En la anterior entrada de esta miniserie sobre algunos rompecabezas con números titulada Un mar de rompecabezas con números explicamos los siguientes juegos: el rompecabezas binario (también conocido con muchos otros nombres, como binairo, binero, sudoku binario, takuzu o tic-tac-logic, entre otros), el nurikabe y el rompecabezas str8ts.

Aunque como decíamos en esa primera entrada de juegos con números, en el Cuaderno de Cultura Científica ya habíamos hablado en alguna ocasión del sudoku (en la entrada Sudokus, matemáticas y arte contemporáneo), así como de algunos otros rompecabezas con números, algunos de ellos desarrollados después de enorme éxito del sudoku. Los rompecabezas sujiko, suko, KenKen, hitori y numberlink se incluyeron en la entrada Rompecabezas matemáticos con números, mientras que la entrada Más rompecabezas matemáticos con números se dedicó a los rompecabezas inshi no heya (cajas de factorización), hashiwokakero (construye puentes o simplemente puentes), shikaku (divide por cajas), slitherlink (loop / lazo) y akari (light up / iluminar).

En esta entrada, vamos a seguir la estela de la entrada anterior y vamos a presentar más interesantes y entretenidos rompecabezas con números, para que podáis disfrutar este verano.

El rompecabezas shikaku

Los siguientes rompecabezas están relacionados, de cierta manera con el nurikabe que vimos en la entrada anterior. Mientras que en el nurikabe los números que aparecen en la retícula original determinan el tamaño (en cantidad de casillas) de las “islas”, de casillas blancas conectadas, que están rodeadas de casillas negras (que son las que pinta el jugador), en los rompecabezas shikaku y filomino los números también determinan el tamaño de ciertas zonas (rectangulares en el caso del shikaku y con forma de poliominos en el caso del filomino) de la retícula, pero en estos juegos de ingenio esas zonas rellenan todo el retículo, sin dejar casillas fuera (no habría casillas negras como en el nurikabe).

El rompecabezas shikaku, cuyo nombre entero en japonés es “shikaku ni kire” (cortar en cuadrados o rectángulos), se conoce también con los nombres “dividir por cajas” o “rectángulos”. Fue inventado en 1989 por un estudiante de matemáticas de la Universidad de Kioto, Yoshiano Anpuku (1967), y publicado por la revista de rompecabezas lógicos Nikoli (cuyo nombre completo es Puzzle Communication Nikoli) de la editorial japonesa Nikoli, empresa en la que fue contratado un año después, en 1990, el creador del shikaku. Desde entonces Anpuku ha trabajado en esta empresa ocupando diferentes puestos. Entre los años 1999 y 2018 fue editor jefe de la revista Puzzle Communication Nikoli, después ocupó el puesto de vicepresidente de la compañía, para terminar presidiéndola en 2021, cuando su fundador Maki Kaji (1951-2021) abandonó ese puesto.

El rompecabezas está formado por una retícula cuadrada (aunque puede ser rectangular) cuyas casillas son todas blancas, algunas de ellas con números, como en el sencillo ejemplo anterior. Y las reglas del shikaku son las siguientes:

A.- dividir la retícula en rectángulos (incluidos cuadrados), de manera que cada rectángulo contenga un único número de los de la retícula;

B.- cada rectángulo debe de estar formado por tantas casillas como indica en número incluido en dicho rectángulo.

Para aprender la dinámica de este juego de ingenio, veamos cómo resolver el sencillo shikaku anterior. En general, es conveniente empezar con los números más altos de la retícula, puesto que, al ocupar más cantidad de casillas formando un rectángulo, suele ser más fácil de determinar cuáles son esas casillas que forman el rectángulo. Además, tengamos en cuenta que las longitudes de los lados del rectángulo (cantidad de casillas) deben de dividir al número (Por ejemplo, si el número es 6 los posibles rectángulos son de la forma 1 x 6 o 2 x 3).

Como la retícula de este ejemplo anterior es pequeña, de tamaño 5 x 5, no hay rectángulos muy grandes. De hecho, el número más grande es el 4 (que hay tres), que determinará o cuadrados de tamaño 2 x 2 o rectángulos de tamaño 1 x 4. Vayamos por partes. Empecemos por el 4 de la segunda fila (desde arriba) y primera columna (desde la izquierda), que estará dentro del cuadrado 2 x 2 apoyado en la esquina de arriba a la izquierda, ya que en otro caso la casilla de la esquina no podría estar en ningún rectángulo. El 4 que está debajo (tercera fila) también estará en un cuadrado 2 x 2, debajo del anterior, puesto que de otra forma no se podrían incluir en rectángulos todas las casillas de las dos primeras filas. Y el tercer 4 está en un rectángulo 1 x 4 vertical, puesto que no hay más opción, como se muestra en la imagen siguiente.

El siguiente paso sería o buscar entre los números que quedan algunos cuyos rectángulos estén claros al trazar los rectángulos anteriores (por ejemplo, en este sencillo ejemplo el 2 de la fila de abajo, a la izquierda, está en el rectángulo 1 x 2 de las dos primeras casillas, por la izquierda, de esa fila; y claramente, el otro 2 de esa fila está en el rectángulo 1 x 2 con las dos siguientes casillas) o ir a los números más grandes de entre los que quedan (en este caso, demasiado sencillo, sería el número 3, que determinará un rectángulo 1 x 3, que claramente son las tres casillas contiguas de esa columna que rodean al 3). Y poco a poco se va llegando a la solución, que mostramos en la siguiente imagen.

Para terminar la sección, os dejo un shikaku de tamaño 10 x 10, de dificultad media, que he tomado de la página shikaku of the day, donde podréis encontrar más shikakus de diferentes tamaños y niveles.

El rompecabezas Filomino

El juego de ingenio que recibe el nombre de Filomino, una mezcla entre las palabras “fill” (rellenar) y “polyomino” (poliominó), es otro de los juegos de la importante editorial Nikoli, que fue publicado por primera vez en el número 47 (febrero de 1994) de la revista (Puzzle Communication) Nikoli.

Como en el caso del juego anterior, partimos de una retícula cuadrada, o rectangular, cuyas casillas son todas blancas, salvo algunas de ellas con números, que son las pistas del juego. El jugador deberá colocar un número en cada casilla siguiendo las siguientes reglas:

A.- la retícula quedará dividida en regiones, con forma de poliominó (recordemos que un poliominó es una figura geométrica plana formada conectando dos o más cuadrados por alguno de sus lados, como puede verse en la entrada El rompecabezas IQ-Block);

B.- todas las casillas de una misma región (poliominó) tendrán el mismo número, que será igual a la cantidad de casillas de la región (por ejemplo, una región con forma de tetraminó posee 4 casillas con el número 4 en ellas);

C.- las regiones con el mismo tamaño (cantidad de casillas), luego con el mismo número en sus casillas, no se pueden tocar, ni horizontal, ni verticalmente.

El rompecabezas filomino es diferente al shikaku, no solo por las regiones. Hemos de aclarar que, en el filomino, a diferencia del anterior juego, ahora puede ocurrir que dos, o más, números iguales que están dados como pistas pertenezcan a una misma región o que haya regiones de las que no se ofrece ninguna pista.

Empecemos a resolver el anterior filomino de tamaño 10 x 10. Para empezar es interesante fijarse en los números grandes, pero sobre todo si están metidos en regiones acotadas, puesto que, a diferencia del anterior juego, ahora la forma de los poliominós no es uniforme, es cualquier poliominó con la cantidad de casillas que corresponda. Por ejemplo, el número 5 de arriba a la izquierda está rodeado por tres de sus lados (arriba es el borde, a la izquierda está el 1 y abajo el 3), luego su región solo puede ir hacia la derecha, pero solo hay seis casillas, contando la del 5, que pueden pertenecer a la región con forma de pentominó (con cinco casillas). Si nos fijamos un poco la casilla de la derecha del 5 y la que está debajo de esta estarían fijo en la región del 5 (por lo que podemos marcarlas ya) y a las otras tres podríamos ponerles un pequeñito 5 para recodar que pueden estar ahí. De esta forma, arriba a la izquierda, quedan encerradas tres casillas, una de ellas con el número 3, luego ya tenemos esa región.

Sigamos. Si ahora nos fijamos en la parte de abajo, a la zona de abajo a la derecha, bajo la diagonal de unos, solo llegaría la región del 5, luego marcamos las cinco casillas con el número 5. Hacia la izquierda marcaríamos la región del 6 y encima de esta la del 7. Y encima de la diagonal de unos tenemos clara la región del 3. Y seguimos hasta conseguir el resultado, que vemos a continuación.

Y como siempre, os dejo un juego para que os divirtáis, aunque hay varias páginas web o apps que os pueden proporcionar ejemplos.

El rompecabezas heyawake

Y terminamos la entrada con otro juego de ingenio de la editorial Nikoli, el heyawake (el significado de esta palabra japonesa es “dividir una habitación”), creado por Hiroyuki Fukushima y publicado por vez primera en el número #39 (1992) de la revista Puzzle Communication Nikoli.

El heyawake consiste en una retícula cuadrada, o rectangular, dividida en zonas rectangulares (llamadas “habitaciones”), formada por casillas blancas, pero algunas con número. El jugador debe pintar de negro (o tachar) algunas casillas de forma que se verifiquen las siguientes reglas:

A.- cada habitación tendrá tantas casillas negras como indique el número de la habitación (los números suelen estar en la casilla de arriba a la izquierda de la habitación), aunque si no hay ningún número podrá ser cualquier cantidad de casillas negras;

B.- las casillas negras no pueden ser adyacentes (compartir un lado), ni horizontal, ni verticalmente;

C.- una línea recta de casillas no puede tener casillas de más de dos habitaciones;

D.- todas las casillas blancas tienen que estar conectadas, es decir, se puede trazar un camino de casillas blancas adyacentes entre cualesquiera dos casillas blancas.

Para entender bien las reglas, vamos a ver cómo se resolvería un sencillo ejemplo como el anterior. Primero hay que intentar localizar las habitaciones, normalmente las que tienen pocas casillas, donde sea fácil determinar que casillas serán las negras. Por ejemplo, en este heyawake la habitación de tres casillas de arriba a la izquierda está marcada por un 2, como las casillas negras no son adyacentes (regla B), entonces las dos casillas negras serán las de los extremos. Y de paso las casillas adyacentes a estas no pueden ser negras (en la siguiente imagen hemos pintado las casillas que no pueden ser negras, y que serán definitivamente blancas, de verde, para distinguirlas; en general, es bueno marcar de alguna forma las casillas que confirmamos que son blancas), luego en la habitación de al lado, de tres casillas, como mucho hay una negra, la del centro. Luego está la habitación con un 0, que no tiene cuadrados negros, o las habitaciones con una única casilla que tienen número, si es un 1 la casilla es negra y si es un 0 es blanca.

Además, para que la casilla blanca, que está entre dos negras, de la habitación de arriba a la izquierda, no se quede aislada (regla D), la casilla adyacente también tendrá que ser blanca.

Ahora, si hacemos uso de la regla C, es decir, una línea recta de casillas no puede tener casillas de más de dos habitaciones, podemos establecer la posición de alguna casilla negra más. Por ejemplo, las dos casillas adyacentes blancas (verdes en la imagen de arriba para recordar que son blancas definitivamente) forman una línea recta que ya está en dos habitaciones, luego la casilla adyacente (horizontalmente) será necesariamente negra. Lo mismo para la línea recta de tres casillas blancas de la columna de la derecha, que como ya están en dos habitaciones, la siguiente casilla hacia arriba será negra. Como esa casilla negra pertenece a una habitación marcada con un 1, las demás casillas serán blancas (en la siguiente imagen están pintadas de verde para recordar que ya está probado que son blancas).

En las habitaciones cuadradas 2 x 2 marcadas por un 2, las dos casillas negras serán las dos casillas de una de sus diagonales. En el caso de la habitación que está en el centro una de las diagonales no puede ser ya que entonces habría dos casillas negras adyacentes. Para el otro cuadrado, como en la segunda columna por la derecha tenemos una línea de casillas blancas (verdes en la siguiente imagen) que ya están en dos habitaciones, entonces la casilla adyacente hacia arriba será negra y ya tenemos cual es la diagonal de casillas negras en esa habitación. Además, todas las casillas adyacentes a las casillas negras serán necesariamente blancas (verdes en la siguiente imagen).

Y así continuamos, teniendo en cuenta que las casillas blancas deben de estar conectadas (regla D), luego no puede haber ninguna (o ningunas) que queden aisladas. Por ejemplo, la casilla “verde” con un 2 de la primera fila se quedaría aislada si la casilla adyacente fuese negra, luego esto no puede ocurrir, luego será una casilla blanca. Además, la siguiente casilla será negra ya que en caso contrario tendríamos una línea de casillas blancas en tres habitaciones (regla C). Y así hasta obtener la solución definitiva.

Y vamos a dejar uno para que os divirtáis, de tamaño 20 x 13 y dificultad media, que he tomado de la página Rätsel und puzzles (acertijos y rompecabezas), de Angela y Otto Janko.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica