En mi anterior entrada de la sección Matemoción de Cuaderno de Cultura Científica, titulada Números primos gemelos, parientes y sexis (1), estuvimos hablando de los números primos gemelos, que son aquellas parejas de números primos que están lo más cerca que pueden estar dos números primos, excepto el 2 y el 3, con solo un número par entre ellos, (p, p + 2), así como de algunas familias de números primos relacionadas con los gemelos, como son los trillizos, cuatrillizos, quintillizos, etc.

En esta entrada, vamos a considerar otras familias de números primos, que también generalizan, en otro sentido, a los números primos gemelos, como son los números primos parientes y sexis.

Pero primero vayamos con un poquito de historia. Como puede leerse en el artículo A note on the Origin of the Twin Prime Conjecture (Nota sobre el origen de la conjetura de los números primos gemelos), del historiador de las matemáticas estadounidense William Dunham, en 1849 el matemático francés y oficial de artillería Alphonse de Polignac (1826–1863), un personaje prácticamente desconocido, publicó el artículo Recherches Nouvelles sur les Nombres Premiers ( Nuevas investigaciones sobre números primos), en la revista Comptes rendus de la Academia de Ciencia Francesa, en la que afirmaba lo siguiente (aunque lo presentó como un teorema, era más bien una conjetura).

Conjetura de Polignac: para cada número natural k, existen infinitos números primos p, tales que (p + 2k) también es primo.

Observemos que para k = 1, es la conjetura de los números primos gemelos.

El siguiente protagonista de esta historia es el matemático inglés James Whitbread Lee Glaisher (1848 – 1928), profesor del Trinity College de Cambridge y que tuvo una reconocida carrera dentro de la matemática y la ciencia británicas. En 1879, publicó en la revista Messenger of Mathematics, de la que fue editor durante 56 años, el artículo An Enumeration of Prime-Pairs (Enumeración de pares primos), en la que estudiaba lo que llamó “pares primos”, que eran números primos “separados por un solo número” (lo que conocemos como números primos gemelos). Contó la cantidad de “pares primos” que había hasta un millón, dos millones, etcétera, con el objetivo de analizar la distribución de estos. Y afirmó “Hay poca o ninguna duda de que el número de pares primos es ilimitado; pero sería interesante, aunque probablemente no sencillo, demostrarlo”. Es decir, la conjetura de los números primos gemelos.

Aunque fue el matemático alemán Paul Stäckel (1862 – 1919), quien acuñó el término “números primos gemelos”, en alemán Primzahl-Zwillinge, en un artículo de 1916. Poco después el matemático francés Viggo Brun, utilizaría ese mismo término en francés, en su artículo de 1919 (véase a entrada Números primos gemelos, parientes y sexis (1)), y acabó convirtiéndose en el término utilizado para ese concepto.

Sobre la conjetura de los números primos gemelos ya estuvimos hablando en la primera parte de esta serie, Números primos gemelos, parientes y sexis (primera parte) [https://culturacientifica.com/2019/09/04/numeros-primos-gemelos-parientes-y-sexis-1/]. En esta entrada vamos a analizar las otras parejas de números primos que aborda la conjetura de Polignac, en particular, los números primos parientes (k = 2) y sexis (k = 3).

Si los números primos gemelos son aquellas parejas de números primos tales que la diferencia entre ellos es 2 (k = 1), es decir, parejas de primos (p, p + 2), se van a llamar números primos parientes (“cousin” en inglés) a las parejas de números primos con una diferencia entre ellos de 4 (k = 2), luego de la forma (p, p + 4), como (3, 7), (7, 11) o (13, 17).

Las parejas de números primos parientes menores de 500 son (véase la sucesión A023200 de la enciclopedia online de números enteros):

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463, 467), (487, 491), (499, 503).

La pareja de números primos parientes más grande conocida, a día de hoy, fue obtenida en 2009, y está formada por los números (p, p + 4), tal que

p = [311.778.476 x N x (N + 1) + 210] x [N – 1] / 35 + 1,

para N = 587.502 x 9.001#, donde 9.001# denota el primorial de 9.001, que definiremos a continuación, que tiene 11.594 dígitos.

El primorial de un número n, que se denota n#, es una especie de factorial del número (véase Buscando lagunas de números no primos) que se define como el producto de todos los números primos menores, o iguales, que ese número n. Así, si tomamos el número primo 23, entonces 23# = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 = 223.092.870 o para el número 39 se tiene que 39# = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 = 7.420.738.134.810.

Para los números primos parientes existe un resultado análogo al teorema de Brun para números primos gemelos, es decir, la suma de los recíprocos de los números primos parientes (salvo la pareja 3 y 7)

también es convergente, y su límite es el número B₄, conocido como constante de Brun para números primos parientes, que tiene un valor aproximado de 1,1970449 (véase el artículo On the Twin and Cousin Primes, de Marek Wolf).

Nos podemos interesar ahora por las ternas de números primos parientes, como (3, 7, 11). Pero resulta que esa es la única terna de números primos parientes que existe, puesto que si tenemos una terna de números primos de la forma (p, p + 4, p + 8), necesariamente uno de ellos es divisible por 3. Esto es fácil de probar. Si escribimos p de la forma p = 3 n + r, donde r = 0, 1 ó 2, entonces la terna anterior es de la forma (p = 3 n + r, p + 4 = 3 (n + 1) + r + 1, p + 8 = 3 (n + 2) + r + 2), luego si r = 0, el primer número de la terna es divisible por 3, si r = 1, lo es el tercero y si r = 2, lo es el segundo.

La siguiente familia de números primos, relacionada con la conjetura de Polignac, que nos interesa, son los números primos sexis. Estos son parejas de números primos de la forma (p, p + 6), es decir, la diferencia entre ellos es 6 (k = 3), como (5, 11), (7, 13) o (11, 17). Su nombre se debe a que la palabra en latín para el número “seis” es “sex” (de hecho, los diez primeros números, en latín, son unus, duo, tres, quattuor, quinque, sex, septem, octo, novem, decem).

Las parejas de números primos sexis menores de 500 son (véase la sucesión A023201):

(5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), (53, 59), (61, 67), (67, 73), (73, 79), (83, 89), (97, 103), (101, 107), (103, 109), (107, 113), (131, 137), (151, 157), (157, 163), (167, 173), (173, 179), (191, 197), (193, 199), (223, 229), (227, 233), (233, 239), (251, 257), (257, 263), (263, 269), (271, 277), (277, 283), (307, 313), (311, 317), (331, 337), (347, 353), (353, 359), (367, 373), (373, 379), (383, 389), (433, 439), (443, 449), (457, 463) y (461, 467).

Además, la pareja de números primos sexis más grande conocida, a día de hoy, es la pareja (p, p + 6), tal que

p = (187.983.281 x 2^51.478 + 4) x (5 x 2^51.478 – 1) – 1,

con 31.002 dígitos, que fue encontrada por S. Batalov, en abril de 2019.

Algunas parejas de números primos sexis forman parte de grupos de tres primos muy próximos, como (5, 7, 11) o (7, 11, 13), lo que en la anterior entrada denominados números primos trillizos, los cuales son de la forma (p, p + 2, p + 6) o (p, p + 4, p + 6). Por lo tanto, en cada terna de números primos trillizos, hay una pareja de números primos gemelos, (p, p + 2) o (p + 4, p + 6), una pareja de números primos parientes, (p +2, p + 6) o (p, p + 4), y una pareja de números primos sexis, (p, p + 6). Por ejemplo, en la terna de números primos trillizos (67, 71, 73), 71 y 73 son gemelos, 67 y 71 parientes, y 67 y 73 sexis.

A diferencia de lo que ocurría con los números primos parientes, que no pueden ir en grupos de tres, ahora se pueden considerar ternas de números primos sexis como (7, 13, 19), (17, 23, 29) o (31, 37, 43), formadas por tres números primos sexis consecutivos, (p, p + 6, p + 12), tal que el siguiente p + 18 no es primo, pero podría serlo el anterior p – 6, y que llamaremos tripletes, o tríos, de números primos sexis.

Más aún, se pueden considerar cuartetos de números primos sexis, formados por cuatro números primos sexis consecutivos, de la forma (p, p + 6, p + 12, p + 18), como (5, 11, 17, 23), (11, 17, 23, 29) o (41, 47, 53, 59). Curiosamente, salvo para el primer cuarteto, el primer número primo de cualquier cuarteto de números primos sexis termina en 1, como podemos observar en los primeros términos de la sucesión A023271, que está formada por los primeros primos de los cuartetos de números primos sexis: 5, 11, 41, 61, 251, 601, 641, 1091, 1481, 1601, 1741, 1861, 2371, 2671, 3301, 3911, 4001, 5101, …

Sin embargo, no existen quintetos de números primos sexis, salvo (5, 11, 17, 23, 29), puesto que dados cinco números con una deferencia de seis entre ellos (p, p + 6, p + 12, p + 18, p + 24), entonces uno de ellos debe ser divisible por 5, para lo cual basta escribir p de la forma p = 5 n + r, para r = 0, 1, 2, 3 ó 4.

Además de las parejas de números primos gemelos, parientes y sexis, se pueden estudiar otras parejas de números primos (p, p + 2k), para k mayor que 3, relacionadas con la conjetura de Polignac. Parejas de números primos cuya distancia entre ellos sea 8 (k = 4), como (3, 11), (5, 13), (11, 17), (23, 31) o (29, 37), cuya distancia sea 10 (k = 5), como (3, 13), (7, 17), (13, 23), (19, 29) o (31, 41), cuya distancia sea 12 (k = 6), como (5, 17), (7, 19), (11, 23), (17, 29) o (19, 31), o mayores distancias aún.

Bibliografía

1.- William Dunham, A Note on the Origin of the Twin Prime Conjecture, Notices of the ICCM, vol. 1, n. 1, pp. 63-65, 2013.

2.- Wolfram Mathworld: Cousin Primes

3.- Wikipedia: Cousin prime

4.- The Prime pages

5.- Wolfram Mathworld: Sexy Primes

6.- Wikipedia: Sexy prime

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica