Un juego con un premio colosal

Matemoción

Se propone un juego entre cuatro personas (Ana, Blas, Carmen y David) con un “colosal” ipremio para aquella que gane: las obras completas de Paul Erdős.

Las reglas del juego son las siguientes: cada participante recibe dos dados con las caras numeradas de una manera que no es la habitual. El primer dado tiene marcadas en sus caras los números 2, 7, 7, 12, 12 y 17, y el segundo las cifras 3, 8, 8, 13, 13, y 18. Los dados son equilibrados, es decir, cada cara tiene la misma probabilidad de salir, que es de 1/6.

En privado, sin nadie observando, cada participante tira 20 veces ambos dados. Anota el resultado de la suma de las cantidades alcanzadas en cada tirada y adiciona los veinte resultados obtenidos. Gana la persona cuya puntuación final sea mayor.

Sin embargo, quizás por los nervios o quizás por torpeza, puede suceder que las sumas no sean correctas. Incluso puede ocurrir que alguno de los participantes, pensando que así tendrá más posibilidades de vencer en el juego, mienta en su resultado. La posibilidad engañar existe, ya que nadie les está vigilando.

Por todo ello se dispone de un juez imparcial, Ernesto, preparado para descalificar a cualquier participante si, con un 90 % de certeza, cree que ese jugador o jugadora ha fallado al sumar o, abiertamente, ha mentido.

Después de explicar estas reglas, los participantes se encierran para proceder a lanzar sus dados… y sumar (¿quizás inventar?). Tras finalizar sus tiradas, declaran lo siguiente:

  1. Ana confirma que ha sacado 385 puntos,

  2. Blas dice que ha obtenido 840 puntos,

  3. Carmen afirma que sus tiradas suman 700 puntos y

  4. David anuncia que ha conseguido 423 puntos.

Pocos minutos después, Ernesto, el juez, declara: “Sin ninguna duda, Ana es la ganadora”.

¿Sabrías explicar la razón?

Antes de argumentar, vamos a reflexionar sobre las sumas que se pueden obtener.

  1. Observar que los números del primer dado son todos congruentes con 2 módulo 5, es decir, las cifras 2, 7, 12 y 17, al dividirlas por 5, dan como resto 2. Del mismo modo, los números del segundo dado son todos congruentes con 3 módulo 5, es decir, las cifras 3, 8, 13 y 18, al dividirlas por 5 dan como resto 3. Así, al sumar las cantidades obtenidas en una tirada (las procedentes de los dos dados), la cantidad resultante es siempre un múltiplo de 5, por lo que la suma final también debe serlo.

  2. La menor suma que puede obtenerse en una tirada es 5 (2+3) y la mayor 35 (17+18). Así, el resultado final de las sumas tras las 20 tiradas oscila entre 100 (5×20) y 700 (35×20).

Tras estas sencillas observaciones, Ernesto ha podido descalificar directamente a David (la suma que da este jugador no es un múltiplo de 5) y a Blas (es imposible obtener 840 puntos sumando los resultados de las 20 tiradas) que, o bien se han equivocado al sumar o bien han querido hacer trampa.

Carmen afirma que sus tiradas han sumado 700, lo que significa que, en cada una de las 20 tiradas, ha obtenido la máxima puntuación, que es de 35… y desde luego es posible que eso haya sucedido. Pero, ¿cuál es la probabilidad de que suceda? La probabilidad de que salga 35 en una tirada es de 1/62=1/36 (se debe obtener 17 en el primer dado y 18 en el segundo). Por lo tanto, la probabilidad de que salga 35 en las veinte tiradas es de 1/640 (cada tirada es un suceso independiente). Y este número es del orden de 1,34×10-31, una cantidad realmente pequeña. Claro que es posible que Carmen haya sacado un montante de 700 por azar, pero es muy poco probable. Así que Ernesto, con el 90 % de certeza, puede descalificar a Carmen.

¿Lo que dice Ana es creíble? Desde luego 385 es un múltiplo de 5. El resultado más probable es el de 400 (20×20=400). ¿Por qué? Porque puede obtenerse una suma de 20 en una tirada de diez maneras distintas: 2+18 (un modo), 7+13 (cuatro formas), 12+18 (cuatro maneras) y 17+3 (un modo). El resto de las sumas posibles son: 5 (2+3), 10 (2+8, 7+3; de cuatro modos), 15 (2+13, 7+8; 12+3, de ocho maneras), 25 (7+18, 12+13; 17+8; de ocho maneras), 30 (12+18, 17+13; de cuatro modos) y 35 (17+18; de una manera).

Por otro lado, la suma de 385 es posible de obtener (por ejemplo, con 17 tiradas sumando 20 y otras tres sumando 15. O con 10 tiradas de 25, 7 de 15 y 3 de 10, etc.). Así que lo que dice Ana es creíble y, habiendo sido excluidos Blas, Carmen y David, ¡ella es la ganadora!

Notas:

Este problema se ha extraído de ¿Puedes resolver el acertijo del rey tramposo? de Dan Katz en TED-ed.

iPaul Erdös (1913-1996) fue uno de los más prolíficos matemáticos en cuanto a publicaciones científicas: unos 1.500 artículos con más de 500 coautores. Por ello podemos calificar sus obras completas como un premio “colosal”.

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad

3 comentarios

  • Avatar de Gabriel

    Me ha encantado el problema, solo comentar que en la resolución en el penúltimo párrafo indicas » 12+18 (cuatro maneras) » y 12+18 es 30 no 20 supongo que es una errata y debería poner 12+8.

    Un saludo y Gracias por el artículo

  • […] Un juego con un premio colosal: “Las reglas del juego son las siguientes: cada participante recibe dos dados con las caras numeradas de una manera que no es la habitual. El primer dado tiene marcadas en sus caras los números 2, 7, 7, 12, 12 y 17, y el segundo las cifras 3, 8, 8, 13, 13, y 18. Los dados son equilibrados, es decir, cada cara tiene la misma probabilidad de salir, que es de 1/6.” […]

  • Avatar de Rawandi

    Se llega a la misma solución aplicando la ley de Benford: un número al azar es tanto más probable cuanto más bajo sea su dígito inicial. De acuerdo con la fórmula de Benford, la probabilidad de que dicho número empiece por 3 sería del 12,5 por ciento, mientras que la probabilidad de que empiece por 8 sería solo del 5 por ciento.

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