Durante medio siglo, los matemáticos han intentado definir las circunstancias exactas en las que un agujero negro está destinado a existir. Una nueva prueba muestra cómo un cubo puede ayudar a responder la cuestión.

Un artículo de Steve Nadis. Historia original reimpresa con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente respaldada por la Fundación Simons.

La noción moderna de agujero negro ha estado con nosotros desde febrero de 1916, tres meses después de que Albert Einstein revelara su teoría de la gravedad. Fue entonces cuando el físico Karl Schwarzschild, en medio de los combates en el ejército alemán durante la Primera Guerra Mundial, publicó un artículo con implicaciones sorprendentes: si se confina suficiente masa dentro de una región perfectamente esférica (delimitada por el “radio de Schwarzschild”), nada puede escapar de la intensa atracción gravitacional de un objeto así, ni siquiera de la propia luz. En el centro de esta esfera se encuentra una singularidad donde la densidad se acerca al infinito y la física conocida descarrila.

En los más de 100 años transcurridos desde entonces, físicos y matemáticos han explorado las propiedades de estos enigmáticos objetos desde la perspectiva tanto de la teoría como de la experimentación. De ahí que puede resultar sorprendente escuchar que «si tomamos una región del espacio con un montón de materia esparcida en ella y le preguntamos a un físico si esa región colapsaría para formar un agujero negro, todavía no tenemos las herramientas para responder esa pregunta”, afirma Marcus Khuri, matemático de la Universidad Stony Brook.

No hay que desesperar. Khuri y tres colegas (Sven Hirsch del Instituto de Estudios Avanzados, Demetre Kazaras de la Universidad Estatal de Michigan y Yiyue Zhang de la Universidad de California, Irvine) han publicado un nuevo artículo que nos acerca a poder determinar la presencia de agujeros negros basándose únicamente en la concentración de materia. Además, su artículo demuestra matemáticamente que pueden existir agujeros negros de dimensiones superiores (los de cuatro, cinco, seis o siete dimensiones espaciales), algo que antes no se podía afirmar con seguridad.

Para poner el nuevo artículo en contexto valdría la pena retroceder hasta 1964, el año en que Roger Penrose comenzó a presentar los teoremas de singularidad que le valieron una parte del Premio Nobel de Física de 2020. Penrose demostró que si el espaciotiempo tiene algo llamado una superficie atrapada cerrada (una superficie cuya curvatura es tan extrema que la luz que sale se envuelve y se gira hacia adentro), entonces también debe contener una singularidad.

Fue un resultado monumental, en parte porque Penrose aportó nuevas y potentes herramientas de la geometría y la topología al estudio de los agujeros negros y otros fenómenos de la teoría de Einstein. Pero, para empezar, el trabajo de Penrose no explica en detalle qué se necesita para crear una superficie atrapada cerrada.

En 1972, el físico Kip Thorne dio un paso en esa dirección al formular la conjetura del aro. Thorne reconoció que determinar si un objeto no esférico (que carecía de la simetría supuesta en los esfuerzos pioneros de Schwarzschild) colapsaría en un agujero negro sería “mucho más difícil de calcular [y] de hecho, mucho más allá de mis capacidades”. (Thorne ganaría el Premio Nobel de Física de 2017). Sin embargo, sentía que su conjetura podría hacer que el problema fuera más manejable. La idea básica es determinar primero la masa de un objeto dado y a partir de ahí calcular el radio crítico de un aro en el que debe encajar el objeto (sin importar cómo esté orientado el aro) para hacer inevitable la formación de un agujero negro. Sería como demostrar que un hula-hoop que se ajusta alrededor de la cintura también podría, si se gira 360 grados, adaptarse a todo lo largo del cuerpo, incluidos los pies y la cabeza. Si el objeto encaja, colapsará y se convertirá en un agujero negro.

«La conjetura del aro no está bien definida», comenta Kazaras. «Thorne utilizó intencionadamente una redacción vaga con la esperanza de que otros proporcionaran una expresión más precisa».

En 1983, los matemáticos Richard Schoen y Shing-Tung Yau cumplieron, demostrando una versión importante de la conjetura del aro, posteriormente denominada teorema de existencia del agujero negro. Schoen y Yau demostraron (en un argumento matemático claro) cuánta materia debe acumularse en un volumen dado para inducir la curvatura espacio-temporal necesaria para crear una superficie atrapada cerrada.

Kazaras elogia el trabajo de Schoen-Yau por su originalidad y generalidad; su técnica podría revelar si cualquier configuración de la materia, independientemente de consideraciones de simetría, está destinada a convertirse en un agujero negro. Pero su enfoque tiene un gran inconveniente. La forma en que miden el tamaño de una región determinada del espacio (determinando el radio del toro o dónut más grueso que podía caber en su interior) es, para muchos observadores, “engorrosa y poco intuitiva”, afirma Kazaras, y por lo tanto poco práctica.

El nuevo artículo ofrece una alternativa. Una de las principales innovaciones de Schoen y Yau fue reconocer que una ecuación ideada por el físico Pong Soo Jang, que originalmente no tenía nada que ver con los agujeros negros, puede «explotar» (llegar al infinito) en ciertos puntos del espacio. Sorprendentemente, el lugar donde explota coincide con la ubicación de una superficie atrapada cerrada. Entonces, si se desea encontrar dicha superficie, primero hay que averiguar dónde llega al infinito la ecuación de Jang. “En la escuela secundaria a menudo intentamos resolver una ecuación cuya solución es igual a cero”, explica el matemático Mu-Tao Wang de la Universidad de Columbia. «En este caso, estamos tratando de resolver la ecuación [de Jang] de modo que la solución sea infinita».

Hirsch, Kazaras, Khuri y Zhang también se basan en la ecuación de Jang. Pero además de un toro, utilizan un cubo, uno que puede deformarse considerablemente. Este enfoque “es similar a la idea de Thorne, que utiliza aros cuadrados en lugar de los tradicionales aros circulares”, afirma Khuri. Se basa en la “desigualdad del cubo” desarrollada por el matemático Mikhail Gromov. Esta relación conecta el tamaño de un cubo con la curvatura del espacio dentro y alrededor de él.

El nuevo artículo muestra que si puedes encontrar un cubo en algún lugar del espacio donde la concentración de materia sea grande en comparación con el tamaño del cubo, entonces se formará una superficie atrapada. «Esta medida es mucho más fácil de comprobar» que una en la que se usa un toro, afirma Pengzi Miao, matemático de la Universidad de Miami, «porque todo lo que necesitas calcular es la distancia entre las dos caras opuestas más cercanas del cubo».

Los matemáticos también pueden construir dónuts (toros) y cubos en dimensiones superiores. Para extender su prueba de la existencia de los agujeros negros a estos espacios, Hirsch y sus colegas se basaron en conocimientos geométricos que se han desarrollado en las cuatro décadas posteriores al artículo de Schoen y Yau de 1983. El equipo no pudo ir más allá de siete dimensiones espaciales porque comienzan a aparecer singularidades en sus resultados. «Solucionar esas singularidades es un punto de conflicto común en geometría», explica Khuri.

El siguiente paso lógico, añade, es demostrar la existencia de un agujero negro basándose en una “masa cuasi local”, que incluye la energía proveniente tanto de la materia como de la radiación gravitacional, en lugar de solo de la materia. No es una tarea sencilla, en parte porque no existe una definición universalmente aceptada de masa cuasi local.

Mientras tanto, surge otra pregunta: para crear un agujero negro de tres dimensiones espaciales, ¿se debe comprimir un objeto en las tres direcciones, como insistió Thorne, o podría ser suficiente la compresión en dos direcciones o incluso en una sola? Todas las pruebas apuntan a que la afirmación de Thorne es cierta, apunta Khuri, aunque aún no está probada. De hecho, es solo una de las muchas preguntas abiertas que persisten sobre los agujeros negros después de que apareciesen por primera vez hace más de un siglo en el cuaderno de notas de un soldado alemán.

El artículo original, Math Proof Draws New Boundaries Around Black Hole Formation, se publicó el 16 de agosto de 2023 en Quanta Magazine.

Traducido por César Tomé López