Alberto Mercado Saucedo

El billete de veinte mil pesos colombianos es un raro ejemplo: lleva impreso el retrato de un matemático. En efecto, entre sus similares de los países de habla hispana es común encontrar militares y políticos, algunas personalidades de la pintura o de la literatura, pero casi nunca de las ciencias. Este billete lleva impresas figuras geométricas, una representación de la Luna y la imagen de Julio Garavito Armero. Su uso en las transacciones cotidianas ha llevado a una curiosa costumbre urbana alrededor de la tumba de Garavito en el cementerio de Bogotá, que se ha convertido en objetivo de visitas espontáneas de diversas personas, especialmente en medio de la noche, que dejan pequeños regalos como flores azules, del mismo color del billete, en solicitud o agradecimiento de favores personales. Como si fuera un santo a quien acuden en peregrinación. Su nombre también aparece en otro inusual lugar: un cráter de la Luna. Julio Garavito Armero, esta es su historia.

Nació en Bogotá el 5 de enero de 1865. De joven, al tiempo que asistía a la escuela, trabajó para contribuir al ingreso de la familia y después de sus estudios secundarios se interesó por seguir aprendiendo ciencias. Como frecuentemente ocurría durante el siglo XIX (y parte del XX) en países de Latinoamérica, la enseñanza de las matemáticas estaba mayormente enfocada a la ingeniería, área que estudiaban quienes se sentían atraídos por la disciplina de Pitágoras. Además, los distintos cambios políticos de la época, usualmente violentos, afectaron el desarrollo de las ciencias, como ocurrió con los planes de Garavito: a causa de la guerra civil colombiana de 1885, la Universidad Nacional cerró por algún tiempo y él debió esperar a que reabriera para poder estudiar.

Finalmente estudió en la Facultad de Matemáticas e Ingeniería, donde además de los estudios de ingeniería, se podía optar al titulo de profesor de matemáticas, para lo cual se debía de realizar una tesis de temática adecuada. Garavito fue el primer graduado como profesor de matemáticas. Podemos encontrar registros de dos trabajos de tesis que realizó: uno donde estudia matemáticamente el funcionamiento de un barómetro, aparato para medir la presión de un gas, y una segunda tesis donde estudió el problema que hoy conocemos como la aguja de Buffon, que consiste en calcular la probabilidad de que una aguja, arrojada a una superficie reglada por líneas paralelas (como una hoja de cuaderno) separadas por la misma longitud de la aguja, resulte en una posición en que toca a una de las líneas. La solución no se obtiene directamente por algún proceso de conteo y son necesarios argumentos de geometría integral para obtener el resultado: el valor de 2/. De manera interesante, esto proporciona un método práctico para aproximar a  (se debe realizar el experimento repetidas veces, digamos N, contar el número de casos favorables A, y entonces A/N se acercará a 2/ cuando N es grande, de donde se puede despejar el valor de ).

Después de graduarse, Garavito dictó clases en la Facultad y se fue interesando cada vez más en lo que se convertiría en su pasión por el resto de su vida: la Astronomía. Ideó métodos para establecer latitudes y longitudes del país, llevó a cabo con éxito un proyecto para cartografiar Colombia y en particular para obtener la latitud de Bogotá. También trabajó en la predicción del paso del cometa Halley. Fue director del Observatorio Nacional desde 1892 y hasta su muerte, ocurrida el 11 de marzo de 1920, cuando tenía apenas 55 años de vida.

Quizá el más grande logro científico de Garavito es el relacionado con sus cálculos sobre el movimiento lunar, lo que está incluido en varios de sus trabajos, en particular en uno de sus artículos de la Academia Colombiana de Ciencias. Extendiendo un método propuesto anteriormente, resolvió las ecuaciones que rigen el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. La teoría de la gravitación universal, desarrollada con Newton un par de siglos antes, junto con todas las herramientas del cálculo diferencial, habían proporcionado un marco matemático para modelar, de manera precisa, el movimiento de los astros. Pero la Luna ha tenido por costumbre volver locas a las personas, y ésta no fue una excepción. Siendo el cuerpo celeste más cercano a nosotros, se le ha observado desde la antigüedad, y la comparación con las observaciones se convirtió en una verdadera prueba para la teoría de gravitación, que no era evidente que aprobara fácilmente.

La ley de gravitación universal permitió comprender de forma conjunta dos fenómenos que ya se habían estudiado: la ley de inercia y las leyes de Kepler del movimiento elíptico. Con las nuevas herramientas matemáticas comenzó una era en la que los detalles del universo podrían cabalmente ser descritos. La luz de las matemáticas iluminó rincones que habían permanecido oscuros. Nació así el área de estudio con el bello nombre de mecánica celeste. En particular, surgió un problema que en términos generales se puede plantear de la siguiente manera: si se conocen las posiciones y velocidades iniciales de N cuerpos celestes en el espacio, los cuales afectan unos a otros por medio de la gravedad ejercida mutuamente, se debe determinar las posiciones y velocidades que tendrían en el curso del tiempo. Para N=2, se tiene un sistema de dos cuerpos, (pensemos en el Sol y la Tierra), que fue resuelto poco después de que Newton estableciera su teoría. Pero para valores mayores, la cuestión es mucho más compleja.

Es asombroso pensar que, en el problema de los N cuerpos, aumentar un objeto para simplemente pasar de dos a tres cuerpos (el Sol y dos planetas girando a su alrededor, por ejemplo) complica enormemente la complejidad del problema, y ya no hay soluciones explícitas. A finales del siglo XIX, el matemático francés Poincaré encontró que este tipo de sistemas siempre incluyen soluciones caóticas (esto significa que pequeños cambios en la situación inicial de los cuerpos pueden llevar, con el curso del tiempo, a inmensas diferencias). Actualmente se conocen algunas soluciones particulares, en particular para el caso de tres cuerpos de la misma masa, pero no del problema en general. Es interesante constatar que recién el año 2000 fue encontrada un nuevo tipo de órbitas de tres cuerpos: la figura del ocho, que es recorrida por tres planetas distribuidos de forma simétrica a lo largo de la trayectoria y que se persiguen mutuamente. Esto fue encontrado por el matemático estadounidense Richard Montgomery en lo que significó un importante descubrimiento. Como dato curioso, la conocida novela de ciencia ficción El problema de los tres cuerpos, de Cixin Liu, se inspira en la trayectoria encontrada por Montgomery.

Dentro del problema de los tres cuerpos, es natural pensar en el ejemplo de los tres astros que tenemos más cerca en nuestra vida diaria: nuestro hogar la Tierra, el Sol y, claro, la Luna. Este sistema tiene la peculiaridad de que un cuerpo es de masa mucho menor comparada con los otros dos, por lo que podemos pensar en una simplificación: considerarlo como un punto en el espacio, con masa despreciable. Además, se puede simplificar pensando que los tres cuerpos se mueven dentro de un plano. Entonces resulta lo que se conoce como el problema restringido de los tres cuerpos, planteado por Poincaré y que ha sido estudiado a lo largo del tiempo.

Uno de los principales aportes en el problema restringido de los tres cuerpos fue realizado por George William Hill (1838-1914) y continuado por Ernest William Brown (1866-1938). La teoría de Hill-Brown, construida a finales del siglo XIX, fue un gran avance en el estudio del movimiento lunar y sirvió como el método más preciso para calcular las efemérides lunares por décadas. Uno de los puntos geniales en este trabajo fue el uso de series complejas infinitas por Hill, quien usó su conocimiento fino de la teoría desarrollada por Euler sobre números complejos (recordemos la fórmula de Euler, la más hermosa de las matemáticas: exp( i) = -1), para encontrar una solución periódica al problema restringido de los tres cuerpos. Fue tal el éxito de esta teoría que astrónomos proponían medir el tiempo usando las efemérides lunares en vez del tiempo universal (lo cual no tuvo mayor éxito, en parte por el descubrimiento de precisos métodos de cálculo del tiempo usando relojes atómicos).

Pues bien, aún siendo muy precisa, la teoría de Hill-Brown no bastaba para describir completamente el movimiento lunar en todos sus detalles, y con el tiempo aparecieron más y más discrepancias entre las observaciones y la teoría. Garavito se abocó a la tarea de mejorar tal teoría, lo que consiguió después de mucho trabajo. Mejoró los resultados de Hill y Brown, resolviendo las ecuaciones diferenciales de la teoría con varios grados mayores de precisión. Llegó a construir las tablas del movimiento lunar más adelantadas de su época. En 1970, la Unión Astronómica Internacional decidió asignar el nombre de Garavito a un cráter de la Luna, en conmemoración de este inmenso logro intelectual. En la Luna, Garavito es vecino de Poincaré y otros nombres de científicos que también fueron asignados a varios cráteres.

Garavito también se interesó en problemas de álgebra y geometría. Por ejemplo, publicó una demostración original del Teorema Fundamental del Álgebra y de varias propiedades de geometría no euclidiana, entre las cuales está una demostración … del Quinto Postulado de Euclides. Evidentemente, una demostración equivocada, pues sabemos que tal axioma es independiente de los otros, aunque muchas personas se empeñaron en demostrar lo contrario a lo largo de la historia. Y sucede que Garavito tuvo una relación complicada con las geometrías no euclidianas, la que podríamos resumir diciendo que simplemente no las aceptaba, no le hacían sentido como modelo de la geometría del universo real. Comprendía bien y dominaba los resultados referentes a propiedades geométricas de la esfera y de las geometrías hiperbólicas (de hecho, publicó varios artículos en tales temas, más allá de sus intentos por probar el Quinto Postulado). Pero todo parece indicar que, para Garavito, la euclidiana era la geometría del universo.

¿Qué es la geometría no euclidiana? Como su nombre lo indica, es la teoría que se sigue cuando nos salimos de las reglas establecidas por Euclides, el conocido geómetra de la Grecia clásica. No se trata de que Euclides se haya equivocado o que queramos corregirlo. Euclides realizó un compendio de lo que se sabía de Geometría, con la característica que lo escribió como un sistema lógico completo: primero los axiomas, que son algo así como las reglas básicas del juego, establecidas como verdades absolutas, de los cuales se desprenden los teoremas, las propiedades de las figuras y toda la teoría. Uno de esos axiomas causaba especial atención: el Quinto Postulado, que afirma que siempre es posible trazar paralelas a una recta dada, exactamente una paralela para cada punto exterior a la recta. Sucede que algunas personas creían que tal propiedad se podría deducir de los demás axiomas, quizá por considerarla tan natural y evidente. Eso habría vuelto el Quinto Postulado como innecesario, se habría convertido en un teorema. Podemos pensar que Euclides tuvo bastante intuición al incluirlo como postulado, sobre todo por todo lo que ocurrió durante los siglos siguientes.

Con el tiempo, ocurrieron muchos intentos por demostrar el Quinto Postulado, aparecían artículos donde se afirmaba que se tenía una prueba matemática, que con el tiempo era descubierto que tenía un error. Se dice fácil, pero es impresionante darse cuenta de que pasaron unos 18 siglos para que a alguien se le ocurriera una jugada genial: no intentar demostrar el axioma, sino negarlo. Es decir, considerar el juego que se obtiene al cambiar esta regla: al fin y al cabo, si éste no es un resultado que depende de los demás axiomas, entonces puede considerarse independiente, y por tanto su negación proporcionará otro sistema lógico con validez. Eso fue lo logrado por Bolyai, Lobachevsky y otros matemáticos del siglo XIX. Fue una jugada genial, pues surgieron teorías matemáticas precisas e interesantes. Básicamente hay dos opciones cuando se niega el Quinto Postulado: que no existe ninguna paralela o que exista más de una. En la segunda opción nos encontramos con lo que se conoce como geometría esférica: los meridianos en la tierra son las rectas, pues realizan la distancia más corta entre dos puntos (es decir, un círculo máximo es la trayectoria que realiza la trayectoria de un avión). Pues bien, dos meridianos siempre se intersectan (en dos puntos opuestos) y por tanto, en la geometría esférica no hay paralelas. Por otra parte, si asumimos que hay más de una paralela, se llega a lo que se conoce como geometría hiperbólica, la que, para sorpresa (y rechazo) de muchas personas de ciencia, llegaría a mostrarse como un modelo del universo.

Regresando a Garavito, todo indica que comprendía las geometrías no euclidianas, pero no las consideraba sino meros malabarismos de las matemáticas puras (citando a Alvárez Lleras, su principal biógrafo). Artificios alejados de la sólida estructura edificada por Euclides y en la cual se basa la física de Newton y de Laplace, la verdad absoluta e inmutable del universo real que habitamos. Hay evidencia que indica que esta postura pudo haber sido motivada por la fuerte influencia del positivismo en el espacio y tiempo que habitaba Garavito. Lo que está claro es que, ya para entonces, se conocían contradicciones entre observaciones astronómicas y la teoría clásica, como el célebre experimento de Michelson y Morley, que hoy sabemos es explicado por la teoría de la relatividad, que justamente establece que el espacio-tiempo de nuestro universo se comprende nítidamente a través de los lentes de la geometría no-euclidiana, pues la gravedad ocasiona una curvatura que los dominios de Euclides simplemente no permiten. Pero, para muchas personas, no era claro si tales discrepancias se debían a errores de cálculo o a algo más profundo.

En su momento, la teoría de la relatividad tuvo oposición en el medio científico. No es difícil imaginarlo, dado el cambio de paradigma que traía consigo. Probablemente Garavito, como muchos otros, consideraba la teoría desarrollada por Newton como la culminación del poder de las matemáticas para modelar el universo: Como ya mencionamos, por medio de la teoría de la gravitación y usando el cálculo infinitesimal es posible calcular el movimiento de los cuerpos celestes. Las discrepancias con lo observado eran producto de los factores no tenidos en cuenta o de las aproximaciones particulares usadas en cada cálculo. Todo era cuestión de mejorar los métodos, alcanzar mejores aproximaciones, como él mismo hizo respecto a los cálculos de Brown-Hill, y listo. No había más que matematizar los fenómenos por estudiar. Como ya lo dijimos, es la influencia del positivismo, corriente filosófica que otorga completa confianza en los fenómenos observados, los cuales tienen un carácter positivo, y elimina posibles explicaciones alternativas. Se tiende siempre a la búsqueda de leyes universales que funcionen en todo contexto, y los detalles son menospreciados. Para Garavito, las discrepancias en las observaciones astronómicas eran de una naturaleza distinta a las verdades establecidas por Newton.

Por supuesto, no tiene sentido juzgar a Garavito por su postura en un contexto particular de hace más de un siglo. Más allá de las influencias filosóficas que hayan existido, consideremos que la mecánica newtoniana es efectivamente una elegante y poderosa caja de herramientas para comprender el universo, que ya para ese tiempo mostraba falencias pero que podía ser mejorada, pulida constantemente por los trabajadores de la ciencia como Garavito, quien ciertamente se dedicó a ello durante toda su vida. Es comprensible que existiera resistencia a abandonar el mundo clásico para dar ese salto incierto que la relatividad demandaba. Garavito falleció con sólo 55 años, al parecer por complicaciones ocasionadas por una tuberculosis. No sabemos qué hubiera pasado si hubiera vivido algunas décadas más, si la Luna lo habría continuado inspirando, quizá, para cambiar de opinión. Pero muy probablemente hubiera continuado trabajando con la constante y absoluta pasión con la que siempre lo hizo.

Referencias

1. Los ingeniero-matemáticos colombianos del siglo XIX y comienzos del XX. Las tesis para ser Profesor en Ciencias Matemáticas. Facultad de Matemáticas e Ingeniería 1891-1903. Clara Helena Sánches. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, Bogotá. ISBN: 978-958-701-843- 1. 2007.
2. ¿Por qué Garavito?. Charla de Bernardo Mayorga, The 1st Colombia-ICRANet Julio Garavito Armero Meeting, Bucaramanga, 2015. Bogotá, Colombia.

3. Fórmulas definitivas para el cálculo del movimiento de la luna por el método de Hill-Brown y con la notación usada por Henri Poincaré en el Tomo III de su curso de Mecánica Celeste. Julio Garavito Armero. Rev. Acad. Colomb. Cienc. Ex. Fis. Nat. 1945, 6 (24):560-570. http://dx.doi.org/10.18257/raccefyn.568

4. Garavito Armero, J. (2017). Fórmulas definitivas para el cálculo del movimiento de la luna por el método de Hill-Brown y con la notación usada por Henri Poincaré en el Tomo III de su curso de Mecánica Celeste. Rev. Acad. Colomb. Cienc. Ex. Fis. Nat., 41(Suplemento), 80-91. https://doi.org/10.18257/raccefyn.568

5. Wilson, Curtis. The Hill-Brown theory of the moon’s motion.
   Its coming-to-be and short-lived ascendancy (1877–1984). With an appendix of undated pages from a file of George William Hill. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer, New York, 2010.

6. Jacques Féjoz. The N-body problem. Celestial Mechanics (ed. Alessandra Celletti). EOLSS publishers, Oxford. 2015. https://www.ceremade.dauphine.fr/~fejoz/Articles/Fejoz_2014_nbp.pdf

7. Richard Montgomery. The Three-Body Problem. ScientificAmerican. August 2019.

8. Editorial, Rev. Acad. Colomb. Cienc. Ex. Fis. Nat. 44(170): 9-13, enero-marzo de 2020.

9. Sobre las geometrías no euclidianas: Notas históricas y bibliográficas. Francisco José Duarte Isava. Rev. Acad. Colomb. Cienc. Ex. Fis. Nat. 1946, 7 (25-26): 63-81.

10. El positivismo en la física moderna y la evolución de la ciencia. Jorge Álvarez Lleras. Conferencia del curso de extensión universitaria, Universidad de Bogotá, enero 1937.

11. Gabriel Poveda Ramos. Historia de las matemáticas en Colombia. Ediciones UNAULA 2012.

Sobre el autor: Alberto Mercado Saucedo es profesor de matemáticas en la Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)