«La serie de los números pares es justamente la mitad de la serie total de números. La serie de los números impares es exactamente la otra mitad. La serie de los pares y la serie de los impares son —ambas— infinitas. La serie total de los números es también infinita. ¿Será entonces doblemente infinita que la serie de los números pares y que la serie de los impares? Sería absurdo pensarlo, porque el concepto de infinito no admite ni más ni menos. ¿Entonces, las partes —la serie par y la impar—, serán iguales al todo? —Átenme ustedes esa mosca por el rabo y díganme en qué consiste lo sofístico de este argumento».

Antonio Machado, Juan de Mairena (sentencias, donaires, apuntes y recuerdos de un profesor apócrifo), 1936

Respondiendo a Machado, y recurriendo a la noción de cardinal de un conjunto, sí, es decir, las partes —la serie par y la impar—, son iguales al todo. De otra manera, el conjunto de los números pares y el de los impares tienen el mismo cardinal, cardinal que es el igual al de todos los enteros positivos. En efecto, es posible dar una función biyectiva entre los números naturales y los pares: basta con emparejar cada número entero positivo n con el par 2n. Un argumento similar prueba que los enteros positivos tienen el mismo cardinal que los impares (se asocia n con el impar 2n-1). Parece paradójico, ¿verdad? Pero no lo es.

Aunque si todos los enteros positivos fueran iguales, evitaríamos hablar del infinito, y Machado habría logrado esquivar este problema… Y es que, en 1988, el matemático Taje I. Ramsamujh (Florida International University) proponía en la revista Mathematical Gazette una demostración de que todos los números enteros son iguales. La reproducimos debajo. ¿Sabrías decir cuál es el error cometido en la prueba?

Ramsamujh propone la siguiente demostración en su artículo:

Consideremos la siguiente proposición p(n): “Si el máximo de dos enteros positivos es n, entonces los dos enteros son iguales”. Veamos en primer lugar que p(n) es cierto para todo entero positivo. Observar que p(1) es cierto, ya que si el máximo de dos enteros positivos es 1, es obvio que ambos son iguales a 1, y por lo tanto son iguales. Supongamos ahora que p(n) es cierto y sean u y v dos enteros positivos cuyo máximo es n+1. Entonces, el máximo de u–1 y v–1 es n. Como p(n) es cierto, se sigue que u–1 = v–1. Y por lo tanto u = v, con lo que p(n+1) es cierto. Luego p(n) implica p(n+ 1) para cada entero positivo n. Por el principio de inducción matemática, se deduce que p(n) es cierto para todo entero positivo n.

Sean ahora x e y dos enteros positivos cualesquiera. Sea n el máximo de x e y. Como p(n) es cierto se sigue que x = y. acabamos de probar que dos enteros positivos cualesquiera son iguales. ¿Dónde está el error?

¿Dónde está el error? Piensa un poco…

Efectivamente, aunque u y v sean enteros positivos, u–1 y v–1 no tienen porque serlo. Si, por ejemplo, u = 1, entonces u–1 = 0, y ¡no se puede seguir argumentando como propone Ramsamujh!

Referencias:

All for One, Futility Closet, 28 agosto 2020

T.I. Ramsamujh, 72.14 A Paradox: (1) All Positive Integers Are Equal, Mathematical Gazette 72:460 [June 1988], 113

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad