De la simetría y su rotura (II)

DE la simetría y su rotura

El concepto actual de simetría comienza con la simetría geométrica de los objetos, tanto matemática como física. Un copo de nieve perfecto al que rotamos 60º alrededor de su centro, al que mantenemos fijo, es indistinguible de como estaba al principio. Sin embargo, si lo rotamos 90º si podemos distinguir que el efecto de la rotación. Pero para poder darnos cuenta de que lo hemos rotado necesitamos una referencia: rotar el copo de nieve lo transforma en relación con algo externo.

Así pues las transformaciones de simetría (la generalización de las rotaciones) de un objeto dejan sus estados inicial y final indistinguibles al menos con respecto a las propiedades que especificamos como relevantes. Este concepto de simetría (indistinguibilidad bajo transformaciones) ha dado muchos frutos en ciencia durante los últimos 400 años. Tres desarrollos son fundamentales: (I) la extensión del concepto a las “simetrías físicas”; (II) el desarrollo de la teoría de grupos y sus aplicaciones científicas; (y III) la importancia creciente de la “rotura de la simetría”.

La teoría de grupos y sus aplicaciones

El concepto de grupo surge del desarrollo de las matemáticas durante el final del XVII y comienzos del XIX. A comienzos de los años treinta del XIX Evariste Galois usó grupos discretos (grupos que tenían un número finito de elementos) para caracterizar las ecuaciones polinómicas en función de las características estructurales de sus soluciones. En los años setenta Sophus Lie se dispuso a hacer lo mismo con las ecuaciones diferenciales y esto le llevo al concepto de grupos analíticos continuos (grupos de Lie). El programa de Erlangen (1872) de Félix Klein tenía por objeto dar una definición formal de qué era una geometría, más allá de las ideas intuitivas, y usó la teoría de grupos para caracterizar las geometrías. Como resultado las geometrías no euclidianas (que tan importantes serían para la relatividad general) pasaban a estar en pie de igualdad con las euclidianas.

Una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en ciencia fue el estudio de los cristales. René-Just Haüy había usado la simetría para caracterizar y clasificar la estructura y formación cristalinas en su Traité de mineralogie (1801). Con esta aplicación la cristalografía se separaba de la mineralogía como disciplina. A partir del trabajo de Haüy se iniciaron dos líneas de desarrollo que llevaron a las 32 clases de transformaciones puntuales y las 14 redes de Bravais, todos definibles en función de grupos discretos. La combinación de transformaciones puntuales y redes resultó en los 230 grupos espaciales de E.S. Fedorov (1891), Artur Schönflies (1891) y William Barlow (1894).

La teoría de grupos discretos sigue siendo sigue siendo fundamental en física del estado solido, química y ciencia de materiales y en teoría cuántica de campos a través del teorema CPT.

La simetrías continuas son de dos clases: las globales, como las traslaciones y rotaciones galileanas, y las locales, como la simetría gauge del electromagnetismo o la invarianza bajo la transformación de coordenadas de las ecuaciones de campo de la relatividad general. La importancia de las simetrías continuas en las teorías, y su capacidad para construirlas, se vio reforzada en 1918 cuando Emmy Noether probó la existencia de una conexión general entre las simetrías continuas y las cantidades conservadas, y arrojó nueva luz sobre la estructura de las teorías con simetrías locales.

Las teorías de grupo y las simetrías pueden imponer restricciones importantes a las teorías. Por ejemplo, en física de partículas se usan las simetrías globales para clasificar las partículas y para predecir la existencia de otras nuevas, como el barión omega negativo, predicho en 1962 mediante el grupo de Lie SU(3) y detectado en 1964.

En 1918 Hermann Weyl introdujo la simetría a escala local para construir su teoría unificada de la gravitación y el electromagnetismo, con el objetivo confeso de reemplazar la teoría general de la relatividad. La idea de Weyl no prosperó, como tampoco lo hizo la propuesta de 1954 de Chen Ning Yang y Robert Mills, hoy reconocida como la primera teoría gauge local moderna. Sin embargo, tras los desarrollos de los años setenta las teorías con simetrías gauge locales dominan la física fundamental.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

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[…] El concepto actual de simetría comienza con la simetría geométrica de los objetos, tanto matemática como física. Un copo de nieve perfecto al que rotamos 60º alrededor de su centro, al que mantenemos fijo, es indistinguible de como estaba al principio. Sin embargo, si lo rotamos 90º si podemos distinguir que el efecto de la rotación. Pero para poder darnos cuenta de que lo hemos rotado necesitamos una referencia: rotar el copo de nieve lo transforma en relación con algo externo.Así pues las transformaciones de simetría (la generalización de las rotaciones) de un objeto dejan sus estados inicial y final indistinguibles al menos con respecto a las propiedades que especificamos como relevantes. Este concepto de simetría (indistinguibilidad bajo transformaciones) ha dado muchos frutos en ciencia durante los últimos 400 años. Tres desarrollos son fundamentales: (I) la extensión del concepto a las “simetrías físicas”; (II) el desarrollo de la teoría de grupos y sus aplicaciones científicas; (y III) la importancia creciente de la “rotura de la simetría”.La teoría de grupos y sus aplicacionesEl concepto de grupo surge del desarrollo de las matemáticas durante el final del XVII y comienzos del XIX. A comienzos de los años treinta del XIX Evariste Galois usó grupos discretos (grupos que tenían un número finito de elementos) para caracterizar las ecuaciones polinómicas en función de las características estructurales de sus soluciones. En los años setenta Sophus Lie se dispuso a hacer lo mismo con las ecuaciones diferenciales y esto le llevo al concepto de grupos analíticos continuos (grupos de Lie). El programa de Erlangen (1872) de Félix Klein tenía por objeto dar una definición formal de qué era una geometría, más allá de las ideas intuitivas, y usó la teoría de grupos para caracterizar las geometrías. Como resultado las geometrías no euclidianas (que tan importantes serían para la relatividad general) pasaban a estar en pie de igualdad con las euclidianas.Una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en ciencia fue el estudio de los cristales. René-Just Haüy había usado la simetría para caracterizar y clasificar la estructura y formación cristalinas en su Traité de mineralogie (1801). Con esta aplicación la cristalografía se separaba de la mineralogía como disciplina. A partir del trabajo de Haüy se iniciaron dos líneas de desarrollo que llevaron a las 32 clases de transformaciones puntuales y las 14 redes de Bravais, todos definibles en función de grupos discretos. La combinación de transformaciones puntuales y redes resultó en los 230 grupos espaciales de E.S. Fedorov (1891), Artur Schönflies (1891) y William Barlow (1894).La teoría de grupos discretos sigue siendo sigue siendo fundamental en física del estado solido, química y ciencia de materiales y en teoría cuántica de campos a través del teorema CPT.  […]

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