Antes de iniciar esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica, me gustaría justificar brevemente el título de la misma. Es un pequeño homenaje a la serie de televisión The Big Bang Theory que, tomando como punto de partida la ciencia, nos ha hecho reír estos años. Como pequeño homenaje he realizado, en el título de esta entrada, un paralelismo con el nombre de la serie de programas emitidos vía streaming, dentro de la ficción de la serie, por los personajes del físico teórico Sheldon Lee Cooper y la neurobióloga Amy Farraw Fowler, en concreto, Sheldon Cooper Presents: Fun with Flags (Sheldon Cooper presenta: diversión con banderas), sobre vexilología (siempre es bueno aprender nuevas palabras), es decir, el estudio de las banderas.

El otro motivo para titular esta entrada como “diversión con matemáticas”, es que vamos a explicar algunos sencillos trucos de magia relacionados con las matemáticas. Más concretamente, con los números. He de confesar que lo mío no es la magia, aunque sí tengo en mi entorno de amistades algunas personas expertas en lo que se ha dado en llamar “matemagia”, personas que son matemáticas y también magas.

Una de ellas es mi compañero y amigo Pedro Alegría (UPV/EHU), uno de los decanos en España en magia matemática, responsable, desde marzo de 2004, de la sección El rincón matemágico de DivulgaMAT, Centro virtual de divulgación de las matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española, autor del libro Magia por principios (2008) y que fue quien me enseñó el truco que expliqué en el video de la sección Una de mates, de la Cátedra de Cultura Científica, y que fue emitido en el programa de humor y ciencia de televisión, dirigido por José A. Pérez Ledo, Orbita Laika (segunda temporada) de La2, de Televisión Española: Una de mates, magia matemática (temporada 2).

Otro mago matemático amigo es Fernando Blasco (UPM), autor de libros como Matemagia (2007), que fue quien me enseñó el truco del video para la sección Una de mates, del programa de humor y ciencia de televisión, dirigido por José A. Pérez Ledo, Orbita Laika (primera temporada) de La2, de Televisión Española: Una de mates, magia matemática (temporada 1).

O también el matemático y mago Nelo Maestre (Divermates), que es el responsable, junto a Tania Giraldo, de la sección Objetos matemáticos con materiales cotidianos de DivulgaMAT.

Pero vayamos a lo que quería contar en esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica. Justo estos días estaba yo revisando algunas multiplicaciones curiosas, como

de la que hablamos en la entrada del Cuaderno de Cultura Científica, El secreto de los números que no querían ser simétricos o esta otra

cuando me vino a la cabeza un truco de magia que aprendí en un libro clásico de matemagia, Mathemagic, magic-puzzles-games with numbers (1953), en el cual la base en la que se apoyaba el truco era precisamente este segundo grupo de multiplicaciones curiosas.

El truco consistiría en lo siguiente. Se le pide a la persona a la que se le va a realizar el truco, o a una de las personas del público, que escriba el número “doce millones, trescientos cuarenta y cinco mil, seiscientos setenta y nueve”, es decir, 12.345.679, sobre una pizarra o una hoja de papel que se le haya suministrado previamente (si son grandes mejor).

A continuación, se le pide a esa persona que elija una de las cifras que componen ese número y que escriba una x encima de ella, o que dibuje una circunferencia alrededor de la misma, y que se lo enseñe a todo el público, incluida la persona que realiza el truco. Supongamos que hubiese elegido el 6.

Entonces, se le pide que multiplique el número inicial, 12.345.679, por un número que tú le vas a indicar, por ejemplo, si el 6 fuese la cifra elegida por ella, le pedirías que lo multiplicase por 54, que no es otro (esto no se lo dirás al público, claro) que multiplicar la cifra elegida por 9, es decir, 6 x 9 = 54. Cuando la persona realice la anterior multiplicación se llevará una sorpresa, ya que el resultado será el número 666.666.666, es decir, todos sus dígitos son la cifra elegida por ella.

La explicación del truco es sencilla y tiene que ver con la curiosa torre de multiplicaciones anteriormente vista. Para explicar un poco más el truco, si no estuviese del todo claro, podemos mencionar que la anterior torre se puede expresar de la siguiente forma

para c tomando los valores de las cifras básicas, salvo el cero, es decir, c = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Luego, por este motivo le pedimos a la persona que multiplique por c x 9, es decir, la cifra elegida c multiplicada por 9.

Obsérvese que la igualdad también valdría para el 8, luego se podría plantear que eligiera una de las cifras básicas no nulas, del 1 al 9, aunque es más teatral pedirle que elija una de las cifras del número escrito.

El autor del libro, el bróker y mago estadounidense Royal Vale Heath (1883-1960), menciona también que ese número, 12.345.679, tiene otras interesantes propiedades. Por ejemplo, pueden considerarse las siguientes multiplicaciones

Puede observarse que, en los resultados de cada grupo de tres multiplicaciones, aparecen solamente tres cifras repetidas. En cada resultado la disposición de las tres cifras se repite tres veces y de un resultado al siguiente las cifras se desplazan una posición a la izquierda, o a la derecha. Por ejemplo, en el primer grupo de multiplicaciones las cifras de los resultados son 0, 3, 7, y los resultados verifican las dos propiedades comentadas, 037.037.037 (añadimos el cero de la derecha, que no es necesario, para ver que realmente se produce el efecto), 370.370.370 y 703.703.703.

Más aún, en cada grupo de tres multiplicaciones, la suma de los dígitos de los resultados de las tres multiplicaciones es igual a la suma de los números por los que se ha multiplicado el número 12.345.679. Así, en el primer grupo, las cifras de cada resultado suman 30, luego entre los tres resultados, 90, y si miramos la suma de los números multiplicadores se obtiene la misma cantidad, 3 + 30 + 57 = 90. Lo mismo en los demás grupos.

Sigamos con otro truco de magia relacionado con los números, que aparece en este texto clásico de matemagia de Royal Vale Heath, Mathemagic, magic-puzzles-games with numbers.

El truco consiste en adivinar tres números del 1 al 9, elegidos por alguien del público o mejor aún, que sean las respuestas a tres preguntas realizadas por la persona que realiza el truco. Por ejemplo, si el truco se realiza en una clase se les podría preguntar por la nota que han sacado en la anterior evaluación en tres asignaturas, por ejemplo, Lengua, Matemáticas e Historia, entendiendo que las respuestas deben ser números enteros, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9. Otra opción podría ser preguntarle a la persona del público ¿cuántos hermanos y hermanas son (incluido él o ella)? ¿cuántos hermanos y hermanas tiene su padre (incluido el padre)? y ¿cuántos hermanos y hermanas tiene su madre (incluida la madre)? O cualquier otra pregunta que se le ocurra a quien realiza el truco adaptada al público concreto.

Supongamos que hemos preguntado por el número de hermanos y hermanas a una persona elegida al azar del público. Esta persona deberá escribir las respuestas a las tres preguntas en una hoja de papel que se le habrá proporcionado previamente, pero no deberá decirlo en alto, para que la persona que hace el truco no lo sepa. Imaginemos que las respuestas a esas tres preguntas son 2, 9 y 5.

Entonces se le va a pedir que realice una serie de operaciones (las mostramos todas juntas en la siguiente imagen):

1.- que multiplique el número de hermanos y hermanas que tiene, incluido él o ella, por 2 [en este caso, 2 x 2 = 4];

2.- que le sume 3 [en este caso, 4 + 3 = 7];

3.- que multiplique el resultado por 5 [en este ejemplo, 7 x 5 = 35];

4.- a continuación, que sume a ese número, el número de hermanos y hermanas de su padre [en este ejemplo, 35 + 9 = 44];

5.- que multiplique el resultado por 10 [es decir, 44 x 10 = 440];

6.- y finalmente, que sume el número de hermanos y hermanas de la madre (incluida ella) [440 + 5 = 445]

Una vez realizadas estas operaciones se le pide que diga en alto el resultado de las mismas, que es 445, y mientras se le da un poco de teatralidad a la situación, se resta mentalmente 150 al número que nos han proporcionado, en este ejemplo, 445 – 150 = 295.

La persona que realiza el truco tendrá, por tanto, en su cabeza el número 295 y, de nuevo con mucha teatralidad, dirá en alto, dándole la emoción de que está adivinando las respuestas que desconoce,

1.- que esa persona tiene 2 hermanos y hermanas (incluida ella);

2.- que su padre tiene 9 hermanos y hermanas (incluido él);

3.- y que su madre tiene 5 hermanos y hermanas (incluida ella).

Espero haberos proporcionado un poco de diversión con matemáticas. Hasta la siguiente entrada.

Bibliografía

1.- Pedro Alegría, Magia por principios, Publidisa, 2008.

2.- Fernando Blasco, Matemagia, Temas de Hoy, 2007.

3.- Royal Vale Heath, Mathemagic, magic-puzzles-games with numbers, Dover, 1953.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica