Fracciones sorprendentes

Matemoción

En esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica vamos a hablar de… fracciones.

Se atribuye al escritor ruso León Tolstoi (1828-1910), autor de las novelas realistas Guerra y Paz y Ana Karenina, la siguiente cita:

Una persona es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que es, en tanto que el denominador es lo que cree ser. Cuanto mayor es el denominador, tanto más pequeño es el valor de la fracción

También nos encontramos con fracciones, pero dos concretas y con una sorprendente propiedad, en la obra El Paraíso en la otra esquina del escritor peruano, Premio Nobel de Literatura, Mario Vargas Llosa (Editorial Alfaguara, 2003):

Más grave que el número de oyentes era su composición social. Desde el proscenio, decorado con un jarroncito de flores y una pared llena de símbolos masónicos, mientras monsieur Lagrange la presentaba Flora descubrió que tres cuartas partes de los asistentes eran patrones y sólo un tercio obreros

Como se observa 3/4 de los asistentes eran patrones y 1/3 eran obreros, pero si sumamos ambas cantidades nos da 3/4 + 1/3 = 13/12, que es mayor que uno. Lo cual es imposible, puesto que la suma de las partes no puede ser mayor que el total, es decir, que 1, pero en el caso de la novela de Vargas Llosa, sale 13/12 que es mayor que 1 = 12/12.

Un divertido diálogo en la misma línea del texto anterior lo encontramos en el extracto de la obra teatral del escritor y cineasta francés Marcel Pagnol (1895-1974), que mi colega Marta Macho nos acercó en su entrada de Matemoción, El tamaño de los tercios.

Dos personajes de la obra, que se encuentran en un bar, conversan sobre como se prepara un cierto cóctel:

“CÉSAR: […] Pues bien, por décima vez, te voy a explicar el Amer Picón-limón-curaçao. (Se instala tras el mostrador.) ¡Acércate! (Marius se aproxima para seguir de cerca la operación. César coge un vaso grande, una jarra y tres botellas. Mientras habla, prepara el brebaje.) Pones primero un tercio de curaçao. Pero ten cuidado: un tercio pequeñito. Bueno. Ahora, un tercio de limón. Un poco más grande. Bueno. Después, un BUEN tercio de Amer Picón. Mira el color. Fíjate qué bonito es. Y al final, un GRAN tercio de agua. Ya está.

MARIUS: Y eso hace cuatro tercios.

CÉSAR: Exactamente. Espero que esta vez hayas entendido. (Toma un trago de la mezcla).

MARIUS: En un vaso, no hay más que tres tercios.

CÉSAR: Pero, imbécil, ¡eso depende del tamaño de los tercios!

Pero, dejemos la literatura a un lado, y adentrémonos en algunas llamativas fracciones. Dada una fracción cualquiera, esto es, un número racional, podemos realizar la división y obtener el desarrollo decimal asociado a la misma. Recordemos que el desarrollo decimal de un número racional tiene un número finito de decimales, o si es infinito, entonces existe un período finito que se repite.

Imagen 1 (Pie de imagen: Opera, Ugo Nespolo, en la que aparece el número pi, que es un número irracional, con infinitos dígitos en su desarrollo decimal, para los que no existe un período finito que se repite)
Opera, Ugo Nespolo, en la que aparece el número pi, que es un número irracional, con infinitos dígitos en su desarrollo decimal, para los que no existe un período finito que se repite

Los primeros ejemplos que vamos a mostrar, son fracciones cuyos desarrollos decimales son curiosos.

10/81 = 0,12345678901234567890…

100/891 = 0,112233445566778899001122…

1000/8991 = 0,111222333444555666777888999000…

Y así se pueden continuar los ejemplos, si le vamos añadiendo 0 en el numerador y 9 en el denominador.

Otra expresión decimal curiosa de una fracción es la siguiente:

100/9801 =

0,010203040506070809 10111213141516171819 20212223242526272829 30313233343536373839 40414243444546474849 50515253545556575859 60616263646566676869 70717273747576777879 80818283848586878889 90919293949596979900…

que tiene un período de 198 dígitos, es decir, los 198 decimales que se ven se van repitiendo hasta el infinito. Además, observemos que falta el “98” en la sucesión de números dentro del período de los decimales. Y también puede llevarse más allá esta fracción, si ahora dividimos 1000 entre 998001.

Otro ejemplo más de este estilo:

1/98 = 0,0102040816326530612244…

Como observamos en los primeros decimales, aparecen las potencias de 2, pero en dos dígitos, así aparece 01, 02, 04, 08, etc… y llega un momento que parece que se deshace, puesto que después de 32 debería seguir 64, pero aparece 65. Eso es porque se le suma el 1 del siguiente número, 128. Aunque al ver la expresión como potencias de dos, puede dar la impresión de que no va a existir un período finito que se repite, lo cierto es que por ser un número racional, sí va a existir ese período. De hecho, este número racional tiene un periodo de 42 dígitos (los que hemos subrayado en el siguiente desarrollo decimal):

1/98 =0,0102040816326530612244897959183673469387755

Por cierto, una buena calculadora on-line para comprobar estas cuestiones es WolframAlpha.

Algo similar ocurre si se divide 1 por 998, aunque ahora las potencias de 2 aparecen en grupos de tres dígitos, y el período de este número racional es de 498 dígitos.

1/2 (2003), Antoni Tapies
1/2 (2003), Antoni Tapies

Sigamos con curiosidades relacionadas con las fracciones. En el libro The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (Penguin Press, 1998), su autor David Wells, comenta que existen 12 formas curiosas de utilizar las 9 cifras básicas, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para escribir la fracción 1/2. Las formas, más pequeña y mayor, son:

6729/13458 y 9327/18654.

En general, podemos plantear el problema recreativo de encontrar fracciones que utilicen las nueve cifras básicas y que sean equivalentes a las fracciones de la forma 1/2, 1/3, 1/4,… , 1/8 y 1/9.

De hecho, este problema aparece en el libro More Mathematical Puzzles of Sam Loyd, editado por Martin Gardner (1960), y en el libro Amusements in Mathematics de Henry Dudeney (1917). Sam Loyd (1841-1911) y Henry Dudeney (1857-1930) fueron dos grandes autores de juegos de ingenio y rompecabezas, que colaboraron durante un tiempo, hasta que Dudeney se quejó de que Loyd le robaba sus creaciones.

Imagen 3 (Pie de imagen: Este problema apareció con el nombre “problema de historia” en el libro More Mathematical Puzzles of Sam Loyd, editado por Martin Gardner en 1960)
Este problema apareció con el nombre “problema de historia” en el libro More Mathematical Puzzles of Sam Loyd, editado por Martin Gardner en 1960

Algunas soluciones al anterior problema recreativo son, por ejemplo,

1/3 = 5823/17469, 1/5 = 2697/13485 y 1/7 = 5274/36918.

Quien quiera puede animarse a intentar resolver este interesante problema de ingenio que nos plantearon Sam Loyd y Henry Dudeney. Al final de la entrada dejo las soluciones para quien esté interesado.

Otra curiosidad similar, tiene que ver con el producto de fracciones. Como todos sabemos, la multiplicación de fracciones sigue la siguiente regla: (a/b) x (c/d) = (a x c / b x d).

Sin embargo, en ocasiones se producen igualdades curiosas, como la siguiente, que leí en el libro La cuadratura del cuadrado (Crítica, 2009), del gran divulgador de las matemáticas, Ian Stewart:

1/4 x 8/5 = 18/45.

que obviamente no es cierta en general, puesto que para otras fracciones como por ejemplo 3/7 y 4/5, lo anterior no ocurre, puesto que el producto es 12/35, que no es igual a 34/75.

Una cuestión interesante que nos podemos plantear es buscar las fracciones para las cuales se cumple una igualdad del tipo anterior, es decir,

(a/b) x (c/d) = (10a + c / 10b + d).

De nuevo, podéis divertiros intentando buscar más ejemplos como el anterior. De hecho, existen ejemplos triviales si consideramos a = b y c = d. Por ejemplo, 7/7 x 5/5 = 75/75.

Y existen 14 soluciones no triviales, que se pueden reducir a 7, si observamos que si (a, b, c, d) es solución, también lo es (b, a, d, c). Las 7 soluciones son: (1, 2, 5, 4), (1, 4, 8, 5), (1, 6, 4, 3), (1, 6, 6, 4), (1, 9, 9, 5), (2, 6, 6, 5) y (4, 9, 9, 8).

Imagen 4 (Pie de imagen: Mel Bochner, Continuous/Discontinuous Re-Placements (1972))
Mel Bochner, Continuous/Discontinuous Re-Placements (1972)

Por último, una de las cosas que más suelen divertirnos a las personas que nos gustan las matemáticas, son las cancelaciones anómalas. Expliquemos qué es esto. En general, su tenemos una fracción como, por ejemplo, 19/92, no podemos cancelar los 9 y decir que esa fracción es (equivalente a) 1/2, como es evidente. Sin embargo, existen algunos curiosos casos en los que esto sí ocurre. Por ejemplo,

16/64 = 1/4, 19/95 = 1/5, 26/65 = 2/5, 49/98 = 4/8.

Pero, no solo vale para números de dos cifras, sino incluso mayores:

165/660 = 15/60, 385/880 = 35/80, 495/990 = 45/90,

o incluso mayores aún:

2666/6665 = 2/5 o 143185/1701856 = 1435/17056.

Bibliografía

1.- Marta Macho, El tamaño de los tercios, Cuaderno de Cultura Científica, 2013

2.- André Jouette, El secreto de los números, Ma Non Troppo, 2000.

3.- Ian Stewart, La cuadratura del cuadrado, Crítica, 2009.

4.- Problema 121 del Mike’s Archive of Riddles and Puzzles

5.- Futility closet

Nota: la solución del problema anterior…

1/2: (6729/13458), (6792/13584), (6927/13854), (7269/14538), (7293/14586), (7329/14658), (7692/15384), (7923/15846), (7932/15864), (9267/18534), (9273/18546), (9327/18654).

1/3: (5823/17469), (5832/17496).

1/4: (3942/15768), (4392/17568), (5796/23184), (7956/31824).

1/5: (2697/13485), (2769/13845), (2937/14685), (2967/14835), (2973/14865), (3297/16485), (3729/18645), (6297/31485), (7629/38145), (9237/46185), (9627/48135), (9723/48615).

1/6: (2943/17658), (4653/27918), (5697/34182).

1/7: (2394/16758), (2637/18459), (4527/31689), (5274/36918), (5418/37926), (5976/41832), (7614/53298).

1/8: (3187/25496), (4589/36712), (4591/36728), (4689/37512), (4691/37528), (4769/38152), (5237/41896), (5371/42968), (5789/46312), (5791/46328), (5839/46712), (5892/47136), (5916/47328), (5921/47368), (6479/51832), (6741/53928), (6789/54312), (6791/54328), (6839/54712), (7123/56984), (7312/58496), (7364/58912), (7416/59328), (7421/59368), (7894/63152), (7941/63528), (8174/65392), (8179/65432), (8394/67152), (8419/67352), (8439/67512), (8932/71456), (8942/71536), (8953/71624), (8954/71632), (9156/73248), (9158/73264), (9182/73456), (9316/74528), (9321/74568), (9352/74816), (9416/75328), (9421/75368), (9523/76184), (9531/76248), (9541/76328).

1/9: (6381/57429), (6471/58239), (8361/75249).

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

5 comentarios

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *