El matemático Hans Freudenthal (1905-1990) era especialista en topología algebraica, aunque sus contribuciones traspasaron ampliamente esta área.

También se interesó en la enseñanza de las matemáticas, llegando a ser presidente de la International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) de la International Mathematical Union (IMU).

Se le debe el llamado problema de Freudenthal que apareció publicado por primera vez en 1969, en la revista Nieuw Archief voor Wiskunde, en la que el matemático se ocupaba de la sección de ‘problemas’.

El problema –con la redacción adaptada, pero sin cambiar el contenido matemático– se enuncia del siguiente modo:

Jesús, María y José son tres amigos. Jesús elige dos números enteros x e y, verificando:

1 menor que x menor que y

x + y ≤ 100.

Jesús indica a María el resultado del producto P = xy y a José el valor de la suma S = x+y. A continuación tiene lugar el siguiente diálogo:

1. María: Desconozco x e y.
2. José: Ya sabía que te era imposible conocer x e y.
3. María: Bien, ahora, ya sé los valores de x e y.
4. José: Bien, ahora yo también los conozco.

¿Cuáles son los valores de x e y?

En [2], el propio Freudenthal discute varias de las soluciones propuestas –muchas de ellas procedentes de conocidas personas del ámbito matemático– y se da la solución x=4 e y=13.

¿Cómo se ha llegado a este resultado? Existen muchos pares de números enteros que cumplen las condiciones del enunciado; la conversación entre María y José elimina todos los pares posibles, excepto uno de ellos que es la solución.

En efecto, María conoce el producto P = xy, pero no sabe los valores de x y de y. Eso significa que el número P posee varias descomposiciones como producto de dos números enteros; por ejemplo 12 = 2×6 = 3×4.

Si se pasa revista a todos los posibles productos, 574 de ellos pueden descomponerse de al menos dos maneras diferentes; son el conjunto que llamaremos de números ambiguos P₁ (puede verse el listado completo en [3]):

P₁ = {12, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, …, 2352, 2400}.

Joséconoce la suma S = x+y y dice: ‘Ya sabía que te era imposible conocer x e y.’; eso significa que, para todas las maneras de descomponer S como suma de dos enteros, S = 2+(S-2) = 3+(S-3), etc., todas producen un producto ambiguo, que es por lo tanto un elemento de P₁. Por ejemplo, si descomponemos 11 = 2+9, su producto es 18; si 11 = 3+8, su producto es 24; si 11 = 4+7, su producto es 28 y si 11 = 5+6, su producto es 30. Estas sumas que dan lugar a productos ambiguos son las del conjunto

S₁ = {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}.

Tras esa información, María asegura que ya conoce los valores de x e y. Eso significa que entre las muchas descomposiciones de P = xy que son un producto ambiguo, sólo una da lugar a una suma S = x+y que pertenece a S₁. Por ejemplo, si María piensa en el producto 18 = 2×9 = 3×6, constata que sólo el par (2,9) tiene una suma perteneciente a S₁.

Los productos ambiguos para los que sólo una descomposición pertenece a S₁ describen otro conjunto P₂ que se reduce a 86 elementos los 574 que contenía P₁:

P₂ = {18, 24, 28, 50, 52, 76, …, 702}.

José afirma entonces que también conoce los números elegidos por Jesús. Eso significa que entre las descomposiciones de la suma S = x+y, sólo una da como producto un elemento de P₂. Por ejemplo, 11 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6, da como posibles productos 18, 24, 28 y 30, y dos de esos productos pertenecen a P₂. En este caso, María no podría haber conocido x e y.

Las sumas tales que una única descomposición da un producto perteneciente a P₂ se reducen de hecho sólo al número 17; en efecto: 17 = 2+15 = 3+14 = 4+13 = 5+12 = 6+11 = 7+10 = 8+9, cuyos productos son 30, 42, 52, 60, 66, 70 y 72, y sólo 52 está en P₂.

Por lo tanto, María sabe que x+y= 17 y que xy = 52 y deduce entonces que x = 4 e y = 13.

Por supuesto, para obtener esta solución es conveniente usar algún programa informático para ir efectuando las sumas y los productos…

Más información:

[1] H. Freudenthal, Nieuw Archief Voor Wiskunde, Ser 3, 17 (1969) 152.

[2] H. Freudenthal, Nieuw Archief Voor Wiskunde, Ser 3, 18 (1970) 102-106.

[3] Marta Macho Stadler, El problema de Freudenthal, ZTFNews, 31 julio 2015.

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.