Como comentaba en mi anterior entrada del Cuaderno de Cultura Científica, titulada Algunas propiedades matemáticas del número 2025, algunas personas del ámbito de las matemáticas nos dedicamos a buscar propiedades matemáticas del número al que corresponde el nuevo año, en este caso le tocaba el turno al 2.025, para incluir alguna de ellas en nuestras felicitaciones navideñas para compartir en las redes sociales, enviar a nuestros contactos por whatsapp o para diseñar nuestras tarjetas navideñas físicas. Por este motivo, dediqué esa entrada a algunas propiedades matemáticas del mencionado número, el dos mil veinticinco.

En particular, utilicé para mi tarjeta de año nuevo que el número 2.025 puede escribirse como la suma de los cubos de todas las cifras básicas de nuestro sistema de numeración, es decir, todos los números de un solo dígito:

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ = 2.025,

donde no incluí el cero ya que cero elevado al cubo es cero. Pero, además, se comentaba en dicha entrada que este número es un número cuadrado (de hecho, es el cuadrado de un número triangular, 45), suma de números triangulares consecutivos, un número trapezoidal (o cortés), que puede expresarse como suma de números naturales consecutivos de catorce maneras distintas, un número octogonal centrado, un número deficiente, un número tau, un número duffiniano o un número de Harshad. Sin embargo, se podría haber ampliado esta familia de propiedades a otras, como escribir el 2.025 con todas las cifras básicas no nulas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) en orden creciente, o decreciente, intercalando los signos de las operaciones aritméticas básicas (+, –, x, /) y potencias, como aparece en la siguiente imagen, que es el típico problema de ingenio, aunque para diferentes números.

El año 2.026 también tendrá su tarjeta de año nuevo

Cuando compartí en las redes sociales el enlace de la entrada titulada Algunas propiedades matemáticas del número 2025, algunas personas me comentaron que sería difícil encontrar otro año con tantas propiedades matemáticas como el 2.025. Lo cierto es que, aunque haya años, bueno, los números de los años, con más propiedades matemáticas o propiedades más sorprendentes que otros, podemos obtener curiosas propiedades para todos los números. Así, de cara al año que viene, el 2.026 también verifica algunas curiosas propiedades. Por ejemplo, podemos expresar el 2.026 con todas las cifras básicas no nulas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) en orden creciente, o decreciente, intercalando los signos de las operaciones aritméticas básicas (+, –, x, /) y potencias, que podéis ir reservando para dentro de un año.

Pero como comentaba, este número tiene muchas otras propiedades. Por ejemplo, puede expresarse como suma de números naturales consecutivos

2.026 = 505 + 506 + 507 + 508,

o también pertenece a la familia de números naturales de la que vamos a hablar en esta entrada, los números felices. Es decir, el 2.026 es un número feliz.

Números felices

Definición: Un número es feliz (en algunos textos también se han sido llamados números elegantes) si al sumar los cuadrados de sus dígitos, repetir esta misma operación sobre el resultado obtenido e iterar el proceso suficientes veces, la sucesión de números resultante alcanza en algún momento el número 1. En caso contrario, se dice que el número es infeliz o triste.

Por ejemplo, el número 7 es un número feliz ya que si consideramos la sucesión de resultados del algoritmo “sumar los cuadrados de sus dígitos” de manera recursiva nos queda lo siguiente:

7, 49, 97 (= 4² + 9²), 130 (= 9² + 7²), 10 (= 1² + 3² + 0²), 1 (= 1² + 0²),

es decir, la sucesión se estaciona en el número 1. Sin embargo, si consideramos el número 5 la sucesión que se genera con el anterior algoritmo es

5, 25, 29 (= 2² + 5²), 85 (= 2² + 9²), 89 (= 8² + 5²), 145 (= 8² + 9²), 42 (= 1² + 4² + 5²), 20 (= 4² + 2²), 4 (= 2² + 0²), 16 (= 4²), 37 (= 1² + 6²), 58 (= 3² + 7²), 89 (= 5² + 8²), …

que, como podemos observar, se mete en un ciclo sin fin, formado por los números 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37 y 58, por lo tanto, el número 5 no es un número feliz.

Más aún, como comentábamos más arriba, el número 2.026 es un número feliz, puesto que la sucesión de resultados de aplicar de manera recursiva el algoritmo “sumar los cuadrados de sus dígitos” al 2.026 y después a los respectivos resultados que se van obteniendo es 2.026, 44, 32, 13, 10 y 1. Por lo tanto, la sucesión llega al 1, donde se estanca, en cinco pasos. De manera que las próximas navidades se podría decir que el nuevo año “es un año feliz”, trasladando la propiedad del número al año. El anterior año feliz fue el 2.019 y el siguiente será el 2.030.

Además, de la definición se deduce fácilmente que, dado un número feliz, cualquier otro número que se obtenga como permutación de sus dígitos sigue siendo feliz. Por ejemplo, como 2.026 es un número feliz, también lo son 226, 262, 622, 2.062, 2.206, 2.260, 2.602, 2.620, 6.022, 6.202 y 6.220.

El origen de estos números es incierto. En una de las referencias clásicas sobre los mismos, el libro de Richard Guy Unsolved Problems in Number Theory, se menciona que llamaron la atención del matemático inglés Reg Allenby, cuando su hija le mostró que se los habían enseñado en la escuela. Aunque parece ser que tienen su origen en Rusia.

No es difícil calcular, a mano o con una calculadora, los primeros números felices. En concreto, los menores de 200 son 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193. De hecho, los números felices son la sucesión A007770 de la enciclopedia on-line de sucesiones de números enteros. Al realizar el algoritmo para los números menores de 200 se observará que para los demás números, los infelices, la sucesión termina siempre en el bucle del 89. De hecho, estas son las dos únicas posibilidades que existen, como aparece mencionado en el libro de Richard Guy, aunque demostrado mucho antes, en 1945, en el artículo de Arthur Porges titulado A Set of Eight Numbers (Un conjunto de ocho números).

Teorema: Si para cada número natural se considera la sucesión de números formada por los resultados del algoritmo “sumar los cuadrados de sus dígitos” considerado de forma iterada a partir de dicho número, esta se estacionará en el número 1 o entrará en el ciclo infinito formado por los ocho números 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37 y 58.

Otra curiosa propiedad del algoritmo “sumar los cuadrados de sus dígitos” es que para cualquier número natural n siempre existe otro número natural m tal que el resultado de aplicar el algoritmo “sumar los cuadrados de sus dígitos” a m nos genera n. Esto es muy fácil de demostrar puesto que, en particular, podemos tomar m igual al número formado por n unos (111…111), que trivialmente nos da n al aplicarle el algoritmo.

¿Cuántos números felices hay?

Lo primero que nos podríamos plantear es si existe un número infinito de números felices. La respuesta es trivialmente afirmativa, ya que es muy fácil construir familias infinitas de números felices, sin más que añadir ceros a un número que es feliz. Por ejemplo, el 1 es feliz, así como los números 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, …, en general, 10ⁿ es un número feliz para cualquier número natural n, que es una familia infinita.

La siguiente cuestión relacionada con esta pregunta es la densidad de números felices dentro de los naturales, es decir, cuál es el porcentaje de números felices dentro de los números naturales. Si miramos la anterior lista de números felices, hay 20 dentro de los 100 primeros, luego un porcentaje del 0,2. Si continuamos con los números felices menores, o iguales, que las potencias de 10, tenemos que hay 143 dentro de los 1.000 primeros (un porcentaje del 0,143); 1.442 dentro de los 10.000 primeros (un porcentaje del 0,1442); 14.377 dentro de los 100.000 primeros (un porcentaje del 0,14377); 143.071 dentro de los 1.000.000 primeros (un porcentaje del 0,143071); y así podemos continuar con los primeros datos, que aparecen en la siguiente tabla.

La lista de los porcentajes para números menores, o iguales, que las potencias de 10 (lo que podríamos denominar densidad relativa) empieza con las siguientes cantidades:

1; 0,3; 0,2; 0,143; 0,1442; 0,14377; 0,143071; 0,1418854; 0,14255667; 0,145674808; 0,1492609148; 0,15091199357; 0,149121303586; 0,1443278000870; 0,13770853279685; 0,130660965862333; 0,1245219117260664; 0,12024696404768025; 0,118226055080025491; 0,1183229962059381238; 0,12005034444292997294; etc…

que, salvo las primeras, está en un rango entre 0,118 y 0,151. Richard Guy mencionaba en su libro Unsolved Problems in Number Theory que “parece que 1/7 de los números naturales es feliz” (1 de cada 7), sin embargo, no parece que esto sea realmente así, no existe una densidad “límite”. De hecho, en el artículo On the density of happy numbers, del matemático estadounidense Justin Gilmer, publicado en la revista Integers (2013), se muestra un gráfico (véase la siguiente imagen) en el que se muestra cómo el porcentaje de números felices crece y decrece sin confluir a una cantidad fija.

De hecho, Gilmer demuestra que la densidad superior está por encima de 0,18577 y la densidad inferior por debajo de 0,1138.

Números felices consecutivos

Si se mira la lista anterior de los números felices menores que 200, se puede observar que existen algunos números felices consecutivos, como 31-32, 129-130 y 192-193, de hecho, existen infinitas parejas de números felices consecutivos. En el libro La gran familia de los números se incluye una actividad relacionada con esto mismo, que ya apareció en el libro Desafíos Matemáticos, propuestos por la Real Sociedad Matemática Española (SM-RSME, 2012), el siguiente sencillo y divertido desafío, que dejo aquí para vuestra diversión.

Problema: Encontrar infinitas parejas de números felices consecutivos.

Si se continuan buscando cadenas de números felices consecutivos se descubrirá que el primer trío es el formado por los números 1.880, 1.881 y 1.882, los tres números felices, como puede comprobarse; el primer cuarteto es el formado por los números 7.839, 7.840, 7.841 y 7.842; mientras que el primer quinteto de números felices consecutivos es el formado por los números 44.488, 44.489, 44.490, 44.491 y 44.492, que aparecen citados por Richard Guy en su libro Unsolved Problems in Number Theory, quien se cuestiona además si existen cadenas de números felices consecutivos de cualquier longitud.

Los matemáticos saudíes Esam El-Sedy y Samir Siksek demostraron, en su artículo On happy numbers, publicado en la revista Rocky Mountain Journal of Mathematics (2000), que la respuesta es afirmativa, es decir, existen cadenas de números felices consecutivos de cualquier longitud.

Una reflexión final

Vamos a terminar aquí esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica, aunque podríamos haber continuado por dos caminos distintos. El primero hablando de números felices que además satisfacen otras propiedades matemáticas, como ser primos, cuadrados, triangulares, capicúas, de Fibonacci u otras propiedades.

Por ejemplo, los números felices primos menores que 500 son: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409 y 487, sucesión que aparece mencionada en el episodio titulado 42 (el séptimo de la tercera etapa) de la serie británica Doctor Who, emitido en 2017, donde se necesita introducir un número para abrir una puerta, que es el siguiente a la sucesión 313, 331, 367… (véase la siguiente imagen) y la respuesta es 379, que es el siguiente número feliz primo.

Mientras que el segundo camino, interesante también, hablando de que la felicidad de los números depende de la base de numeración en la que estén representados (hasta ahora nosotros hemos trabajado en la base natural, la base 10) y no es una característica del propio número. Por ejemplo, el número 160 que no es feliz en la base 10, sí lo es en base 6. Como 160 = 4  36 + 2  6 + 4  1, se representa en dicha base como 424, que al hacer la suma de sus dígitos al cuadrado sale 10 (36 en base decimal) y repitiendo la operación queda 1. El número 5, que no era feliz en base 10, tampoco lo es en base 6, ya que la sucesión asociada, expresada en la base 6, es 5, 41, 25, 45, 105, 42, 32, 21, 5, produciéndose un bucle infinito, que es el único que existe para esta base. O el 7, que es un número feliz en base decimal, no lo es en base senaria, ya que cae en el ciclo del 5.

Bibliografía

1.- Ibáñez, La gran familia de los números, Libros de la Catarata, 2021.

2.- Página web: Numbers Aplenty.

3.- Richard Guy, Unsolved problems in number theory, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

4.- Arthur Porges, A Set of Eight Numbers, American Mathematical Monthly 52, p. 379-382, 1945.

5.- Justin Gilmer, On the density of happy numbers, Integers, vol, 13, n. 2, pp. 689-713, 2013.

6.- Esam El-Sedy y Samir Siksek, On happy numbers, Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 30, n.2, pp. 565-570, 2000.

7.- R. Ibáñez, Números elegantes, en el libro Desafíos Matemáticos, propuestos por la Real Sociedad Matemática Española (coordinado por A. Quirós), SM-RSME, 2012.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica