La construcción de Durero de un pentágono regular (o no)
Preparando la entrada del Cuaderno de Cultura Científica titulada Las proporciones de la vesica piscis estuve leyendo sobre algunas construcciones de polígonos regulares relacionadas con la vesica piscis. Una de esas construcciones llamó mi atención, la realizada por el artista renacentista alemán Alberto Durero (1471-1528), que es a la que quiero dedicar esta entrada.
Regreso a la vesica piscis
Recordemos que la vesica piscis es una figura geométrica que se construye como intersección de dos círculos del mismo radio tales que el centro de cada uno de ellos está en la circunferencia del otro, como se muestra en la siguiente imagen.
En la entrada Las proporciones de la vesica piscis vimos que se podían asociar algunas proporciones irracionales, como las raíces cuadradas de 2, 3 o 5, a la vesica piscis, así como la razón áurea. En la siguiente imagen mostramos los segmentos de longitudes la raíz cuadrada de 2, 3 o 5, si la distancia entre los centros de las circunferencias es la unidad (1).
En la mencionada entrada también podéis disfrutar de un par de presencias de la divina proporción en la vesica piscis.
Ahora que estamos fijando nuestra atención en aspectos geométricos de esta figura, podemos pensar en cual es el valor del área de la misma, que no es difícil de calcular. Para ello solo necesitamos tener en cuenta que la vesica piscis se compone de dos triángulos equiláteros iguales (azules en la siguiente imagen) y cuatro segmentos circulares iguales (verdes en la siguiente imagen). Luego el área de la vesica piscis es igual a la suma de las áreas de estas seis regiones geométricas.
Por lo tanto, vamos a calcular el área de dos figuras geométricas implicadas en este problema, el triángulo equilátero y el sector circular (compuesto este de un triángulo equilátero y un segmento circular). Por una parte, el área del triángulo equilátero, como para cualquier otro triángulo, es la mitad de la base por la altura. De nuevo, si la distancia entre los centros de las circunferencias, que es el lado del triángulo equilátero, es la unidad (1), entonces la altura -por el teorema de Pitágoras- es igual a la mitad de la raíz de tres, como se mostró en la anterior entrada. En consecuencia, el área del triángulo equilátero es igual a la cuarta parte de la raíz de tres:
La otra figura es el sector circular, como comentábamos formado por un triángulo equilátero y un segmento circular (en rojo en la siguiente imagen), que es un sector circular de 60 grados, ya que su ángulo es el mismo que el ángulo del triángulo equilátero.
Como seis de esos sectores circulares conforman todo el círculo, que tiene radio 1, luego área igual a (pi), entonces el área del sector circular es la sexta parte de (pi):
Con esta información, solo tenemos que darnos cuenta de que la superficie de la vesica piscis es igual a la superficie de cuatro sectores circulares, así aseguramos que cubrimos los cuatro segmentos circulares, menos la superficie de dos triángulos equiláteros, ya que al contar los cuatro sectores circulares, estamos considerando cuatro triángulos equiláteros y la vesica piscis solo está compuesta por dos. En consecuencia,
El pentágono de Durero
El artista alemán Alberto Durero (Albrecht Dürer en alemán) es uno de los artistas renacentistas más importantes que ha existido, autor de magníficos grabados como el grabado en madera Melancolía I (1514), en el que encontramos un cuadrado mágico de orden 4 y objetos geométricos como un poliedro irregular, una esfera o un compás, como se observa en la siguiente imagen, o Rinoceronte (1515), a partir de una descripción escrita y sin haber visto nunca un rinoceronte, y magníficos óleos, como las pinturas Adán y Eva (1507), varios autorretratos, dos muy conocidos son Autorretrato (1948) y Autotrretrato con traje de piel (1500), o Adoración de la Trinidad (1511).
La construcción del pentágono relacionado con la vesica piscis realizada por Durero aparece en su obra Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt (Los cuatro libros sobre medición. Instrucciones de medición con compás y regla), del año 1525. La siguiente imagen recoge la página del libro en la que aparece la construcción del pentágono.
Veamos la construcción paso a paso. Empezamos por la vesica piscis, generada por dos circunferencias de manera que el centro de cada una de ellas está en la otra circunferencia. El primero de los lados del pentágono es el segmento que une los dos centros, llamados A y B en la siguiente imagen. Y se considera también el segmento que une los puntos de intersección de las circunferencias, C y D en la imagen, que es la mediana del segmento AB, es decir, pasa por su punto medio.
A continuación, se traza la circunferencia de centro uno de los dos puntos de intersección de las dos circunferencias, por ejemplo, el que está abajo, D, y se marcan los puntos de intersección de esta circunferencia con el segmento CD (llamamos E a ese punto), así como con las otras dos circunferencias (llamamos a esos puntos F y G). Entonces, se trazan dos rectas, una que pasa por los puntos E y F, y la otra por los puntos E y G, que dan otros dos puntos especiales, los cortes de esas rectas con las dos circunferencias iniciales, que denotamos P y Q.
Ahora, trazamos otras dos circunferencias, del mismo radio que las anteriores, centradas en los puntos P y Q, que se intersecarán en un nuevo punto R.
Los cinco puntos que conforman el deseado pentágono son A, B, Q, R y P, como vemos en la siguiente imagen.
El matemático estadounidense israelí Alexander Bogomolny, creador de la página web Cut-the-Knot, cuenta en su entrada sobre esta construcción, que esta construcción podría haberse publicado algunos años antes, en el texto Geometrica Deutsch, de Matthäus Roriczer, que fue publicado sobre los años 1487/1488.
Pentágono equilátero
Aunque el polígono construido por Durero parece ser un pentágono regular, no es así. Claramente, como cada uno de los lados del pentágono es el radio de alguna de las circunferencias generadoras, todas ellas del mismo radio, entonces el pentágono es equilátero, es decir, es un polígono tal que todos sus lados miden lo mismo.
Sin embargo, no todos los ángulos de ese pentágono miden lo mismo, por lo tanto, no es un pentágono regular. En concreto, los ángulos interiores de un pentágono regular miden 108 grados, como se muestra en la siguiente imagen.
Aunque los ángulos del pentágono construido por Durero miden lo siguiente. Los ángulos de la base PAB y ABQ, que son iguales, miden poco más de 108 grados (sobre 108,37 grados), los ángulos APR y BQR miden un poco menos de 108 grados, mientras que el ángulo PRQ mide un poco más de 109 grados.
Tengamos en cuenta que los polígonos equiláteros (cuyos lados miden lo mismo) no necesariamente son equiangulares (cuyos lados miden lo mismo), lo cual solo ocurre en el caso de los polígonos regulares. En la siguiente imagen se muestras algunos pentágonos equiláteros, pero no equiangulares (convexos y no convexos, incluso con autointersecciones).
Bibliografía
1.- Agustín Carrillo de Albornoz Torres, Números distinguidos en matemáticas, Miradas Matemáticas, Libros de la Catarata, 2024.
2.- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, MAA, 2011.
3.- Alexander Bogomolny, Approximate Construction of Regular Pentagon by A. Dürer, Cut-the-Knot.
Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica
