Como se decía en la entrada del Cuaderno de Cultura Científica titulada El teorema de Morley, la geometría euclidiana y, en particular, la geometría plana, está repleta de hermosos y sorprendentes teoremas, sobre algunos de los cuales ya hemos escrito con anterioridad, como el teorema de Pitágoras, el teorema de Napoleón o el teorema de Morley, por citar algunos. En esta entrada estival vamos a disfrutar de un nuevo resultado de la geometría del plano, el conocido teorema de los globos oculares.

Lo que nos dice el teorema

Este es un curioso resultado de geometría elemental sobre dos circunferencias disjuntas y las rectas tangentes a las mismas trazadas desde los centros de las circunferencias opuestas, que ha sido descubierto, o al menos publicado, hace unas décadas, aunque es posible que se conociese desde hace mucho tiempo.

Antes de nada, vayamos con su enunciado.

Teorema: Dadas dos circunferencias disjuntas de centros O y P, se consideran las dos rectas tangentes a la circunferencia de centro P que pasan por O, así como los dos puntos de intersección de estas con la circunferencia de centro O, denotados A y B, y las dos rectas tangentes a la circunferencia de centro O que pasan por P, así como los dos puntos de intersección de las mismas con la circunferencia de centro P, denotados X e Y, entonces los segmentos AB y XY tienen la misma longitud.

Como podemos leer en el libro The Wonder Book of Geometry (El maravilloso libro de la geometría), de David Acheson, este resultado fue descubierto en 1960 por el matemático peruano Antonio Gutiérrez, creador de la página web GoGeometry, aunque es probable, ya que se trata de un resultado elemental, que ya fuese conocido desde la antigüedad. El propio Gutiérrez, en su artículo Eyeball theorems (publicado en el libro The Changing Shape of Geometry. Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching / La forma cambiante de la geometría: celebrando un siglo de geometría y enseñanza de la geometría), dice “estoy convencido de que este resultado ha sido descubierto en casi todas las culturas”.

No conocemos si efectivamente era un resultado conocido en la antigüedad, aunque podamos sospecharlo. Lo que sí sabemos es que, en 1938 el matemático estadounidense George W. Evans publicó un artículo en la revista The Mathematics Teacher, titulado Ratio as multiplier, en el que se presenta un problema como “más fácil de resolver que de enunciar”, que encontró como problema propuesto en un examen (aunque no cita qué tipo de examen era, ni dónde se realizó) y que resulta ser el teorema de los globos oculares.

El nombre del teorema se debe a que el esquema del mismo nos recuerda a los típicos esquemas que describen la geometría de los rayos de luz en el ojo.

Una demostración simple del teorema

Como hemos comentado, el teorema de los globos oculares es un resultado geométrico elemental y sorprendente, pero además hermoso, motivo por el cual lo he elegido para esta entrada estival del Cuaderno de Cultura Científica. Al ser un resultado elemental, existen bastantes demostraciones relativamente sencillas. Una de ellas es la mostrada por el matemático George W. Evans en su artículo Ratio as multiplier y que explicamos a continuación.

En el anterior esquema del teorema de los globos oculares se consideran las siguientes longitudes: a es la mitad de la longitud del segmento AB, x es la mitad de la longitud del segmento XY, d la distancia entre los centros, O y P, y r y s los radios de las dos circunferencias, en particular, r es igual a la longitud de los segmentos OA, OB y OS, y s es la longitud de los segmentos PX, PY y PT. Para demostrar que las longitudes de los segmentos AB y XY son iguales nos basta probar que a = x.

A continuación, consideramos dos triángulos rectángulos. Por una parte, el pequeño triángulo rectángulo formado por el segmento x y los vértices P e Y (coloreado de azul en la siguiente imagen) y el triángulo rectángulo O, S y P (con rayas azules). Como los ángulos de los dos triángulos rectángulos son los mismos, entonces los dos triángulos son semejantes, es decir, tienen la misma forma, pero distinto tamaño (uno es una ampliación/reducción del otro).

Como los dos triángulos rectángulos seleccionados son semejantes, las longitudes de sus lados serán proporcionales, es decir, existe un factor de proporcionalidad f tal que las longitudes de los lados de uno de los triángulos son iguales a las longitudes de los lados del otro triángulo multiplicadas por ese factor f. En particular, se obtienen las dos igualdades siguientes

De forma análoga, si miramos a los otros dos triángulos rectángulos similares a los dos anteriores se obtiene que existe un factor de proporcionalidad g y se cumplen igualdades parecidas a las anteriores, en concreto, las siguientes igualdades

Utilizando las cuatro fórmulas anteriores, es fácil deducir que x = a, como se quería demostrar. Por lo tanto, las longitudes de los segmentos AB y XY son iguales, como afirma el teorema de los globos oculares.

Existen muchas otras demostraciones, desde la propuesta por el matemático peruano Antonio Gutiérrez, que podéis leer en su página GoGeometry, hasta una relacionada con un sangaku (puede leerse más sobre los sangakus en la entrada Sangakus, pasión por los desafíos matemáticos), que podéis leer en la página Cut the knot, del matemático Alexander Bogomolny.

Bibliografía

1.- David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Penguin, 1991.

2.- David Acheson, The Wonder Book of Geometry. Oxford University Press, 2020.

3.- Chris Pritchard (editor), The Changing Shape of Geometry. Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching, Cambridge University Press, 2003.

4.- George W. Evans, Ratio as multiplier, The Mathematics Teacher, Vol. 31, No. 3, pp. 114-116, 1938.

5.- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, MAA, 2011.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica