Solo queda un plátano en el frutero. En vez de repartirlo, Pablo y Santiago deciden jugar para ver quién se lo merienda. Pablo propone a Santiago un juego con las siguientes reglas:

Tirarán cada uno de ellos un dado. Si el mayor número que aparece en los dos dados es 1, 2, 3 o 4, ganará el jugador 1. Si el mayor número que aparece en las dos caras que quedan arriba es 5 o 6, ganará el jugador 2.

Como Pablo ha formulado las reglas del juego, invita a Santiago a elegir si desea ser el jugador 1 o el jugador 2. Santiago acepta el reto y elige ser el jugador 1 pensando que con esta opción tiene una clara ventaja sobre Pablo.

¿Ha elegido bien Santiago? Se trata de un juego de azar, con lo que puede pasar, a priori, cualquier cosa. Pero pensemos por un momento en la probabilidad de que cada uno de ellos gane este juego. Una manera sencilla de calcularla es elaborar una tabla con todas las posibles combinaciones que se pueden obtener al tirar dos dados. En la siguiente tabla se representa a Santiago con un emoticono rojo –piensa que ha sido realmente hábil al elegir esta opción– y a Pablo con uno amarillo –aunque no es tan inocente como parece–. Hay 36 posibles combinaciones de números al tirar dos dados, y en cada casilla colocamos la imagen del ganador con cada posible tirada.

Observamos que Santiago gana en 16 de las 36 posibles tiradas, mientras que Pablo ¡lo hace en 20! Parece contraintuitivo, pero no hay duda alguna, Pablo tiene más probabilidades de ganar.

Otra manera de comprobar que la elección de Santiago no era la adecuada es pensar en la probabilidad de que cada número del 1 al 6 sea el más alto al lanzar los dados. Es sencillo de entender que la probabilidad de que el 1 sea el número más alto es de 1/36 (los dos dados deben mostrar el 1), la de que sea el 2 es de 3/36 (se obtiene con las tiradas 1-2, 2-2, 2-1), la de que sea el 3 es de 5/36 (sale con las tiradas 1-3, 2-3, 3-3, 3-2, 3-1), la de que sea el 4 es de 7/36 (resulta con las tiradas 1-4, 2-4, 3-4, 4-4, 4-3, 4-2 y 4-1), la de que sea el 5 es de 9/36 (se logra con las tiradas 1-5, 2-5, 3-5, 4-5, 5-5, 5-4, 5-3, 5-2 y 5-1) y la de que sea el 6 es de 11/36 (se consigue con las tiradas 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6, 6-6, 6-5, 6-4, 6-3, 6-2 y 6-1). Es decir, gana el jugador 1 en 1 + 3 + 5 + 7 = 16 de las posibles tiradas, frente a las 9 + 11 = 20 en el caso del jugador 2. Recuperamos mediante este argumento el cálculo que habíamos obtenido en la tabla. Dicho de otra manera, Santiago tiene un 44,5 % de probabilidades de ganar, mientras que Pablo se come el plátano con una probabilidad del 55,5 %.

Recordemos que los 36 posibles resultados al lanzar los dos dados son equiprobables: cada uno de ellos tiene una probabilidad de 1/36 de salir. Además, las tiradas realizadas por cada dado son sucesos independientes. Por ello, la probabilidad de obtener 1, 2, 3 o 4 en ambos dados –de este modo ganaría Santiago el juego– es el producto de 4/6 por 4/6, es decir, 16/36. De nuevo, hemos confirmado la conclusión que ya se había visto al principio.

Otro concepto que puede usarse para estudiar el juego es el de esperanza matemática. Vamos a llamar M al máximo número obtenido al lanzar dos dados. Denotamos por P(M=m) a la probabilidad de que M sea m. Entonces:

E(M) = 1.P(M=1) + 2.P(M=2) + 3.P(M=3) + 4.P(M=4) + 5.P(M=5) + 6.P(M=6) =

1/36 + 2. 3/36 + 3. 5/36 + 4. 7/36 + 5. 9/36 + 6. 11/36 =

1/36 + 6/36 + 15/36 + 28/36 + 45/36 + 66/36 = 161/36 = 4,47,

que representa el valor medio obtenido en el suceso aleatorio descrito en el juego de Pablo y Santiago. De nuevo, se confirma la teórica ventaja de Pablo… aunque es posible que al lanzar los dados el resultado haga que Santiago consiga quedarse con la merienda, Pablo tiene más probabilidades de hacerlo.

En este video de Leonardo Barichello se explica de manera inspiradora este juego.

Referencias

• The Last Banana, Futility Closet, 27 marzo 2020

• Leonardo Barichello, The last banana: A thought experiment in probability, TED-Ed,

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.