En la última década ha habido mucho revuelo mediático con la posibilidad de que los neandertales hubiesen tenido la oportunidad de ser los pintores de Altamira y otras 10 cuevas del norte de España. Pero, ¿cómo podemos fechar la antigüedad de una puntura en la pared de una cueva? Un método que se emplea mucho es la datación por serie U.

Vamos a explorar la base teórica (incluidas las matemáticas) del mismo, que es muchísimo más sencilla que la experimental, porque si bien no hay nada más práctico que una buena teoría, también es cierto que aún no debiendo haber teóricamente diferencia entre teoría y práctica, en la práctica, la hay. [*]

Las investigadoras emplean los ratios entre los isótopos uranio-234 y torio-230 para datar los depósitos de calcita sobrepuestos a las pinturas para calcular la edad mínima de las mismas. Los resultados, con edades mínimas en el entorno de los 40.000 años de antigüedad, abren distintas posibilidades. Como se supone que Homo sapiens sapiens no migró a Europa hasta hace poco más de 40.000 años es probable que trajese sus habilidades artísticas africanas con él y decorase las cuevas poco después de llegar o, quizás, las pinturas más sencillas y antiguas fuesen de hecho la obra de neandertales.

La datación uranio-torio es especialmente interesante en el análisis de carbonatos cálcicos, como la calcita, ya que ninguno de los elementos puede escapar del mineral, ni otros átomos de ellos pueden entrar, una vez se ha formado. En las condiciones de formación de las calcitas el uranio es soluble mientras que el torio no lo es, por lo que cuando se forma el depósito mineral contendrá uranio pero no torio. La cantidad del isótopo U-234, que es el isótopo que por desintegración alfa se convierte en torio 230, que podemos esperar tener en una calcita recién formada es del orden de partes por millón o inferiores. Suponiendo que sepamos la cantidad original de uranio presente en la muestra, necesitamos poder calcular cuánto Th-230 tendremos pasado un tiempo a partir de una determinada cantidad de U-234 para tener un método para determinar el tiempo transcurrido.

Imaginemos que el isótopo A se desintegra para dar B, por el proceso que sea: A → B. La desintegración de un núcleo inestable es algo completamente aleatorio y es imposible predecir cuándo un átomo en concreto se va a desintegrar. Sin embargo, la probabilidad es igual en cualquier tiempo t. Si tenemos un número N de núcleos de un isótopo concreto, transcurrido un tiempo infinitesimal, que llamaremos dt, se habrán desintegrado un número infinitesimal de núcleos, dN, quedando N-dN. Por otra parte, el número de desintegraciones que se produce en la unidad de tiempo, -dN/dt (con signo negativo porque son núcleos de ese isótopo que desaparecen), debe ser proporcional al número de nucleones presente, igual que en una sala en silencio el número de toses es proporcional al número de personas presentes, como bien saben los músicos de clásica. Así, si llamamos a la constante de proporcionalidad característica de ese isótopo λ, podemos escribir:

-dN/dt = λN

Esto es una ecuación diferencial muy sencillita que no es más que escribir en forma matemática la frase “la desaparición de nucleones con el tiempo es proporcional al número de nucleones”. Esta ecuación tiene como solución [**]:

N = N₀e^-λt , donde N₀ es el número de átomos pata t = 0. [1]

Sin embargo, el sistema U-234 – Th-230 no es tan sencillo, puesto que el Th-230 también se desintegra. Estamos entonces ante esta situación: A → B → C. El razonamiento es análogo: si tengo N núcleos, pasado un tiempo infinitesimal dt, tendré N+dN núcleos.

En este caso escribo +dN, porque dN puede ser positivo o negativo, dependiendo de si se forman más núcleos de los que se desintegran o al revés. En cualquier caso, la variación en el número de núcleos será los que se forman menos lo que se desintegran, por tanto, usando [1]:

dN_B/dt = λ_AN_A– λ_BN_B = λ_AN_0Ae ^-λ_A^t – λ_BN_B

Esto sigue siendo una ecuación diferencial nada complicada, que se puede comprobar que tiene como solución:

N_B = (N_A0 λ_A) / (λ_B – λ_A) · (e ^-λ_A^t – e ^-λ_B^t) [2]

En pura teoría ya tenemos la ecuación que buscábamos. Si conocemos las constantes de los isótopos U-234 (que ocupa el lugar de A) y del Th-230 (B), que las conocemos, tendríamos un método para medir la antigüedad de los depósitos de calcita.

La inteligente lectora que haya llegado hasta aquí se habrá dado cuenta de que venimos arrastrando un problema no menor desde el principio: ¿cómo sabemos qué cantidad había al comienzo del isótopo A, lo que hemos llamado N_A0? Simplemente, no lo sabemos, ni lo podemos saber con suficiente precisión. Por eso un método de datación que se base en una serie radioactiva sólo es válido si uno de los núcleos es estable (λ_B = 0) o, como el caso de U-234 y Th-230, que se cumpla que λ_A es distinto de cero pero mucho menor que λ_B.

Entonces [2] queda reducida a

N_B / N_A ≈ λ_A / λ_B (1 – e ^-λ_B^t) [3]

Ya que también en este caso, N_A ≈ N_A0.

Vemos pues que si medimos por espectrometría de masas el ratio Th-230/U-234 tenemos una forma directa de medir el tiempo desde que se formó la calcita con un error más que razonable. Sólo nos quedará corregir por la cantidad de U-238 que se convierta en U-234, pero eso es más de lo mismo (se deja como ejercicio).

Observando la ecuación [3] vemos una de las limitaciones del método: para tiempos suficientemente grandes NB / NA tiende a un valor constante λA / λB, es lo que se denomina equilibrio secular (se forma tanto Th-230 como se destruye). De aquí que el método uranio-torio no puede datar más allá de 500.000 años, aproximadamente.

Nota:

[*] Los conceptos empleados en este texto pueden encontrarse desarrollados sin matemáticas y de forma muy sencilla en nuestra serie El núcleo

[**] La comprobación de que esto es cierto debería estar al alcance de cualquier persona que haya cursado matemáticas de bachillerato.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

Una versión anterior de este texto se publicó en Naukas el 22 de junio de 2012.