaban con resolver algún día, ahora parecen abordables», comenta Guth.
Ese proceso ya ha comenzado. Wang ha coescrito recientemente un artículo aparte que reduce la siguiente conjetura de la torre a una versión más robusta de la conjetura de Kakeya, un paso hacia la conexión entre ambos niveles.
También supone un salto dimensional para toda esta área de las matemáticas, que hasta ahora se había estancado en 2D. «La gente entendía muy bien lo que ocurre [en los problemas adyacentes a Kakeya] en dos dimensiones, pero carecíamos de las herramientas para estudiar dimensiones superiores», explica Wang. «Por eso creo que esto era necesario. Era necesario hacerlo».
La conjetura cuatridimensional de Kakeya permanece abierta, también con una torre de conjeturas cuatridimensionales encima. Surgirán nuevas dificultades, dice Guth, pero cree que el salto de dos a tres dimensiones fue el más difícil, y que la demostración de Wang y Zahl probablemente pueda adaptarse a esa torre y más allá.
“Cuando, siendo un matemático joven, me entusiasmé con el problema de Kakeya, me pareció tan simple y geométrico que me sorprendió su dificultad”, cuenta Guth. Años después, Wang, su estudiante de doctorado, se sintió motivada por la misma engañosa simplicidad.
“Tienes estas cosas concretas que puedes visualizar. No es tan aterradora como otras teorías matemáticas”, comenta Wang. “Solo quería entender por qué es difícil”.
Ahora, gracias a los esfuerzos de Wang y Zahl, esa comprensión está más cerca que nunca. «Realmente creo que hay una masa crítica de ideas que podrían revolucionar todo el campo partiendo de aquí», apunta Hickman. «Es un momento muy, muy emocionante».
El artículo original, ‘Once in a Century’ Proof Settles Math’s Kakeya Conjecture, se publicó el 14 de marzo de 2025 en Quanta Magazine.
Traducido por César Tomé López
