Versionando la paradoja del cumpleaños
Recordemos la conocida paradoja del cumpleaños que afirma que, si hay 23 personas reunidas, la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día es mayor del 50 %. Esta afirmación es paradójica porque nuestra intuición podría llevarnos a pensar que entre 23 personas es muy difícil que dos compartan día de cumpleaños.
Presentamos una variante de este problema, propuesta en 1987 por los matemáticos Tony Crilly y Shekhar Nandy; la respuesta es tan sorprendente como la del problema original. Se plantea en los siguientes términos:
Tenemos un grupo de personas formado por el mismo número de mujeres y hombres. ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo del grupo para que una mujer y un hombre compartan la fecha del cumpleaños?
Para explicar la estrategia del razonamiento, los autores del artículo proponen comenzar por el número de meses del año 12, para posteriormente plantear el problema teniendo en cuenta los 365 días que tiene un año.
Un problema intermedio
Tenemos un grupo de n mujeres y n hombres. ¿Cuál es el valor mínimo de n para que una mujer y un hombre cumplan años el mismo mes?
Si construimos una tabla como la anterior (en la que cada número representa un mes y bajo el número de cada mes se escribe M o H cuando una mujer o un hombre del grupo ha nacido en ese mes), comenzaremos por estudiar las posibles combinaciones de símbolos con la propiedad de que ningún mes esté ocupado por ambos (M o H), es decir, el problema opuesto al planteado.
Para calcular la cantidad de tales combinaciones, comenzamos teniendo en cuenta solo a las n mujeres del grupo. Supongamos que sus cumpleaños se distribuyen en k meses diferentes (consideramos, teniendo en cuenta el planteamiento del problema, que 1 ≤ k ≤ n < 12). El número de formas en las que estos k subconjuntos de mujeres pueden ubicarse entre los doce meses es de V(12,k) = 12! / (12 – k)!, es decir, son las variaciones de 12 elementos tomados de k en k, puesto que se trata de contar el número de maneras de asignar las etiquetas 1, 2, 3, …, 11, 12 (correspondientes a los meses del año) a esos k grupos de mujeres.
Por otro lado, la cantidad de maneras de hacer una partición de un conjunto de n elementos en k subconjuntos es el número de Stirling de segunda especie S(n,k).
Por lo tanto, el número de disposiciones de n mujeres cuyos cumpleaños caen exactamente en k meses es el producto V(12,k) S(n,k).
Consideremos ahora a los hombres. Nos interesa que ninguno de ellos comparta el mismo mes de nacimiento con una mujer del grupo, por lo que podemos ubicar a los n hombres en cualquiera de los 12 – k meses no ocupados por alguna mujer.
El número total de combinaciones de mujeres y hombres en los meses del años sin mezcla de sexos (y, con los cumpleaños de las n mujeres ubicados en exactamente k meses), es entonces el producto (12 – k)n V(12,k) S(n,k).
Así, el número total de combinaciones de mujeres y hombres en las que ninguna mujer comparte el mismo mes de nacimiento con un hombre es la siguiente suma:
Como el número total de maneras de distribuir n mujeres y n hombres en 12 meses sin restricciones es (12n)2 = 122n, la probabilidad P(n) de que al menos una mujer y un hombre compartan el mismo mes de nacimiento es:
El valor de P(n) puede calcularse fácilmente (con ayuda quizás de un sencillo programa de ordenador). Recordemos que existen tablas con los valores de los números de Stirling de segunda especie, S(n,k), que se calculan habitualmente gracias a la fórmula recursiva S(n + 1,k) = S(n,k – 1) + k S(n,k), que expresa la relación entre la cantidad de maneras de hacer una partición de un conjunto de n + 1 elementos en k subconjuntos, la cantidad de modos de hacer una partición de un conjunto de n elementos en k – 1 subconjuntos, y la cantidad de maneras de hacer una partición de un conjunto de n elementos en k subconjuntos.
Los autores del artículo proporcionan una tabla con los diez primeros valores de P(n) que crecen rápidamente:
Por lo tanto, para un grupo de 3 mujeres y 3 hombres, existe una probabilidad mayor del 50 % de que el cumpleaños de una mujer y el de un hombre coincidan en el mismo mes.
Resolución del problema
Si se realizan los cálculos análogos para los 365 días del año, la probabilidad de que al menos una de las n mujeres y uno de los n hombres compartan cumpleaños es, evidentemente de:
Los autores del artículo, a través de un cálculo realizado con ayuda de un ordenador, deducen que basta un grupo de 32 personas (16 mujeres y 16 hombres) para que la probabilidad de que un hombre y una mujer compartan cumpleaños sea mayor del 50 %. ¡Bastante sorprendente el resultado!
Referencias
- Happy Returns, Futility Closet, 2 abril 2026
- Tony Crilly and Shekhar Nandy (1987) The birthday problem for boys and girls, Mathematical Gazette 71:455, 19-22
Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia
