Las emocionantes aventuras del número tres (I)

Matemoción

Hace pocos días que hemos entrado en el verano, las clases ya han finalizado y los exámenes –salvo la convocatoria extraordinaria– también, incluidos los exámenes de selectividad con sus continuas polémicas. Esto quiere decir que algunas personas ya están de vacaciones y es tiempo de lecturas tranquilas y sugerentes. Por este motivo, voy a dedicar una serie de entradas del Cuaderno de Cultura Científica a hablar de algunas cuestiones matemáticas y culturales del número tres, como ya hice en relación a los números siete y nueve en el verano de 2016 (en las entradas El número siete, un número muy popular y El número nueve en una noche de verano).

Polygon #3 Triangle (1975), del artista estadounidense Robert Indiana. Imagen de la página Invaluable

El número tres es uno de los primeros números naturales, después del uno y el dos (si consideramos que el cero no es natural, ya que no surgió del acto de contar, aunque no vamos a entrar aquí en esta pequeña polémica matemática).

Para los pitagóricos los números tenían un significado místico, incluso, como escribió el matemático y filósofo griego Filolao (aprox. 470-380 a.n.e.) para ellos “todo lo cognoscible tiene un número, pues no es posible que sin número nada pueda ser concebido ni conocido”. Por eso, no es de extrañar que cada uno de los números tuviese un significado especial. Para los pitagóricos, el número tres, la tríada, nace como la suma de la unidad y la pareja, 1 + 2 = 3, es decir, combina la mónada con la díada. Es símbolo de armonía universal, puesto que combina la unidad con la diversidad. Además, es un número sagrado, en el sentido de que es el primero que tiene principio, medio y fin.

Por otra parte, para la escuela de Pitágoras el número tres era el símbolo del principio masculino –por extensión, los números impares–, mientras que el número dos era el símbolo del principio femenino –y, por extensión, los números pares–, y juntos formaban el símbolo del matrimonio, 2 + 3 = 5.

Para el filósofo neoplatónico griego Proclo (412-485) es un número especial ya que es el primero en el que se incrementa más por multiplicación que por suma. Mientras que para los números uno y dos ocurre que 1 + 1 es mayor que 1 x 1 y 2 + 2 es igual a 2 x 2, el número tres es el primero para el cual 3 + 3 es menor que 3 x 3.

Caricatura de Pitágoras, realizada por el dibujante Gerardo Basabe, para la exposición El Rostro Humano de las Matemáticas

Aunque nos parezca un número muy pequeño existieron “pueblos primitivos” que solamente contaban “uno, dos, muchos” (como vimos en la entrada Uno, dos, muchos) y no tenían nombre para este número, como el pueblo de los Puri de Brasil, para los cuales “uno” y “dos” eran “omi” y “curiri”, pero a partir del dos cualquier cantidad les parecía grande, y utilizaban la expresión “prica”, que significaba “muchos”. Por lo que no es de extrañar que para algunos pueblos el “tres” se relacionara con “muchos” y quedase conectado al plural. Uno de los ejemplos que cita el historiador de las matemáticas alemán Karl Menninger (1898-1963), en su libro Number Words and Symbols, es el de los jeroglíficos egipcios. Así los pictogramas egipcios para “cientos” y “miles” consistían en repetir tres veces los ideogramas para “cien” (que es una cuerda enroscada o espiral) y “mil” (que es una flor de loto). En general, se utilizaba la repetición tres veces para pluralizar. Así, el pictograma de “agua” eran tres (muchas) olas, el de “pelo” eran tres (muchos) pelos individuales, el de “inundación” como un cielo con tres (muchas) jarras de agua o “llorar” un ojo con tres (muchas) lágrimas.

Pictogramas egipcios para expresar los conceptos de “cientos”, tres copias del pictograma de “cien” que es la cuerda enroscada, y de “miles”, tres copias del pictograma de “mil” que es la flor de loto
Pictogramas egipcios para expresar los conceptos de “agua”, tres olas, “pelo”, tres pelos individuales, “inundación”, un cielo con tres jarras de agua, o “llorar”, un ojo con tres lágrimas

Lo mismo ocurre para los pictogramas chinos que utilizan la repetición tres veces para indicar plural. Por ejemplo, el pictograma para “bosque” es tres veces el pictograma para árbol, el pictograma para “pelo” son tres copias del pictograma para pelo individual o para “todos” se utilizan tres copias del pictograma para “hombre”.

Pictogramas chinos para “bosque”, tres veces el pictograma para árbol, “pelo”, tres copias del pictograma para pelo individual, o “todos”, tres copias del pictograma para “hombre”

De hecho, algunos investigadores relacionan la palabra para tres en algunos idiomas con esta idea de “uno, dos, muchos”. La palabra francesa para tres es “trois” que está muy próxima al adverbio “très” (muy o mucho) y el prefijo latino “trans” (más allá). Efectivamente, la palabra del latín “tres/trēs” (para designar al número), de la que deriva también “tres” en castellano, tiene la misma raíz que el prefijo “trans”. En inglés las palabras “three” (tres), “throng” (multitud, abundancia, tropel) o “through” (más allá, a través) parecen tener el mismo origen. Además, la palabra inglesa “thrice” tiene tanto el significado de “tres veces”, como de “muchos”.

Veamos el nombre que recibe este número para diferentes idiomas, aunque aprovecharemos para conocer los nombres de los otros números, del 1 al 9. Como acabamos de mencionar, en latín es “tres”:

[unus, duo, tres, quattuor, quinque, sex, septem, octo, novem],

en castellano “tres”, en francés “trois”:

[un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf]

y en inglés “three”:

[one, two, three, four, five, six, seven, eight, nine].

Sigamos con otras numeraciones de origen indoeuropeo, en italiano es “tre”:

[uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove],

en rumano “trei”:

[uno, doi, trei, patru, cinci, shase, shapte, opt, noue],

en griego “treis”:

[hein, duo, treis, tettares, pente, hex, hepta, okto, ennea],

en alemán “drei”:

[ein, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun],

en irlandés “tri”:

[oin, da, tri, cethir, coic, se, secht, ocht, noi],

en ruso “tri”:

[odin, dva, tri, cetyre, piat, chest, sem, vosem, deviat]

o en polaco “trzy”:

[jeden, dwa, trzy, cztery, piec, szesc, siedem, asiem, dziewiec].

Por otra parte, la palabra para el número tres en sánscrito es “trayas”:

[eka, dvau, trayas, catvaras, panca, sat, sapta, asta, nava],

en japonés “san”:

[ichi, ni, san, yon, go, roku, nana, hachi, kyu],

o en chino cantonés “saam”:

[yat, yih, saam, sei, ngh, luhk, chat, baat, gau].

El vocablo para el número tres “saam” suena igual que el vocablo “saang” que significa “vivir” o “vida”, motivo por el cual se considera un número favorable, un número de buena suerte. Por el contrario, el vocablo “sei” suena igual que la palabra “sèi” que significa “muerte”, por lo que el número cuatro se considera un número nefasto.

Terminemos esta parte sobre los nombres del número tres con el vocablo utilizado en euskera “hiru” o “hirur”:

[bat, bi, hiru, lau, bost, sei, zazpi, zortzi, bederatzi].

En el artículo Reconstruction of the Ancient Numeral System in Basque Language (Reconstrucción del sistema de numeración de la lengua vasca) de Fernando Gómez-Acedo y Eneko Gómez-Acedo, se reconstruyen los nombres de los primeros números que existieron en euskera. Me parece muy interesante que esta reconstrucción esté relacionada con contar con los dedos de las manos (véanse las entradas Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? (1) y Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? (2)), ya que una de las primeras formas de representar los números fue a través de nuestros dedos.

En diferentes partes del mundo se cuentan los números con los dedos de las manos de diferentes maneras, en particular, también el número tres. Hay lugares en los que se levantan tres dedos de la mano cerrada, donde se señala el tercer dedo de la mano abierta, donde se bajan tres dedos de la mano extendida o donde se cuentan tres falanges o articulaciones de los dedos

Veamos la explicación de los vocablos en euskera para los primeros números.

UNO = BAT. El origen sería “bada-eri” que significa “hay un dedo”, ya que “bada” sería la unión de “bai” (sí) y “da” (esta, hay), al que le se une “eri” (dedo). Este antiguo vocablo del euskera para designar al número uno evolucionaría de la siguiente forma: bada-eri / badei / bade / bat.

DOS = BI. El vocablo en proto-euskera para este número sería “berr-eri” que significa “otro dedo” (junto al anterior), ya que la raíz “berr” significa “otro” o “nuevo”, junto a “eri”. La evolución podría haber sido: berreri / berrei / berri / birri / biri / bi.

TRES = HIRU. Los vocablos hiru o hirur vendrían de “berr-eri-ahur” que, como “ahur” es “palma de la mano”, literalmente significa “dos dedos (en la) palma de la mano”. Y la evolución: berr-eri-ahur / birihur / irihur / hirur / hiru.

CUATRO = LAU. El vocablo del proto-euskera sería “eri-ahur”, que significa “un dedo (en la) palma de la mano”, que evolucionaría: elahur / laur / lau.

CINCO = BOST. El término antiguo para cinco sería “be-oro-atz”, que une la raíz “be” relacionada con observar, mirar, “oro”, que significa “todo” y “atz” entendida como “mano”, es decir, “mira toda la mano”. Cuya evolución sería: be-oro-atz / borotz / bortz / bost.

Portada del libro infantil Sócrates y los tres cochinitos, Tuyosi Mori, Mitsumasa Anno, Fondo de Cultura Económica, 1985, que es una versión matemática del cuento de los tres cerditos, en la que se introduce en concepto del análisis combinatorio

Por otra parte, el número tres se ha representado de formas muy distintas a lo largo de la historia. Una de las formas más antigua de representarlo era mediante tres palotes verticales (III), como hicieron los arameos, los cretenses, los etruscos, los egipcios, los fenicios o los romanos; los sumerios utilizaron tres bastoncillos de arcilla, que luego empezaron a imprimir en arcilla húmeda dando lugar a tres palotes verticales sobre arcilla; tres espigas (que son casi como tres palotes verticales) utilizaban los babilonios; los chinos utilizaron tres palotes verticales y horizontales, en función de si el número 3 estaba en una posición par o impar al representar un número (es decir, no es lo mismo el 3 en 13, que en 35); por su parte, los japoneses utilizan tres palotes horizontales; o tres puntos utilizaron los mayas. Aunque la forma de representar los números iba variando con el tiempo, por ejemplo, los griegos en diferentes etapas utilizaron tres puntos, tres palotes verticales o la letra gamma (cuando el alfabeto se utilizó también para representar los números).

Como se explica en el magnífico libro Historia universal de las cifras, de Georges Ifrah, o de forma más breve en Los secretos de la multiplicación, las cifras básicas de nuestro sistema de numeración moderno, también llamado indo-arábigo, tienen su origen en las cifras brahmi de la antigua India (registradas por primera vez en el siglo III a.n.e.), que eran tres palotes horizontales, que evolucionaron en el tiempo –durante siglos– y en el espacio –viajando de la India a Europa a través de los países árabes– a través de diferentes grafías, que podemos ver de forma esquemática en la siguiente imagen del libro Historia universal de las cifras.

Origen y evolución de la cifra 3 del sistema de numeración indo-arábigo

Los Mayas tenían un sistema de numeración posicional en base 20 cuyas cifras básicas estaban representadas por puntos y líneas horizontales de forma acumulativa, mientras que el cero era el dibujo de una concha. Sin embargo, también tenían una forma de representar las 19 cifras básicas no nulas, de 1 a 19, mediante dibujos de cabezas, donde cada cabeza estaba asociada con una divinidad, por ejemplo, el 5 estaba representado con la cabeza del dios del maíz o el 10 con el dios de la muerte.

Variaciones de las representaciones cefalomórficas maya de los números del 1 al 7, extraídas del libro An Introduction to the Study of the Maya Hieroglyphs, del arqueólogo estadounidense Sylvanus Morley (1883-1948)

Por su parte, los Incas, como se explica en la entrada Quipu y yupana, instrumentos matemáticos incas (I), representaban los números en sus quipus como nudos sobre una cuerda. Así el número tres es un nudo triple, como aparece en la siguiente imagen.

Ejemplos de un nudo simple, que representa el número uno, y un nudo largo triple, que representa al número tres, en los quipus incas

El número tres es un número primo. Recordemos que los números primos son aquellos que solo son divisibles por el uno y por ellos mismos, como el 7 o el 11, mientras que números como 4 o 6 no son primos ya que son divisibles por otros números (más sobre números primos en la entrada Buscando lagunas de números no primos). Más aún, es el primer número primo impar, que va después del dos, que es el único primo par que existe. Es uno de los miembros de la primera pareja que existe de números primos gemelos, que son aquellas parejas de números primos que están muy cerca, con solo un número par entre ellos, como (3, 5), (5, 7) o (11, 13) (véase la entrada Números primos gemelos, parientes y sexis). Más aún, el número tres forma parte de la única terna (3, 5, 7) de “números primos gemelos”, es decir, tres números primos de la forma (p, p + 2, p + 4), que no existen ya que, si se toman tres números impares consecutivos, uno de ellos necesariamente es múltiplo de 3.

Además, pertenece a algunas familias especiales de números naturales (véase el libro La gran familia de los números). En particular, de los números primos también. Es el primer número primo de Mersenne, ya que se puede escribir de la forma 2p – 1, para p un número primo, en concreto para p = 2; el primer número primo de Fermat, ya que se puede escribir como 2m + 1, con m = 2n, siendo n = 0; el segundo primo factorial, ya que se puede escribir como n! + 1, para n = 2 (donde el signo de exclamación “!” nos denota la operación factorial, es decir, la multiplicación desde el 1 hasta el número indicado, así 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720); y es el segundo número primo de Sophie Germain, que son aquellos números primos p, tales que 2p + 1 es también un número primo, ya que 7 también es primo.

Números primos (2019), del artista barcelonés Ramón Suau, perteneciente a la serie Cuadros no vendidos. Imagen de la página web del artista, Ramón Suau

El número 3 es un número capicúa para cualquier base del sistema de numeración posicional, distinta de la base 3, ya que en esta se escribe (10)3. Para el sistema binario el número 3 se representa como (11)2, y para los demás sistemas, distintos de 2 y 3, solo posee un dígito y es trivialmente capicúa.

Por otra parte, el número tres es el cuarto número de la conocida sucesión de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc., en la que cada término es igual a la suma de los dos anteriores; o el tercer término de la sucesión de Lucas, relacionada con la anterior, ya que posee la misma propiedad definitoria, pero se inicia con los términos 2 y 1, así: 2, 1, 3, 4, 7, 11, etc.

El número tres es el primer número triangular no nulo. Recordemos que un número poligonal es la cantidad de puntos, o piedras, que se necesitan para representar una figura poligonal regular, como un triángulo equilátero (números triangulares), un cua­drado (números cuadrados), un pentágono (pentagonales), un hexágono (hexagonales) o cualquier otro polígono regular (más sobre estos interesantes números en el libro La gran familia de los números). Los primeros números triangulares son 1, 3, 6, 10 y 15, ya que esta es la cantidad de puntos que se necesitan para formar un triángulo.

Primeros números triangulares

El príncipe de los matemáticos, Carl F. Gauss (1777-1855), anotó en su diario el 10 de julio de 1796 que todo número natural puede ser expresado como suma de tres, o menos, números triangulares, el conocido como teorema eureka, con la escueta expresión:

EYRHKA num = Δ + Δ + Δ.

Por ejemplo, 25 = 1 + 3 + 21 = 10 + 15.

Y no podíamos dejar de hablar de la constante matemática más famosa, el número pi (véase ¿Es normal el número pi?), ya que el número natural más próximo a ella es nuestro número tres, aunque es una aproximación un poco burda, que ya nos encontramos en la Biblia. Recordemos qué es el número pi. Dado un círculo cualquiera, pi es la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. En el Antiguo Testamento, exactamente en el Libro Primero de los Reyes (7:23), al narrarse la construcción del Palacio Salomón, dice lo siguiente:

Hizo el mar de metal fundido [al parecer esto debe de ser un gran depósito cilíndrico de agua] que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo, y de cinco codos de altura; un cordón de treinta codos medía su contorno…”.

Es decir, la razón entre la longitud de la circunferencia del cilindro (30 codos) y el diámetro (diez codos), sería pi, es decir, lo aproximan con el valor de 3.

Cartel del proyecto Marzo, mes de las matemáticas, diseñado por Carla Garrido, basado en el número pi

Geométricamente, tres puntos que no estén alineados determinan un plano en el espacio, así mismo determinan una circunferencia en el plano.

Construcción con regla y compás de la circunferencia que pasa por tres puntos dados. Imagen de Dnu72 para Wikimedia Commons

Si pensamos en una figura geométrica relacionada con el número tres, seguro que todos pensamos en el triángulo. Estos son poliedros con tres lados y tres vértices. La geometría del triángulo encierra hermosos teoremas más allá del teorema de Pitágoras, como el teorema de Napoleón (véase la entrada Variaciones artísticas del teorema de Napoleón), el teorema de la mariposa o el teorema de Morley, de los que espero hablar en alguna futura entrada.

Teorema de Morley: Los tres puntos de intersección de las trisectrices adyacentes de los ángulos de un triángulo cualquiera forman un triángulo equilátero.

Ilustración del teorema de Morley. Imagen de Dbenbenn para Wikimedia Commons

En la actualidad se conocen tres formas distintas de expresar el número tres como suma de tres cubos. Dos de las soluciones de la ecuación

x3 + y3 + z3 = 3,

ya eran conocidas desde que se planteó este problema (véase la entrada 42, la respuesta definitiva a la vida, el universo y todo lo demás), que son (1, 1, 1) y (4, 4, -5), ya que

13 + 13 + 13 = (– 5)3 + 43 + 43 = 3.

En 2019, los matemáticos Andrew Booker y Andrew Sutherland utilizaron la aplicación Charity Engine, que conecta más de 500.000 ordenadores personales de todo el planeta, creando una red planetaria de ordenadores, para obtener una nueva solución a este problema:

Llega a su fin esta primera entrada sobre las emocionantes aventuras del número tres, pero continuaremos en siguientes entradas con más interesantes aventuras como la regla del tres en matemáticas, la presencia de este número en la religión y la mitología, o la importancia del tres en la literatura.

No. 3, Retrato del número tres (2012), de la artista Kim Frohsin. Imagen de la página web de la artista Kim Frohsin

Bibliografía

1.- Karl Menninger, Number words and number symbols, Dover, 1969.

2.- Pedro Miguel González Urbaneja, Pitágoras, el filósofo del número, Nivola, 2001.

3.- Raúl Ibáñez, Los secretos de la multiplicación, Colección Miradas Matemáticas, Catarata, 2019.

4.- Georges Ifrah, Historia universal de las cifras, Ensayo y pensamiento, Espasa, 2002 (quinta edición).

5.- Raúl Ibáñez, La gran familia de los números, Colección Miradas Matemáticas, Catarata, 2021.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

6 comentarios

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *