La imagen de debajo está tomada del póster del Workshop on Symplectic Geometry, Contact Geometry and Interactions celebrado en Estrasburgo (Francia) en 2009.

Se trata de una escalera de caracol situada en el Musée de l’Oeuvre Notre-Dame (Estrasburgo) fotografiada por la matemática y oulipiana Michèle Audin.

Diseñada en 1580 por el arquitecto Thomas Uhlberger, esta escalera da acceso a la primera planta del museo; en la parte superior se observa una piedra tallada con forma tórica.

Sobre este toro –que es paralelo al suelo– se observan tres circunferencias enlazadas –luego veremos que hay otra que no se distingue tan bien–, como se muestra en esta imagen extraída de [2]:

¿Y qué tienen de especial? Sobre la superficie de un toro se pueden dibujar cuatro circunferencias pasando por un punto dado: una está en el plano del toro –es un paralelo–, la segunda es perpendicular –es un meridiano– y las otras dos se conocen como las circunferencias de Villarceau. Las tres circunferencias marcadas arriba son de este último tipo.

Antoine-Joseph Yvon Villarceau (1813-1883) fue un astrónomo francés que en 1848 observó la siguiente propiedad (ver [1], traducido por la autora):

He aquí el teorema: no sólo cortando el toro por un plano perpendicular al eje o por un plano meridiano se obtienen sistemas de secciones circulares; se obtienen también secciones circulares cuando el plano secante pasa por el centro del toro y es al mismo tiempo tangente a su superficie. En este caso, la curva de intersección se reduce a dos circunferencias iguales que se cortan en dos puntos de contacto. Su radio es igual al de la circunferencia descrita por el centro del círculo generador; sus centros están situados sobre la recta trazada por el centro del toro perpendicularmente al eje de este último y a la línea de los contactos; equidistan del centro del toro en una cantidad igual al radio del círculo generador.

Expresando la ecuación de la curva de intersección en coordenadas polares, he reconocido la posibilidad de descomponer esta ecuación en dos factores, cada uno de los cuales, igualados a cero, es la ecuación polar de una circunferencia.

Debajo puede verse una animación en la que se observa cómo se realiza este corte.

En [3], María García Monera y Juan Monterde (Universidad de Valencia) proponen una construcción del toro a través de la sección originada por las circunferencias de Villarceau: la parte interior al toro de cada una de estas circunferencias tiene forma de luna; usando estas dos lunas repetidamente se reconstruye el toro, como se ilustra en la imagen de debajo.

En [5], el autor comenta con detalle el artículo [2] y explica que, en realidad, en la escalera del museo de Estrasburgo hay cuatro circunferencias de Villarceau, y no tres.

El error cometido por Berger se debe a que son tres las columnas sostienen al toro; se trata tan solo de una pequeña equivocación. Lo realmente reseñable es que, trescientos años antes de que Villarceau definiera estas curvas de manera explícita, el arquitecto Thomas Uhlberger ya las utilizó de manera tan ejemplar…

Más información:

[1] Extrait d’une note communiquée à M. Babinet par M. Yvon Villarceau, Comptes-rendus de l’Académie des sciences, t. 27, 246, 1848

[2] Marcel Berger, Analyse de ‘Les sections circulaires du tore’, Bibnum, 25 de marzo de 2010

[3] María García Monera and Juan Monterde, Building a Torus with Villarceau Sections, Journal for Geometry and Graphics 15, no. 1, 93-99, 2011

[4] Marta Macho Stadler, El toro visto por Villarceau, ::ZTFNews, 2011

[5] Denis Roegel, The «Villarceau circles» in Uhlberger’s staircase (ca. 1580). [Research Report] 2014

Esta entrada participa en la Edición 6.4: pseudoprimos del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es pimedios.

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.