En una reciente entrada de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica, titulada Los cuadrados de MacMahon, estuvimos hablando de un interesante rompecabezas geométrico, cuyo nombre es precisamente el título de la misma. En esta entrada vamos a ir un poco más allá y con los cuadrados de ese juego de ingenio construiremos cubos que nos permitirán crear un nuevo rompecabezas, conocido primero con el nombre de “el rompecabezas de Nelson”, y después como “el rompecabezas de los cuatro cubos”.

Los cuadrados de MacMahon

En primer lugar, recordemos el rompecabezas de los cuadrados de MacMahon, y más concretamente, las piezas con las que se juega al mismo. Percy Alexander MacMahon (1854–1929), que fue un militar y matemático británico, se planteó de cuántas formas distintas, salvo rotaciones, se puede colorear el cuadrado dividido en cuatro partes iguales por sus dos diagonales utilizando tres colores distintos y observó que es posible hacerlo de 24 maneras distintas. A partir de esta información, creó el rompecabezas que lleva su nombre, cuyas piezas, que vemos en la siguiente imagen (con los colores verde, azul y amarillo), son la realización de las 24 formas de colorear el cuadrado dividido en cuatro partes iguales por sus dos diagonales utilizando tres colores distintos.

El rompecabezas consiste en construir un rectángulo de 4 filas y 6 columnas con las 24 fichas del mismo (si deseas imprimirlas te dejamos aquí el PDF con las 24 fichas), de manera que cuando dos fichas tienen un lado en común el color de las regiones triangulares que comparten ese lado, en los dos cuadrados, tienen que tener el mismo color y, además, todo el perímetro, es decir, todas las regiones triangulares que forman el perímetro del rectángulo, tiene que ser de un mismo color, ya sea este, verde, azul o amarillo (para más información sobre este juego de ingenio puede leerse la entrada Los cuadrados de MacMahon).

Con las 24 fichas se puede jugar al rompecabezas de MacMahon, pero también se pueden plantear otros juegos relacionados con el mismo. Por ejemplo, los miembros del Grupo Alquerque de Sevilla, los matemáticos Juan Antonio Hans Martín, José Muñoz Santonja y Antonio Fernández-Aliseda Redondo, plantearon diferentes retos, con diferentes niveles de dificultad, aunque más sencillos que el original (en los mismos solo se pide que se cumpla la primera condición, esto es, cuando dos fichas son adyacentes tienen el mismo color en las regiones de contacto) en su artículo «MacMahon y las matemáticas en colores», publicado en la revista SUMA. Estos problemas serían los siguientes:

A) de las 24 fichas del rompecabezas, separar las 9 que tienen los tres colores y con ellas formar un cuadrado de lado 3, es decir, con tres filas y tres columnas;

B) con las 12 fichas que tienen sólo 2 colores construir un rectángulo 3 x 4, tres filas y cuatro columnas;

C) con las 12 fichas complementarias de las anteriores, luego las que tienen 1 o 3 colores, componer también un rectángulo 3 x 4;

D) con las 15 fichas que tienen 1 o 2 colores, construir un rectángulo 3 x 5;

E) con las 15 fichas anteriores (que tienen 1 o 2 colores) y otra cualquiera de las que tienen 3 colores, formar un rectángulo de lado 4, luego con cuatro filas y cuatro columnas;

F) dividiendo primero las 24 fichas en dos grupos de 12 fichas, componer dos rectángulos 3 x 4;

G) con todas las 24 fichas construir rectángulos de tamaños 2 x 12, 3 x 8 y 4 x 6 (si a estos últimos les añadimos la condición del perímetro tenemos el rompecabezas de MacMahon, aunque en los dos tamaños anteriores esta condición nos lleva a que no existan soluciones);

H) con todas las 24 fichas construir rectángulos huecos de tamaños 3 x 11, 4 x 10, 5 x 9, 6 x 8 y 7 x 7 (todos ellos de perímetro igual a 24, que son las piezas que tenemos para construirlos).

Los cubos de Nelson

El matemático, programador informático y diseñador de juegos de ingenio estadounidense Harry Lewis Nelson (1932), quien diseñó un juego basado en los cuadrados de MacMahon denominado Pohaku (véanse las siguientes imágenes), planteó la cuestión de si sería posible utilizar las 24 piezas cuadradas de MacMahon como las caras de cuatro cubos (como hay 6 caras por cubo, son 24 caras en total) de manera que, si dos caras comparten una arista, el color de las regiones triangulares de contacto sean del mismo color.

La cuestión planteada por el matemático fue resuelta por su hijo Scott Nelson en 1970, cuando tenía tan solo 9 años y fue el nacimiento de un nuevo rompecabezas. En la siguiente imagen se muestran los cuatro cubos, cumpliendo las condiciones de Harry Nelson, al desplegar en el plano las seis caras de los mismos.

¿En qué consiste el rompecabezas de Nelson? Se trata de crear formas tridimensionales con los cuatro cubos, como una fila de cuatro cubos o los cuatro cubos juntos formando una estructura cuadrada (véase la siguiente imagen), de manera que en las caras visibles se cumpla la condición de que las caras adyacentes tengan el mismo color en las regiones de contacto.

Por ejemplo, las soluciones a las dos figuras anteriores son las siguientes.

Las formas tridimensionales que aparecían en el juego comercial, divididas por nivel de dificultad, eran las siguientes. Nivel para principiantes:

Nivel intermedio:

Nivel experto:

Como cada vez que hablamos de rompecabezas, mi consejo es que construyáis los cuatro cubos de Nelson, cuyas caras son los 24 cuadrados de MacMahon, y disfrutéis del juego.

Bibliografía

1.- Percy A. MacMahon, New Mathematical Pastimes, Cambridge University Press, 1921 (puede obtenerse una copia en pdf a través de la biblioteca digital Internet Archive [archive.org]).

2.- Martin Gardner, Nuevos pasatiempos matemáticos, Alianza editorial, 2018.

3.- Juan Antonio Hans Martín, José Muñoz Santonja y Antonio Fernández-Aliseda Redondo, MacMahon y las matemáticas en colores, SUMA 63, pp. 51-57, 2010.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica