El título de esta anotación corresponde a uno de los capítulos de Mathématiques en liberté.

Este libro recoge un diálogo –moderado por Sylvestre Huet, periodista especializado en información científica– entre cuatro expertos en matemáticas, su filosofía o su historia: Pierre Cartier (1932, matemático, uno de los pilares del grupo Bourbaki) Jean Dhombres (1942, matemático e historiador de la ciencia), Gerhard Heinzmann (1950, filósofo de la ciencia) y Cédric Villani (1973, matemático, medalla Fields 2010).

Se reproduce el capítulo Intuición: ¿para descubrir o para inventar? –traducido del original francés por la autora de la anotación–, con algunos apuntes que pretenden facilitar la lectura.

Intuición: ¿para descubrir o para inventar?

Cédric Villani: La cuestión del estatus matemático, a mi entender, no es tan importante. ¿Es platónico (los objetos matemáticos preexistentes en un mundo de ideas), aristotélico (los objetos matemáticos utilizados para describir el mundo real), etc.? Lo que es importante no es la herramienta, es el uso que se hace de ella… Por supuesto, la concepción filosófica puede influir en la manera en la que se hace investigación en matemáticas, en el sentido de que si se cree que hay algo intrínseco por descubrir, no se buscará de la misma manera que si se piensa que es un movimiento humano de construcción. No se tendrán los mismos reflejos, la misma tensión. Soy de los que creen que hay una armonía preexistente y de los que, dado un problema, van a buscar la pepita, convencidos de que existe. Soy de los que van a buscar el milagro, no de los que van a crear o buscar alguna cosa muy astuta entre sus propios recursos.

Gerhard Heinzmann: Pero, ¿cuáles son las condiciones de acceso a esta verdad que no tiene relación causal con nosotros? ¿Cómo puede decirse que existe algo abstracto? O bien se da un procedimiento de abstracción, o bien se debe decir obligatoriamente que “se debe a una capacidad particular”, una especie de intuición no explicada.

Cédric Villani: Sí, una intuición no explicada, una convicción personal y casi religiosa.

Gerhard Heinzmann: Ese es precisamente el punto débil de esta concepción. Los otros, los constructivistas^[1], son más racionales… pero tienen posiblemente menos éxito.

Cédric Villani: Los constructivistas, que creen menos en milagros, quizás se metan menos en vías falsas, pero esto se discute… De todos modos, mi manera de proceder, que consiste en buscar siempre los puentes entre cosas ya existentes, es más bien la de alguien que está persuadido de que existe una armonía preexistente.

Sylvestre Huet: Henri Poincaré decía: “La lógica, que puede dar por sí misma la certeza, es el instrumento de la demostración; la intuición es el instrumento de la invención.”^[2] ¿Esta observación tiene alguna relación con lo que están debatiendo?

Gerhard Heinzmann: ¡Si y no! Sí, porque el orden de la invención puede proceder sin lógica. Asociaciones, intuiciones, imaginaciones, sueño, entidades ficticias: todo puede ser útil y se justifica en tanto que herramienta de invención. Por el contrario, para justificar, es decir para demostrar, por ejemplo que el estudio de algunos grupos de transformaciones conduce a las geometrías con curvatura constante, se necesita una argumentación “lógicamente” correcta. Ahora bien, la dificultad está en saber lo que se entiende por “lógicamente correcto”. Contrariamente a lo que la cita de Poincaré podría hacer creer, para Poincaré la lógica no es ni el único medio para alcanzar una certeza, ni está fuera del campo de la intuición. Al contrario, la intuición pura proporciona igualmente la certeza y permite demostrar y no sólo inventar. Poincaré se opone a la tesis de los lógicos que pretenden poder probar, una vez admitidos los principios de la lógica, todas las verdades matemáticas sin recurrir a la intuición. Todo dependerá entonces de lo que se admita como “lógico”. Como esta cuestión encuentra hoy en día, con el enorme desarrollo de la lógica matemática, una respuesta más matizada que en los tiempos de Poincaré, el argumento interesante y actual de Poincaré contra el logicismo no es tanto la conjetura de que no existe una transposición puramente lógica de cada razonamiento matemático, sino la afirmación de que esta transposición estaría desprovista de los valores epistémicos necesarios para la comprensión del razonamiento matemático –y ¡creo que tiene razón!–.

Pierre Cartier: Estoy bastante de acuerdo con las tesis desarrolladas por Gerhard. Utilizaría con mucho gusto una metáfora, la de un movimiento de relojería. Al mirarlo, se tiene la impresión de una disposición complicada y precisa de engranajes. La disposición permite la puesta en marcha si se da un impulso inicial. Este es el equivalente de un sistema lógico, y de un programa de ordenador muy complicado que es un objeto del mismo tipo. Pero la concepción de un movimiento de relojería –o de un programa de ordenador, o aún del gran reloj del mundo según Kepler y Newton– es el resultado de un proceso diferente, no reducible a juegos de engranajes. Una demostración matemática larga y complicada requiere también una planificación preliminar, y esconderla al lector puede poner en peligro la comprensión. ¿No hay aquí una especie de intuición? ¿La intención iguala a la intuición?

Jean Dhombres: El constructivismo, en matemáticas al menos, ¡ha tenido una buena vida durante tanto tiempo! Es lo que subrayaba recordando el éxito, pero también el peso, de los Elementos de Euclides como arquitectura. ¿Se puede decir que Euler obtuvo su fórmula^[3] por intuición? ¡Se ha visto que la misma fórmula resulta de un golpe de fuerza en el caso de D’Alembert! En todo caso, esta fórmula hace triviales las fórmulas trigonométricas^[4] de Viète, o más bien las explica, tendiendo un puente entre el álgebra y la trigonometría procedente de la geometría. A cambio, ¿no podría pensarse que estas mismas fórmulas de Viète, que le arrancaron gritos de alegría, por su misma complejidad han empujado a los matemáticos a encontrar las razones escondidas? La motivación de simplificar se une a la idea de que lo complicado es una falta. Me parece que esta motivación justifica paradójicamente lo que Gerhard dice sobre el papel de la lógica. Justo un ejemplo: Fourier, hacia 1807, encuentra tras largas páginas de cálculo, lo que se llama hoy en día la serie de Fourier^[5] de una función en diente de sierra^[6]. Los coeficientes que obtiene son de expresión simple, mientras que el cálculo fue atroz. No es lógico. Entonces, se dijo, debe de haber una razón profunda para esta simplicidad. Descubrió enseguida, y su manuscrito lo atestigua, lo que se llaman las relaciones de ortogonalidad^[7]: entonces se pudo desarrollar analíticamente toda la teoría que anotó en La théorie analytique de la propagation de la chaleur^[8]. Y no quiso borrar la etapa del cálculo, porque habría sido faltar a la verdad histórica, y también habría impedido comprender lo que Karl Popper llama la “lógica del descubrimiento” ^[9].

Notas:

[1] En la filosofía de las matemáticas, la escuela constructivista requiere para la prueba de la existencia de un objeto matemático, que él mismo pueda «construirse».

[2] Extraído de [Henri Poincaré, El valor de la ciencia, Espasa, 1964, pág. 29]. Es también la última frase de la anotación Lógica vs. intuición en la creación matemática.

[3]Fórmula de Euler.

[4]François Viète publicó en 1571 una obra de trigonometría, el Canon mathematicus, en el que presentaba diferentes fórmulas relacionadas con senos y cosenos.

[5] Una serie de Fourier es una serie que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos.

[6] Función diente de sierra.

[7] Relaciones de ortogonalidad de las series de Fourier.

[8] La théorie analytique de la propagation de la chaleur (1822).

[9] Ana Rosa Pérez Ransanz,¿Qué queda de la distinción entre contexto de descubrimiento y contexto de justificación?, Theoria 60 (2007) 347-350.

Referencia:

Pierre Cartier, Jean Dhombres, Gerhard Heinzmann, Cédric Villani, Mathématiques en liberté, La ville brûle (360, collection dirigée par Sylvestre Huet), 2012

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.