Cada 29 de enero, desde hace más de treinta años, se celebra en Estados Unidos el Puzzle Day. Esta conmemoración es una iniciativa de la creadora de rompecabezas Jodi Jill, que nació precisamente el 29 de enero de 1971.
Un rompecabezas. Fuente: Wikimedia Commons.
Nos unimos a esta celebración con cinco rompecabezas, en nuestro caso, matemáticos. Para solucionarlos no está de más recordar estas palabras del matemático Henry Ernest Dudeney (1857-1930)
Un buen rompecabezas debe exigir el ejercicio de nuestro mejor ingenio y habilidad, y aunque el conocimiento de las matemáticas y la lógica son a menudo de gran utilidad en la solución de estas cosas, sin embargo, a veces sucede que una especie de astucia y sagacidad naturales son de considerable valor.
Un padre deja a sus cuatro hijos un campo cuadrado conteniendo cuatro robles [ver debajo]. Pero les pone una condición para obtener este legado: deben dividir el campo en cuatro partes, todas de la misma forma y tamaño, de manera que cada trozo de tierra contenga uno de los árboles. ¿Cómo lograrán hacerlo?
El planteamiento del problema. Fuente: Wikimedia Commons.
Piensa un poco antes de mirar la solución en este enlace.
Timoteo y Sofía están jugando con dos dados de seis caras. Pero no son dados normales: en vez de tener un número, cada cara está coloreada de rojo o azul.
Los dos amigos tiran los dados por turnos. Deciden que Timoteo ganará la partida si las dos caras superiores son del mismo color y Sofía lo hará si son diferentes. Se sabe que sus probabilidades de ganar son iguales.
También se sabe que el primer dado tiene 5 caras rojas y 1 cara azul.
¿Cuáles son los colores del segundo dado?
Pensemos en los posibles resultados en cada tirada: al lanzar dos dados de seis caras se obtienen 36 resultados posibles. Como Timoteo y Sofía tienen las mismas probabilidades de ganar, debe haber 18 resultados en los que ambos dados tengan el mismo color y otros 18 en los que la tirada muestre caras de distinto color. Si x es la cantidad de caras rojas en el segundo dado, debe cumplirse que:
18 = 5x + 1(6 – x).
Se deduce inmediatamente que x = 3, y entonces el segundo dado debe tener 3 caras rojas y 3 caras azules.
Un puzle numérico
El creador de rompecabezas japonés Nobuyuki Yoshigahara (1936-2004) consideraba que este puzle era su obra maestra:
Los números que se muestran en la imagen de debajo están ordenados según una regla determinada. ¿Cuál es el número que falta?
Por supuesto, lo importante es encontrar la regla. Intenta encontrarla antes de leer la solución.
Se observa en una primera mirada que 99 – 72 = 27, 45 – 27 = 18, 39 – 18 = 21, … parece que esta es la regla, es decir, la diferencia de los números de una fila devuelve el número del círculo de debajo. Así, como 28 – ? = 13, parece que debe ser ? = 15. Pero si miramos lo que sucede en la última fila, tenemos que 21 – 13 = 8, no 7 como se indica en el diagrama. Así que esta no es la regla.
Mirando de nuevo el diagrama, se puede comprobar que al sumar los dígitos de una fila se obtiene el número que se encuentra en el círculo de debajo. Por ejemplo, 7 + 2 + 9 + 9 = 27 para la primera fila, 4 + 5 + 2 + 7 = 18. Se comprueba que esta regla funciona en todas las filas. Así, 2 + 1 + 3 + 6 = 12, que es el número que falta en la imagen.
Un puzle olímpico
Esta propuesta procede de un problema de la Olimpiada Matemática rusa de 1999:
Se pide demostrar que los números del 1 al 15 no se pueden dividir en un grupo A de 13 números y otro B de 2 números de modo que la suma de los números de A sea igual al producto de los números de B.
Haremos la demostración por reducción al absurdo: supongamos que fuera posible dividir los números en dos grupos con las condiciones que se indican. Llamemos x e y a los dos números en B. Entonces se cumple que:
(1 + 2 + … + 15) – x – y = xy,
Es decir, 120 = xy + x + y, o lo que es lo mismo:
121 = (x + 1) (y + 1).
El número 121 = 112, con lo que es necesariamente x = y = 10. Pero esta solución no es válida, porque x e y son números distintos. Así, queda demostrado lo que se pedía.
Un puzle en el campo de tiro
Este último rompecabezas se debe al matemático Peter Winkler (1946):
Sofía y Timoteo (que ya se han cansado de jugar a los dados) acuden a un campo de tiro. Sofía acierta a un objetivo pequeño el 75 % de las veces y Timoteo, con peor puntería, solo el 25 % de las veces.
Los dos apuntan a ese objetivo pequeño y disparan simultáneamente. Una bala lo alcanza.
¿Cuál es la probabilidad de que haya venido del arma de Sofía?
Como Sofía posee el triple de calidad de aciertos que Timoteo, dan ganas de decir que la probabilidad es del 75 %. Pero ese argumento no es válido porque hay que tener en cuenta los aciertos y los fallos. Pensemos en todas las situaciones posibles:
La probabilidad de que Sofía y Timoteo acierten en la diana es de 3/4 × 1/4 = 3/16,
La probabilidad de que ni Sofía ni Timoteo acierten su tiro es de 1/4 × 3/4 = 3/16,
la probabilidad de que Sofía acierte y Timoteo no es de 3/4 × 3/4 = 9/16, y, finalmente,
la probabilidad de que Timoteo acierte y Sofía no es de 1/4 × 1/4 = 1/16.
Como solo una bala alcanza el objetivo, se da necesariamente una de las situaciones descritas en 3) o en 4). Así, hay una probabilidad de 9/10 de que la bala que ha alcanzado en el blanco sea la de Sofía.
