promedios

En la calle Acme 1 hay un edificio de dos plantas.

Las edades de las cinco personas que viven en la primera planta del edificio son 8, 14, 20, 23 y 35 años. Es decir, su edad promedio es:

(8 + 14 + 20 + 23 + 35) / 5 = 100 / 5 = 20 años.

Las seis personas que habitan en la segunda planta del inmueble tienen 25, 30, 35, 40, 45 y 59 años respectivamente. Por lo tanto, su edad promedio es

(25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 59) / 6 = 235 / 6 = 39 años.

Juan vive en la primera planta. Tiene 35 años. Harto de soportar los ruidos de sus vecinos, decide mudarse a la segunda planta. Ahora la edad media en la primera planta de la calle Acme número 1 es:

(8 + 14 + 20 + 23) / 4 = 65 / 4 = 16,25 años,

y la edad media en la segunda planta pasa a ser (redondeando con dos decimales):

(25 + 30 + 35 + 35 + 40 + 45 + 59) / 7 = 269 / 7 = 38,43 años.

Sorprendentemente, las edades promedio en las dos plantas han disminuido.

Organizando movimientos de este tipo, ¿podríamos seguir reduciendo la edad media de todas las plantas del edificio y “rejuvenecer” de este modo (en media) a las personas residentes en el inmueble? ¿Qué cambios de este tipo consiguen reducir la edad promedio?

Explicación

Esta situación parece contradictoria: tenemos dos conjuntos de números, A y B y, moviendo un elemento de A a B, se ha reducido la media de ambos conjuntos. Raro, ¿no? Pero no hay errores de cálculo. Obviamente, el promedio de las edades de los once habitantes de las dos primeras plantas del edificio se ha mantenido; es:

(8 + 14 + 20 + 23 + 25 + 30 + 35 + 35 + 40 + 45 + 59) / 11 = 334 / 11 = 30,36.

La media ponderada de los dos primeros promedios es:

(5 / 11) x 20 + (6 / 11) x 39 = 334 / 11 = 30,36.

Y, por supuesto, coincide con la media ponderada de las edades tras el cambio de piso de Juan:

(4 / 11) x 16,25 + (7 / 11) x 38,43 = 334,01 / 11 = 30,36.

Esto es, de nuevo, bastante contraintuitivo: cuando tomamos el promedio ponderado de dos números puede permanecer constante, aunque cada uno de los dos números promediados disminuya…

Esta “paradoja” ha sucedido por el siguiente motivo: si en dos conjuntos de números A y B trasladamos de A a B un elemento x mayor que la media de A y menor que la media de B, entonces, las nuevas medias de A y B disminuirán. Pero los promedios ponderados antes y después del cambio permanecerán constantes.

En efecto, la media de los elementos de A disminuye porque se ha eliminado de A un número mayor que la media de A, y eso evidentemente baja su promedio. Además, se ha añadido al conjunto B un número inferior al promedio de los elementos de B; y obviamente esto baja la media de B.

En nuestro ejemplo, Juan tiene 35 años, cantidad que se sitúa entre los dos promedios del primer y el segundo piso (20 < 35 < 39), por eso su cambio de planta produce la disminución de las medias de edad en ambos pisos… ¡Aunque nadie se ha vuelto más joven!

Repitiendo el proceso

Por supuesto, el anterior fenómeno no sucede siempre. Si tenemos dos conjuntos de números A y B, ambos con las mismas medias aritméticas, cualquier cambio de uno de los elementos (con valor diferente a la media) de uno a otro conjunto provocará que las medias resultantes varíen en direcciones opuestas.

En el caso de la calle Acme, tras el cambio de Juan, podrían volverse a reducir las edades medias si la persona de 23 años (16,25 < 23 < 38,43) de la primera planta se mudara a la segunda. La nueva edad media en la primera planta sería:

(8 + 14 + 20) / 3 = 42 / 3 = 14 años,

y la edad media en la segunda planta pasaría a ser:

(23 + 25 + 30 + 35 + 35 + 40 + 45 + 59) / 8 = 292 / 8 = 36,5 años.

Y podríamos realizar una nueva disminución de edad si la persona de 20 años del primer piso (14 < 20 < 36,5) se trasladara al segundo piso. La nueva edad media en la primera planta sería:

(8 + 14) / 2 = 22 / 2 = 11 años,

y la edad media en la segunda planta pasaría a ser (redondeando con dos cifras decimales):

(20 + 23 + 25 + 30 + 35 + 35 + 40 + 45 + 59) / 9 = 312 / 9 = 34,67 años.

De nuevo podríamos repetir este “juego” si la persona de 14 años del primer piso (11 < 14 < 34,67) se trasladara al segundo piso. La nueva edad media en la primera planta sería:

8 / 1 = 8 años,

y la edad media en la segunda planta pasaría a ser:

(14 + 20 + 23 + 25 + 30 + 35 + 35 + 40 + 45 + 59) / 10 = 326 / 10 = 32,6 años.

Aunque, por supuesto, la media ponderada en esta última etapa seguiría siendo la misma (redondeando con dos cifras decimales) que al principio:

(1 / 11) x 8 + (10 / 11) x 32,6 = 334 / 11 = 30,36.

Referencia

Jean-Paul Delahaye, Le déménagement miraculeux, Accromath 18.1, hiver – printemps 2023, 30-31.

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad