Seguramente la mayoría de las personas que estén leyendo esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica ha jugado alguna vez a la lotería primitiva. Incluso yo, pocos años después de que se empezara a jugar en España a esta lotería, a mediados de los años 80, jugué alguna vez con mis amigos.

Lo que yo no sabía cuando empecé a organizar el material para esta entrada es que la lotería primitiva no tuvo su origen en España en la década de los años 1980, como yo pensaba, sino en el siglo XVIII. Como puede leerse en la wikipedia, el marqués de Esquilache (1699-1785), responsable de Hacienda del reinado de Carlos III en esos años, propuso al gobierno la instauración de esta lotería, que por entonces se llamó “lotería por números”, con el objetivo de recaudar más dinero para el Estado, pero sin que fuera un nuevo impuesto. El primer sorteo tuvo lugar el 10 de diciembre de 1763. El nombre “lotería primitiva” vendría más tarde. En 1812 nació un nuevo tipo de lotería, que era el germen de la actual Lotería Nacional, y que consistía en jugar a un número impreso en el boleto con la esperanza de que fuese el que saliese en el sorteo. A esta lotería se la llamó “lotería moderna”, por lo que la anterior, la lotería por números, se acabaría llamando “lotería primitiva”. A esta lotería se jugó hasta el año 1862, y no volvería a jugarse a ella hasta 1985.

Las reglas de la lotería por números son muy sencillas. Este juego de azar consiste en elegir 6 números diferentes entre los números 1 y 49, incluidos estos, es decir, de un total de 49 números. En el correspondiente sorteo se extraen 6 números que conforman la combinación ganadora y aquellos boletos que hayan acertado los 6 números, lo cual como veremos más adelante no es sencillo, obtendrán el premio principal, un premio económicamente muy jugoso. Luego, existen otros premios menores, pero que para el objetivo de esta entrada no son relevantes.

La cuestión que quiero plantear ahora es la percepción que tenemos a la hora de rellenar un boleto de que es poco probable que al menos dos de los números de la combinación ganadora sean consecutivos. En consecuencia, cuando rellenamos nuestro boleto tendemos a no escribir números consecutivos. En la imagen anterior vemos una combinación elegida por alguien en 1985, formada por los números 4 – 9 – 18 – 27 – 40 – 45, en la cual no hay números consecutivos. Por lo tanto, la cuestión matemática que nos planteamos es la siguiente:

Problema A: ¿Cuál es la probabilidad de que en la combinación ganadora de la lotería primitiva haya al menos dos números, de los seis que la conforman, que sean consecutivos?

Desde el punto de vista matemático, uno de los aspectos que me interesa abordar en esta entrada es que la solución a la cuestión anterior puede obtenerse mediante una la técnica, perteneciente al área de las matemáticas conocida como combinatoria, que consiste en contar las soluciones de un determinado tipo de ecuaciones.

Sin embargo, antes de entrar en la explicación de dicha técnica y aplicarla a resolver el problema de la probabilidad de combinaciones ganadoras con al menos dos números consecutivos, vamos a mostrar un sencillo ejemplo, con alguna similitud con el anterior, que nos permite mostrar como en ocasiones la intuición en este tipo de asuntos puede fallarnos.

Problema B: Si en un momento dado nos fijamos en la matrícula del primer coche que pasa a nuestro lado, ¿qué es más probable que tenga los cuatro dígitos distintos, o que no?

La respuesta intuitiva que solemos dar a este problema es que es más probable que tenga los cuatro dígitos distintos. Pero veamos cual es la respuesta correcta. Para empezar debemos plantearnos cuántas numeraciones distintas de matrículas existen, es decir, cuántos números distintos de cuatro dígitos. La respuesta es muy sencilla, entre 0000 y 9999, hay, contando a ambos, 10.000 números.

Por otra parte, de las 10.000 numeraciones posibles de matrículas, 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040 tienen los cuatro dígitos distintos (puesto que podemos elegir 10 posibles cifras -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9- para el primer dígito, 9 para el segundo, 8 para el tercero y 7 para el cuarto).

En consecuencia, la probabilidad de que, si en un momento dado nos fijamos en la matrícula del primer coche que pasa a nuestro lado, esta tenga los cuatro dígitos distintos es

.

Es decir, es más probable –aunque muy poco, prácticamente igual- que el número de una matrícula tenga sus cuatro dígitos distintos, que lo contrario, un 50,4% frente a un 49,6%.

Pero vayamos al tema principal de esta entrada, el problema A y la técnica de contar el número de soluciones de determinado tipo de ecuaciones. Para entender esta técnica de la combinatoria veamos un ejemplo particular.

Problema C: ¿Cuántas soluciones, de números enteros positivos, existen de la ecuación ?

La solución a esta cuestión es hermosa y consiste en sustituir las soluciones numéricas por diagramas de puntos y líneas. No es difícil obtener algunas soluciones particulares de la ecuación , como , o , pero contar cuántas soluciones existen es algo más complicado, para ello vamos a asociar a cada solución un diagrama de puntos y líneas verticales, y entonces contar el número de estos diagramas.

¿Cómo asociar un diagrama a cada solución? Una solución de la ecuación la podemos interpretar como hacer cinco grupos a partir de un conjunto de 14 objetos. En nuestro diagrama vamos a considerar que los objetos son puntos, y utilizaremos las líneas verticales para separar los cinco grupos. Así, a la solución se le asocia el diagrama •|••|••|•••••••|••. Es decir, las líneas verticales separan tantos puntos como el número correspondiente de la solución, dentro del total de 14 puntos, ••••••••••••••. De igual forma, la solución tiene asociado el diagrama ••|•••|••••••|••|• y la solución , el diagrama •|••|•|••|••••••••.

Por lo tanto, el número de soluciones mediante números enteros positivos de la ecuación es igual al número de diagramas de este tipo, es decir, el número de formas de colocar las cuatro líneas verticales en los 13 huecos que separan los puntos. En combinatoria, el número de formas de elegir 4 objetos (en este caso, huecos) de entre un total de 13 objetos (huecos) posibles, es el número combinatorio . Recordemos que el número combinatorio es igual a

,

donde la operación factorial está definida así, .

En nuestro problema, . Es decir, existen 715 soluciones distintas con números enteros positivos de la ecuación .

Este problema se puede generalizar y expresar de la siguiente manera.

Teorema: Dados dos enteros positivos $n > k$, el número de soluciones enteras positivas de la ecuación es igual a .

Pero vayamos con la lotería primitiva y el problema A sobre la probabilidad de que en la combinación ganadora haya al menos dos números, de los seis que la conforman, que sean consecutivos.

Empecemos calculando cuántas combinaciones posibles existen en la lotería de los números, es decir, de cuántas formas distintas se pueden elegir 6 números diferentes entre los números 1 y 49, incluidos estos, es decir, de un total de 49 números. Como acabamos de explicar más arriba este es el número combinatorio . Y si lo calculamos,

,

es decir, existen casi catorce millones de combinaciones diferentes de la lotería primitiva. Una primera consecuencia de este hecho es que la probabilidad de que si rellenamos un boleto de la lotería primitiva (una apuesta sencilla) nos toque el premio principal, porque hemos acertado la combinación ganadora, es

.

[Nota: de hecho existe un premio especial, luego con un premio mayor, que consiste en acertar esos 6 números y además el reintegro, que es un número del 0 al 9, luego cuya probabilidad es más pequeña aún]

A continuación, queremos calcular cuántas de esas combinaciones diferentes tienen, al menos, dos números consecutivos. Aunque podemos también contar el conjunto complementario, es decir, cuántas combinaciones diferentes no tienen dos números consecutivos. Entonces, tenemos que contar el número de 6-tuplas de números positivos tales que

y mayores que 1 (porque no son números consecutivos).

El número de tales séxtuplas es igual al número de séxtuplas tales que toman valores mayores, o iguales, que 2 (esta condición aúna las dos anteriores).

A continuación, vamos a introducir siete nuevos números a partir de los seis anteriores. Definimos , , , , , , , los cuales son números enteros positivos (mayores o iguales que 1) que satisfacen la ecuación

.

E inversamente, cada solución de números enteros positivos de esta ecuación viene de una séxtupla de números positivos, entre 1 y 49, que no son consecutivos.

Y ahora, el teorema anterior nos dice que el número de soluciones de números enteros positivos de la ecuación es igual al número combinatorio .

Por lo tanto, la probabilidad de que en la combinación ganadora de la lotería primitiva no haya dos números consecutivos es igual a

.

Y por otra parte, la probabilidad de que en la combinación ganadora de la lotería primitiva haya al menos dos números consecutivos es igual a . En conclusión, solamente es un poquito más probable que no haya dos números consecutivos en la combinación ganadora de la lotería de los números.

Bibliografía

1.- Lotería primitiva en España, Wikipedia

2.- R. B. J. T. Allenby, Alan Slomson, How to count, an introduction to combinatorics, CRC Press, 2011.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

Esta entrada participó en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión fue pimedios, resultando votada como la mejor de la edición.