El año 1990 la American Mathematical Society (Sociedad Matemática Americana) publicó un curioso libro que, bajo el título de Mathematical Impressions, recogía más de ochenta ilustraciones artísticas del matemático ruso Analoty T. Fomenko.

Mi primer contacto con A. T. Fomenko fue a través de sus libros de Geometría Diferencial y Topología Algebraica, relacionados con mi área de investigación. Libros como Modern Geometry. Methods and Applications (1984, 1985 y 1990), Symplectic Geometry. Methods and Applications (1988) o Homotopic topology (1986), entre muchos otros.

El matemático ruso Anatoly Timofeevich Fomenko, que nació el 13 de marzo de 1945 en la ciudad ucraniana de Donetsk, por aquel entonces Stalino (URSS), fue un conocido topólogo y geómetra diferencial de la Universidad Estatal de Moscú, así como miembro de la Russian Academy of Sciences (Academia Rusa de Ciencias).

En 1969 publicó en ruso, junto con Dimitry B. Fuchs y Victor L. Gutenmacher, su libro Homotopic topology, que sería traducido al inglés en 1987. Las personas que leyeron este libro matemático se quedaron sorprendidas al encontrarse en el mismo una serie de ilustraciones artísticas en blanco y negro, y del tamaño de una página, que pretendían explicar visualmente algunos conceptos matemáticos muy complejos, pero que, al mismo tiempo, utilizando una estética oscura y expresionista, tenían un marcado carácter artístico. Una versión moderna de ese libro fue publicada en 2016 por Springer (GMT 273).

Veamos algunas de las ilustraciones que formaron parte de este libro. La primera de ellas, que inicia el libro es Esfera con cuernos de Alexander (1967), que ilustra un concepto topológico extraño como son las esferas con cuernos de Alexander (véase la entrada James Waddell Alexander de Marta Macho, para más información).

La segunda ilustración de arriba es Zoo topológico (1967). La explicación que acompaña a la misma dice así:

“En este espacio cavernoso, la galería de un gran castillo austero, tres seres observan desde arriba como otras criaturas pasan el tiempo en una colección de magníficas formas matemáticas, cada una siendo una perturbación diferente del espacio físico. Arriba a la derecha, un poliedro animado cobra vida y comienza a descomponerse en sus componentes, las conchas, como escorpiones, de las que está hecho. Observe la cola del aparente escorpión, arqueándose hacia arriba y hacia la cabeza de las conchas, revelando intuitivamente las facetas de la estructura y forma del objeto. Vea cómo las conchas finalmente se unen para crear un único poliedro infinito. Mientras tanto, en el centro del gran hall, un enorme toro, es decir, un objeto con forma de donuts, se está dando la vuelta (el interior pasa a ser exterior, y al revés), transformándose a sí mismo y al espacio que lo rodea. Curiosamente, a pesar de que el toro, que ha sido cortado o perforado, se retuerce en el espacio y se está dando la vuelta, el nuevo objeto sigue siendo un toro, aunque las superficies interna y externa se han intercambiado.

En la parte inferior izquierda, a la sombra de un gran pilar, yace un objeto llamado el collar de Antoine, bastante familiar en topología. A su derecha, descansa una película de jabón, que se extiende a través de un cable circular. Compuesto por la unión de una banda normal de Moebius con una banda triple de Moebius, esta superficie minimal es notable ya que puede contraerse continuamente a lo largo de su límite sin romperse. Incluso se puede transformar en otro objeto, conocido en topología como una casa de Bing con un agujero. Finalmente, en el centro hay un solenoide 2-adico.”

Para las personas que el anterior texto solamente les parece un cúmulo de términos matemáticos incomprensibles, diremos que es una galería de imágenes de superficies topológicas interesantes. Entre los términos mencionados están “el collar de Antoine” del que podéis leer en la entrada Louis Antoine y su fabuloso collar, de Marta Macho, la famosa “banda de Moebius”, sobre la que podéis ver el video La banda de Moebius, de la sección Una de Mates del programa de TV Órbita Laika, o las películas de jabón, que son superficies minimales, sobre las que podéis ver este otro video Matemáticas con jabón, de Una de Mates.

Otra ilustración en la que se intenta explicar un proceso matemático es la siguiente, cuyo título es ¿Es posible darle la vuelta (el interior pasa a ser exterior, y al revés) a una esfera (de dimensión 2) en el espacio euclídeo tridimensional ambiente dentro de la clase de las inmersiones diferenciables (“suaves”)? (1985, aparece en la versión inglesa).

Para visualizar el proceso de darle la vuelta (el interior pasa a ser exterior, y el exterior pasa a ser interior) a una esfera (de dimensión 2) en el espacio euclídeo tridimensional, que se ilustra en la anterior imagen, puede verse el siguiente video… How to turn a sphere inside out:

Disfrutemos de un par de ejemplos más de ilustraciones de la publicación Homotopic Topology. La primera (aunque de su versión más moderna) tiene el título Fantasía sobre el tema de los fractales, análogos a los conjuntos de Cantor, y dimensión de Hausdorff no entera (1986).

Y la última ilustración que incluimos de Homotopic Topology tiene el enigmático título, para aquellas personas de fuera del mundo de las matemáticas, o más concretamente, de la topología algebraica, El problema de un algoritmo efectivo de cálculo de los grupos de homotopía de las esferas no está resuelto (ya aparece en la publicación de 1986).

El matemático ruso continuó trabajando en la misma línea durante los siguientes años, llegando a realizar al menos 280 ilustraciones artísticas de conceptos y resultados matemáticos, no solamente de geometría y topología, sino también de otros tópicos como estadística, probabilidad o teoría de números.

En el libro Mathematical Impressions, publicado por la American Mathematical Society, en 1990, se incluyeron 84 ilustraciones, 23 de las cuales eran en color.

En la introducción de este libro A. T. Fomenko escribe: “Pienso en mis dibujos como si fueran fotografías de un mundo extraño, pero real, y la naturaleza de este mundo, uno de objetos y procesos infinitos, no se conoce bien. Claramente, existe una conexión entre el mundo matemático y el mundo real…. Esta es la relación que yo veo entre mis dibujos y las matemáticas.«

A continuación, mostraremos algunas ilustraciones incluidas en este libro tan especial, que es Mathematical Impressions.

Las superficies de Kummer son superficies algebraicas que tienen dieciséis puntos singulares. El ejemplo de Fomenko tiene 8 puntos singulares reales, como la superficie cuyo modelo físico (del Touch Geometry Project) mostramos a continuación.

La siguiente obra recibe el título Fantasía geométrica sobre el tema de las funciones analíticas (1971).

También nos encontramos con una representación del infinito en la obra Infinito matemático (1977). El texto que acompaña la imagen es el siguiente:

“Miles de caras en una multitud gritan, rodeando una sola cabeza ominosa. De hecho, esta imagen refleja las meditaciones de los matemáticos sobre el infinito, un concepto que acompaña a muchas teorías y que aparece de diferentes maneras en geometría, lógica, teoría de números y muchas otras áreas. Infinito potencial y real, paradojas de lógica, problemas irresolubles, la hipótesis del continuo y sus diversas versiones, matemáticas constructivas, intuicionismo (en el espíritu de Poincaré) -todos estos cobran vida mediante la existencia del infinito matemático, cuyo estudio presenta fascinantes problemas filosóficos sobre el conocimiento del mundo que nos rodea. En cuanto a las personas, un homeomorfismo adecuado puede identificar a diferentes seres humanos desde un punto de vista geométrico, comenzando con un único sujeto ideal. Todo esto también recuerda a los muchos artistas medievales que trataron de reflejar sus interpretaciones de infinitos físicos y morales sobre lienzos dedicados a los sufrimientos de Jesucristo.”

También realizó ilustraciones relacionadas con la probabilidad, como esta obra titulada Procesos aleatorios en probabilidad (1985).

También reflexiones visuales sobre los importantes números irracionales π y e, como la obra Los remarcables números π y e (1985), en la que vemos los primeros decimales del número π (3,1415926535 8979323846 2643383279…), en la cara frontal del edificio, y los del número e (2,7182818284 5904523536 0287471352…), en la cara lateral.

Y terminemos, casi, con dos ilustraciones con títulos incomprensibles para las personas que no trabajan en estos temas.

Y para terminar, esta vez sí, una obra relacionada también con temas no matemáticos.

Bibliografía

1.- Anatoly T. Fomenko, Mathematical Impressions, AMS, 1990.

2.- B. A. Dubrovin, S. P. Novikov, A. T. Fomenko, Modern Geometry. Methods and Applications. Springer-Verlag, GTM 93 (Part 1), 1984; GTM 104 (Part 2), 1985; GTM 124 (Part 3) 1990.

3.- A. T. Fomenko Symplectic Geometry. Methods and Applications. Gordon and Breach, 1988.

4.- A. T. Fomenko, D. B. Fuchs, V. L. Gutenmacher, Homotopic topology, Akademiai Kiadó, 1986.

5.- Anatoly Fomeko, Dimitry Fuchs, Homotopical Topology, Akademiai Kiadó, 1989 (Springer, GTM 273, 2016).

6.- Mathematical Impressions

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica