Leyendo estos días el excelente libro The book of numbers de los matemáticos John H. Conway y Richard K. Guy, me he encontrado con un método de construcción de sucesiones numéricas realmente interesante, y de una gran belleza.

Este método de construcción, propuesto por el matemático Alfred Moessner en 1951 (aunque el resultado sería demostrado por Oskar Perrone al año siguiente), consiste en un algoritmo que nos permite construir, o quizás sea más correcto decir que nos permite recuperar, las sucesiones de potencias de números naturales (como por ejemplo, la sucesión de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25,…) a partir de la sencilla sucesión de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5,…).

Al leer este resultado me ha venido a la cabeza el eterno debate de si las matemáticas se inventan o se descubren. Apasionante debate, independientemente de la postura que tenga cada uno en el mismo. Y me lo ha recordado el hecho de que el algoritmo en sí mismo, como se verá a continuación, es de lo más artificioso, por lo que sería claramente un ejemplo de invención humana dentro de las matemáticas. Sin embargo, cuando acabamos de entender el resultado (y más aún si seguimos leyendo algunas de sus generalizaciones), nos queda la sensación de que todo encaja perfectamente, como si el resultado realmente ya estuviese ahí y el matemático simplemente lo hubiese descubierto. Este es, sin lugar a dudas, un ejemplo de “poesía matemática”, que no solamente nos cautiva por la belleza del mismo, sino que lo podemos sentir con nuestro cuerpo (ya se nos ericen los pelos de la piel o sintamos un hormigueo en el estómago), y como decía mi amigo Francisco González (autor de Esperando a Gödel, Nivola, 2011) esa es la esencia de la poesía.

Pero vayamos con el método de Moessner. Empezamos con la sucesión de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6,…), tachamos uno de cada dos números y nos quedamos con la sucesión de sumas acumulativas de los números no tachados (así, 4 = 1 + 3, 9 = 4 + 5 = 1 + 3 + 5, 16 = 9 + 7 = 1 + 3 + 5 +7,… como se muestra en la imagen), que resulta ser la sucesión de cuadrados de los números (1², 2², 3², 4²,…).

Pero el método no termina aquí, y nos va a permitir obtener también la sucesión de los cubos. De nuevo se empieza con la sucesión de los números naturales, pero ahora se tacha uno de cada tres números y se escribe debajo la sucesión de sumas acumulativas de los números no tachados (podéis seguir el razonamiento en la siguiente imagen). Ahora en esa sucesión se tacha el último número de cada bloque –o lo que es lo mismo, uno de cada dos números de la sucesión que se acaba de escribir-, y de nuevo nos quedamos con la sucesión de sumas acumulativas de los números no tachados, que resulta ser la sucesión de cubos.

Siguiendo la misma técnica, pero empezando por tachar uno de cada cuatro números, se obtiene la sucesión de potencias cuartas de los números naturales, como se ve en la siguiente imagen.

Y así podríamos seguir el procedimiento e iríamos obteniendo las sucesiones de potencias quintas, sextas,… es decir, las sucesiones de potencias de cualquier orden. Por lo tanto, se puede enunciar el Teorema de Moessner general de la siguiente forma: dado un número n, mayor que 1, se genera una primera sucesión al tachar uno de cada n elementos en la sucesión de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6,… Para generar la segunda sucesión se realizan las sumas acumulativas de los números no tachados, y entonces se tacha uno de cada (n – 1) elementos de la sucesión. Y se continúa así hasta que se tache uno de cada dos elementos de la correspondiente sucesión. Entonces, la sucesión de las sumas acumulativas de los números no tachados de la última sucesión que ha quedado, es precisamente la sucesión de las potencias n-ésimas de los números naturales, es decir, 1ⁿ, 2ⁿ, 3ⁿ, 4ⁿ, etc.

Sin embargo, este tipo de construcción se puede aplicar a situaciones más generales aún. Por ejemplo, qué ocurriría en la construcción de Moessner si en lugar de mantener fija la distancia entre los números tachados (uno de cada n números), se fuese incrementando dicha distancia. Un primer caso podría ser que se incremente en una posición la distancia anterior entre los números tachados. Es decir, dada la sucesión de los números naturales, se tacha el primer número (1) –y además lo reservamos-, luego se tacha el tercer número (1 + 2), después el sexto (1 + 2 + 3), a continuación el décimo (1 + 2 + 3 + 4), y se continua de esta forma (por cierto, que estamos tachando los llamados números triangulares*). Lo que ocurre en este caso particular si se continua con el procedimiento similar al de Moessner es que ahora nos quedará destacada (a partir de los números que hemos ido reservando porque estaban en la primera posición de cada sucesión intermedia, como se muestra en la imagen) la sucesión de los números factoriales, n! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ … ´ (n – 1) ´ n.

Es decir, 1! = 1, 2! = 1 ´ 2 = 2, 3! = 1 ´ 2 ´ 3 = 6, 4! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ 4 = 24, 5! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ 4 ´ 5 = 120, etc. ¿No es un resultado interesante y de gran belleza? Espero que a vosotros también os lo haya parecido…

En otra ocasión hablaremos de lo interesantes que son los números factoriales, pero hoy os voy a dejar una obra de la serie 100! de la artista norteamericana Kathryn Arnold, en concreto 100! (100 factorial) The Silver Lining (2012), en el que la artista pretende acercarse al concepto de infinito. No en vano, el número 100! factorial (es decir, 1 ´ 2 ´ 3 ´ … ´ 99 ´ 100) es un número muy grande, de 158 dígitos, aproximadamente 93.326.215 ´ 10¹⁵⁰.

* Nota: Los números triangulares son aquellos números que son iguales al número de objetos (o cálculos) que tiene un triángulo equilátero como los que aparecen en la imagen. Es decir, en la primera fila hay un objeto y cada fila tiene un objeto más que la fila anterior. Por lo tanto, cada número triangular es la suma de los primeros números naturales, 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, etc.

El artista conceptual norteamericano Mel Bochner ha utilizado los números triangulares, y también los cuadrados, en algunas de sus obras, como por ejemplo en Triangular and Square Numbers (1972).

Bibliografía:

1- John H. Conway, Richard K. Guy, The book of numbers, Springer-Verlag, 1996.

2- Dexter Kozen, Alexandra Silva, On Moessner’s Theorem, The American Mathematical Monthly, vol. 120, n. 2 (2013), 131-139.

Sobre el autor: Esta anotación ha sido realizada por Raúl Ibáñez, profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica