En la anterior entrada de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica titulada Los triángulos isoareales del artista concreto Max Bill se analizaba una serie de obras de arte del diseñador, artista polifacético y educador suizo Max Bill (1908-1994), figura central de arte concreto, haciendo uso únicamente de la sencilla fórmula del área de un triángulo “base por altura, dividido por dos”.
Lo curioso es que el mundo está lleno de azarosas coincidencias. Mientras preparaba el material para escribir esa entrada, tuve que escribir el guion para mi colaboración quincenal en el programa de radio La mecánica del caracol (Radio Euskadi), que dirige Eva Caballero, en la que íbamos a hablar sobre una novedad editorial, el libro Triángulo amoroso, la magia de la trigonometría que transformará tu vida (Urano, 2025), del divulgador, youtuber, escritor y matemático australiano Matt Parker.
En el capítulo 3 del libro se incluyen “seis de las leyes sobre triángulos” que más le gustan a Matt Parker, entre las cuales está la fórmula del área del triángulo, que el matemático relaciona con el problema de cómo cortar los sándwiches (cuadrados) en tres partes iguales, y que yo he utilizado en la anterior entrada para analizar algunas obras de Max Bill.
Cómo cortar un sándwich (cuadrado) en partes iguales
Sin entrar en debates sobre el concepto de sándwich, podemos decir que un sándwich clásico es una comida formada por dos (o más) rebanadas de pan de molde, entre las cuales se coloca una serie de alimentos. El relleno del sándwich admite una enorme variedad de ingredientes, como embutido, queso, carne, huevo o verduras, acompañados de alguna salsa, como mayonesa, mostaza, alioli, pesto o matequilla, aunque también admite versiones dulces, como las realizadas con mermelada, dulce de leche, crema de avellanas, chocolate o crema de cacahuete. El clásico sándwich mixto está formado, de base, por jamón cocido y queso en lonchas, y tostado con mantequilla.
El nombre de “sándwich” se deriva del aristócrata inglés John Montagu, IV conde de Sandwich (1718-1792), denominación que proviene del nombre de una ciudad inglesa del condado de Kent. En el libro de viajes Londres (1770), del francés Pierre-Jean Grosley (1718-1785), que sería traducido al inglés en 1772 con el título A Tour to London; Or New Observations on England and its Inhabitants, by M. Grosley (Un viaje a Londres; o nuevas observaciones sobre Inglaterra y sus habitantes, por M. Grosley), puede leerse el siguiente pasaje sobre el origen de este alimento, o al menos de su nombre.
Un ministro del Estado pasó veinticuatro horas en una mesa de juego pública, tan absorto en el juego que, durante todo ese tiempo, no se alimentó más que de un trozo de carne entre dos rebanadas de pan tostado, que comió sin abandonar en ningún momento el juego. Este nuevo plato se puso muy de moda durante mi estancia en Londres: se le dio el nombre del ministro que lo inventó.
Un sándwich se puede servir, y comer, entero o partido en varios trozos, normalmente en dos o cuatro trozos, como es habitual presentarlo en fiestas y reuniones sociales. Por lo tanto, nos podemos plantear cómo cortar el sándwich en una cierta cantidad de trozos iguales (en el sentido de que tienen la misma superficie). En esta entrada vamos a simplificar la cuestión considerando que el sándwich es cuadrado, más aún, nos interesa la cuestión para sándwiches con corteza, es decir, a los que no se les ha quitado la parte exterior (luego los diferentes trozos tienen también la misma cantidad de borde).
Problema: ¿Cómo cortar un sándwich (cuadrado) en una cierta cantidad de trozos iguales (i.e. la misma superficie y la misma cantidad de corteza)?
Un clásico, dividir en dos partes iguales
Dividir un sándwich cuadrado en dos partes iguales es bastante sencillo. Las dos formas clásicas de hacerlo es mediante un corte por una de las diagonales del cuadrado o un corte paralelo a uno de los lados del sándwich que pase por el centro, como se muestra en el siguiente dibujo.
En cada uno de estos dos cortes clásicos, que pueden encontrarse en cualquier evento social, los dos trozos de sándwich son iguales, en tamaño, que es lo que nos interesa, pero también en forma. Es decir, tienen la misma cantidad de borde y la misma superficie, en concreto, la mitad de la superficie del sándwich (cuadrado) entero.
No tenía intención de mencionar nada más en este caso, ya que parece sencillo, hasta que he encontrado, mientras buscaba imágenes de sándwiches en internet, que un youtuber dijo lo siguiente:
Ningún experto en geometría va a cambiar mi opinión: si cortas un sándwich diagonalmente tienes más cantidad de sándwich.
Más aún, sorprendentemente este comentario generó cierto debate en las redes sociales. Una profesora de matemáticas, utilizando la fórmula del área de un rectángulo y un triángulo, calculó el área de ambos trozos, triangular y rectangular, obteniendo que obviamente era la misma.
Aunque la cuestión es simplemente de sentido común. Miremos a la imagen de arriba, con ambos cortes. En el lado izquierdo tenemos el sándwich cuadrado dividido por la diagonal y dando lugar a dos trozos triangulares iguales, luego su tamaño es la mitad del sandwich; mientras que en el lado derecho tenemos el corte paralelo a uno de los lados, pasando por el centro, que da lugar a dos trozos rectangulares iguales, luego su tamaño también es la mitad del sándwich. En conclusión, todos los trozos, triangulares y rectangulares, son iguales (la mitad del sándwich). No hay mucho más que decir. Por aportar un poco más, os dejo la siguiente imagen como demostración (extra) sin palabras.
Nos podríamos cuestionar el motivo por el cual normalmente se utiliza más el corte diagonal, generando trozos triangulares. Diferentes personas del mundo de la cocina han opinado sobre esta cuestión relacionándola con la rigidez del pan de la rebanada y otros temas, sobre los que yo no voy a opinar. Por mi parte, simplemente comentar que, más allá de una cuestión estética que podría tener relevancia (nuestra preferencia de la forma triangular sobre la rectangular), una de los motivos por los que cortar por la diagonal –obteniendo así los trozos triangulares- es que ese corte es más fácil de realizar, puesto que los dos vértices opuestos nos dan una referencia para el corte, mientras que al realizar el corte paralelo a un lado que pase por el centro, tenemos que calcular a ojo la posición del centro, luego por donde cortar.
Siguiendo con los cortes que pasan por el centro, cualquier corte de este tipo da lugar a dos trozos iguales, en tamaño y forma, como se muestra en la siguiente imagen. Aunque en este caso general la forma de los trozos de sándwich es de trapecios rectángulos.
Más aún, podríamos cortar el sándwich en dos trozos iguales de muchas más formas, otra cosa distinta es que sean fáciles de realizar.
Clásico aún, dividir en cuatro partes iguales
El problema de cortar un sándwich en cuatro partes iguales, es decir, con la misma superficie y la misma cantidad de corteza, sigue teniendo dos soluciones clásicas, que son cortar por las dos diagonales, generando así cuatro trozos triangulares, o cortar por dos líneas paralelas a los lados que pasen por el centro, dando lugar así a cuatro trozos cuadrados.
No hace falta que lo diga, pero por si acaso, los cuatro trozos triangulares y los cuatro trozos cuadrados tienen el mismo tamaño, la cuarta parte de la superficie total (de hecho, volumen) del sándwich, así como la misma cantidad de corteza, la cuarta parte del borde total del sándwich.
Siguiendo con el argumento anterior de los cortes para dividir el sándwich en dos trozos iguales, se podrían generar cuatro trozos iguales, en forma y tamaño, con dos cortes perpendiculares que pasen por el centro, como en la siguiente imagen, un poco más imaginativos, pero también un poco más difícil de hacer bien.
Como tenemos estas formas de dividir el sándwich en cuatro trozos iguales, no vamos a seguir con este caso y vamos a ir directamente a la cuestión que menciona el matemático Matt Parker en su libro Triángulo amoroso, dividir en tres partes con la misma superficie y corteza.
Cortar un sándwich en tres partes iguales
El matemático australiano menciona como una persona que trabajaba en un food truck, es decir, una furgoneta o camioneta de comida, preparando sándwiches tostados, le planteó el problema de cortar un sándwich en tres partes.
Si nos planteamos esta cuestión se nos puede ocurrir rápidamente cortarlo en tres trozos rectangulares, con dos cortes paralelos, como se muestra en la siguiente imagen.
Esta es una forma de cortar el sándwich en tres trozos con la misma cantidad cada trozo (la misma superficie del cuadrado), pero dos de los trozos tienen mucho borde, mientras que otro casi no tiene borde. Si estamos con pan de molde sin corteza, entonces no hay problema, nos valdría esta forma. Pero para rebanadas de pan con corteza, que es lo que estamos planteando, hay que buscar otra forma de cortar el cuadrado de manera que la cantidad de superficie y de borde sea la misma.
Veamos cuál es la solución que plantea Matt Parker, que, por otro lado, es la más lógica, como explicaremos a continuación. Como la cantidad de borde de los tres trozos tiene que ser la misma, vamos a dividir los lados del cuadrado en tres partes iguales cada uno, como en la siguiente imagen.
En consecuencia, como el borde del cuadrado (sándwich) está dividido en 3 x 4 = 12 partes iguales, cada uno de los tres trozos del cuadrado debe tener cuatro de esas partes (los puntos rojos y naranjas). Por lo tanto, dividiremos el borde en tres trozos de cuatro partes cada uno, como se muestra en la siguiente imagen.
Esa división nos indica cómo cortar el cuadrado en tres partes, para que tenga la misma cantidad de borde cada una de ellas, mediante un corte que va del centro del sándwich a cada uno de los puntos que son frontera entre las tres zonas de los bordes, como se observa en esta imagen.
Obsérvese que esas tres partes tienen la misma cantidad de borde, pero no tienen la misma forma, por lo tanto, tenemos que realizar un argumento un poco más elaborado, que el utilizado en los cortes anteriores, para demostrar que los tres trozos tienen la misma superficie.
Los tres trozos (del sándwich) tienen la misma superficie
Para demostrar que los tres trozos en los que se ha dividido el cuadrado (sándwich) tienen la misma superficie (teniendo distinta forma), vamos a utilizar la fórmula del área de un triángulo, “base por altura, dividido por dos”.
En primer lugar, dividimos los tres trozos del cuadrado (verde, azul, naranja) en triángulos, como se muestra en la siguiente imagen, de manera que cada trozo está formado por cuatro triángulos.
Esencialmente hay dos triángulos distintos, los cuatro isósceles (dos lados iguales y uno diferente) y los ocho escalenos (uno de los ángulos del triángulo tiene más de 90 grados). Como se muestra en la siguiente imagen, con un triángulo isósceles y otro escaleno azules, la base de todos los triángulos es la misma (b) y también la altura (h), luego el área de todos ellos también es la misma.
Como cada uno de los tres trozos del cuadrado está formado por cuatro triángulos, todos de la misma superficie, los trozos también tienen la misma superficie. Con lo que hemos demostrado que estos cortes son buenos.
El apartado del libro Triángulo amoroso, de Matt Parker, dedicado a la fórmula del área de un triángulo, en la que se muestra como ejemplo de aplicación la división de un sándwich en tres partes iguales, termina con la siguiente reflexión por parte del autor.
Me preguntaba si mi consejo había tenido alguna repercusión en el mundo del corte de sándwiches. Así que busqué un poco en Google y envié un correo electrónico al puesto de sándwiches gourmet Jabberwocky para ver si la persona me recordaba de la charla entre batidores. No solo se acordaba de mí, sino que respondió con una foto que le tomó a la servilleta original y luego me dijo que desde entonces cortan sus sándwiches divididos en tres con el método Parker.
Un problema para jugar en casa
Os dejo como problema para las personas que estáis leyendo esta entrada, que busquéis la manera de dividir un cuadrado (sándwich) en cinco partes iguales, es decir, que los cinco trozos tengan la misma superficie y cantidad de borde.
Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica
