Hace unos años documentándome sobre algunos cómics y novelas gráficas descubrí por casualidad la imagen de la superheroína protagonista de la serie de cómic ECHO (2008-2011), del dibujante y guionista de cómic estadounidense Terry Moore. En la imagen se veía una joven con una especie de traje metálico pegado a su cuerpo y en la parte superior del tórax el símbolo del número de oro, la letra griega Phi, como en la siguiente imagen.

Averigüé un poco más sobre este cómic y terminé comprándome los tres volúmenes (que contienen los 30 números de la serie) publicados en España por Norma Editorial, con la esperanza de que el número áureo tuviera cierta relevancia en la historia, puesto que el símbolo del número de oro era el que identificaba a esta superheroína.

ECHO, de Terry Moore

El autor de esta serie de cómic es el creador de cómics independiente estadounidense Terry Moore (1954), conocido por sus series: Strangers in Paradise (1993-2007), que ha recibido varios premios, como el prestigioso Premio Eisner en 1996, a la mejor serie por entregas y el Premio Reuben, de la National Cartoonists Society, al mejor cómic en 2003; Rachel Rising (2011-2016), que también ha recibido varios premios y nominaciones, el premio al mejor letrista en 2014 y al mejor dibujante en 2015, para su autor, categoría en la que fue nominado en los años 2013, 2014 y 2016, de los Premios Harvey, además, el cómic fue nominado a mejor serie nueva en 2012, y mejor serie continua en 2012 y 2013, así mismo fue nominada a los Premios Eisner, en las categorías de mejor serie continua, en 2012, mejor guionista/artista, en 2012 y 2014, y mejor dibujante, en 2014; o la serie Motor Girl (2016-2017).

La serie de cómics ECHO, de Terry Moore, se publicó en el sello editorial Abstract Studio, sello creado en 1994 por el propio Terry Moore para publicar sus cómics, desde varios de los volúmenes de Strangers in Paradise, así como ECHO, Rachel Rising, Motor Girl o las más recientes Five Years (2019) y Parker Girls (2023).

ECHO ganó el Premio Harvey a la mejor serie nueva, en 2009, así como el Premio Shel Dorf al mejor cómic autopublicado del año, en 2011. Además, fue nominado en las categorías de mejor serie continua y mejor guionista/artista de los Premios Eisner de 2011.

Como hemos mencionado más arriba, esta serie se compone de 30 números, agrupados en seis volúmenes de 5 números cada uno, aunque en España Norma Editorial lo publicó en tres partes (cuyas portadas vemos en la anterior imagen).

Expliquemos de qué va el cómic. La protagonista es Julie Martin, una fotógrafa en un momento difícil de su vida: bancarrota, a punto de divorciarse y su hermana hospitalizada. Un día, mientras trabaja en una sesión de fotos en el desierto, un objeto extraño cae del cielo y se adhiere a su pecho. Este objeto resulta ser una armadura experimental con tecnología avanzada. Entonces su vida cambia por completo. La armadura, que tiene pegada a su cuerpo y no se puede quitar, le otorga habilidades especiales, pero también la convierte en el objetivo de quienes quieren recuperarla, el ejercito de los Estados Unidos y la Agencia Nacional de Seguridad. Además, un misterioso vagabundo que se cree la reencarnación de Dios quiere destruirla. Julie se ve envuelta en una peligrosa persecución, en la que contará con el apoyo de un guarda forestal, Dillon Murphy, mientras intenta descubrir los secretos de la armadura y proteger a sus seres queridos.

El proyecto PHI

En el número 17 del cómic ECHO, perteneciente al volumen 4, titulado Collider, se desvela el motivo por el cual el traje/armadura que Julie tiene pegado al cuerpo tiene la letra griega Phi.

El compañero de aventuras de Julie, Dillon Murphy, que resulta que era el novio de Annie Trotter, la matemática responsable de la creación del traje experimental y su anterior propietaria hasta que muere tras un accidente realizando unas pruebas y el traje acaba accidentalmente en el cuerpo de Julie, junto con otro de los personajes del cómic que ayuda a Julie y Dillon en su búsqueda de respuestas, el barman y motero Dan Backer, quedan para hablar con un científico (Dr. Dumfries) del Instituto Nuclear Heitzer que trabajaba con Annie, con el objetivo de obtener información sobre la armadura experimental y sobre lo que está ocurriendo.

Este científico les explica qué es el Proyecto Phi en el que estaban trabajando en el Instituto Nuclear Heitzer y que dio lugar a tan poderoso traje, un arma con poder suficiente para destruir la Tierra. Les cuenta que todo empezó cuando el instituto contrató a la joven Annie Trotter por su extraordinaria tesis doctoral, sobre la cual acabó cimentándose el Proyecto Phi. Según Annie el sistema de numeración decimal no era el más adecuado para la investigación de temas extremadamente complejos, como los que supuestamente se desarrollaban en el Instituto Nuclear Heitzer, puesto que es un sistema de numeración muy ligado al ser humano, creado a su imagen y semejanza, al basarse en que los humanos tenemos diez dedos en las manos, las cuales fueron nuestra primera calculadora.

En las dos últimas viñetas de la anterior imagen podemos leer lo siguiente:

Básicamente, lo que ella [Annie] decía era que las matemáticas de base 10 eran una aproximación cuyas inexactitudes culminaban en los callejones sin salida de las matemáticas más elaboradas.

Sí, parece una locura, ¿verdad? Pero pensadlo bien … las secuencias de base 10 se desarrollaron en la edad prehistórica. Quiero decir, ¡hemos intentado aplastar un quark con el hueso de Lebombo!

Según la teoría de Annie, “si quieres comprender los mecanismos del universo, debes dejar atrás los mecanismos de la humanidad. Incluyendo la base 10”. Y su solución fue utilizar el sistema de numeración en base Phi (el número áureo), un sistema que, según ella, era más universal que el decimal y más apropiado para las complejas investigaciones que estaban desarrollando en el instituto.

Pero ya volveremos sobre ello, primero veamos qué es eso del hueso de Lebombo y qué pinta en esta historia.

El hueso de Lebombo

El hueso de Lebombo es un trozo de peroné de un babuino, de unos 7,5 centímetros de largo, que se encontró en las montañas de Lebombo, en la frontera entre Suazilandia y Sudáfrica, con 29 muescas o marcas rectas utilizadas para contar, y que tendría entre 41.000 y 43.000 años (según la datación por radiocarbono). Es difícil tener la certeza del significado de esas 29 muescas, pero se cree que podrían representar la fase de la luna, que es de 29 días y 12 horas, luego podría haber sido una especie de calendario lunar, aunque también cabe la posibilidad de que fuese un registro del ciclo de menstruación de una mujer.

En el comic se utiliza el hueso de Lebombo para explicar que el sistema de numeración decimal es muy antiguo, que viene de la prehistoria, y que quizás habría que cambiarlo por un sistema de numeración más actual y moderno, que en el cómic va a ser el sistema de numeración en base el número áureo. Lo curioso es que el hueso de Lebombo está formado por una serie de muescas, en concreto 29 muescas, pero no es un ejemplo de sistema de numeración decimal, sino de los primeros registros numéricos que se han conservado (que podríamos decir que es un sistema de numeración básico en base uno, ya que simplemente se traza una muesca -con valor de uno- veintinueve veces).

Por otra parte, en la imagen del hombre prehistórico sujetando un hueso (en la viñeta comentada), este se parece más al hueso de Ishango, aunque el tamaño tampoco se corresponde, ya que el hueso de verdad este tiene unos 10 centímetros de largo. Es una pequeña licencia artística, lo mismo que utilizar el hueso de Lebombo para ilustrar que el sistema decimal es muy antiguo.

El hueso de Ishango es también un trozo de peroné de un babuino, que se encontró en el territorio que era el Congo Belga, en concreto, en Ishango, en la frontera entre Ruanda y la República Democrática del Congo, cerca del nacimiento del río Nilo. Este hueso también consta de una serie de muescas, pero agrupadas en varios grupos de diferentes cantidades de muescas.

Phi, el número áureo

En las siguientes dos páginas se explica la importancia y universalidad del número de oro, que justificaría la utilización de ese número como base de un sistema de numeración adecuado a la “investigación revolucionaria” que pretenden desarrollar en el Instituto Nuclear Heitzer.

A continuación, recordemos qué es el número de oro, del cual ya hemos hablado en el Cuaderno de Cultura Científica en algunas entradas como Visitad los museos, también en clave matemática, ¿Es áureo el Aston Martin de James Bond? ó Crímenes áureos.

La proporción áurea es un concepto matemático muy antiguo, que ya fue estudiado, al menos, por los griegos, en particular, por los pitagóricos. La definición de esta proporción aparece recogida en el gran texto matemático Los Elementos de Euclides (aprox. 325-265 a.c.). Y dice así:

Se dice que un segmento de recta está dividido en extrema y media razón cuando la longitud del segmento total es a la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la menor.

Es decir, si tenemos un segmento como el que aparece en la siguiente imagen, buscamos el punto del mismo que divide al segmento en dos partes, de longitudes a y b, de forma que la proporción o razón (división) entre la parte mayor y la menor, a/b es igual a la proporción entre la longitud del segmento y la parte mayor (a + b)/a.

Ahora, si llamamos Phi (Φ) al cociente a/b, la condición anterior se puede escribir como la ecuación algebraica siguiente:

Esta es una ecuación algebraica de segundo grado, cuyas soluciones, sin más que utilizar la conocida fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado que estudiamos en el instituto, son:

De estas dos raíces de la ecuación de segundo grado, la proporción buscada (Phi) es la primera, puesto que se corresponde con el caso en el que a es mayor que b, como se considera en la definición, mientras que la otra solución es su inversa ya que se corresponde con el caso en el que el numerador es más pequeño que el denominador, es decir, b/a, la inversa de Phi. Ahora, si tenemos en cuenta quienes son Phi (Φ) y su inversa en la expresión de la definición de esta razón se tiene la siguiente igualdad:

Al número Phi, cuyos primeros dígitos son

1, 61803398874989484820458683436563811772030917…,

se le conoce con varios nombres: “extrema y media razón” (como se le denomina en Los Elementos de Euclides), “divina proporción” (nombre que le dio el matemático italiano Luca Paccioli (aprox. 1447-1517) en su libro Divina proportione (1509)), “proporción áurea”, “sección áurea” (el matemático alemán Martin Ohm (1792-1872) fue el primero en utilizar el término “sección áurea o dorada” en la segunda edición de su libro de texto Die reine Elementar-Mathematik / Matemáticas puras elementales (1835)), “número áureo”, “número de oro” o “Phi” (el físico e inventor Mark Barr (1871-1950) fue quien introdujo el símbolo Phi (Φ) para referirse a este número, ya que era la primera letra griega del nombre del escultor, pintor y arquitecto griego Fidias (aprox. 500-431 a.n.e.), responsable de supervisar la reconstrucción de la Acrópolis de Atenas, en la que está el Partenón, y realizó algunas de las esculturas de este último, como la estatua de la diosa Atenea, quien según algunos autores utilizaba la extrema y media razón para el diseño de sus esculturas). Aunque en muchos textos se afirme que algunos de estos nombres son antiguos, esto no es así, como se ha comentado, salvo en el caso del nombre griego “extrema y media razón”.

El rectángulo áureo

A partir de la definición del número de oro como extrema y media razón de un segmento recto, es decir, como una proporción, surge de manera natural el concepto de rectángulo áureo. Se dice que un rectángulo es áureo si la proporción a/b entre su alto, a, y su ancho, b, es precisamente la divina proporción Phi = 1,618…

Es una creencia muy difundida que el rectángulo áureo es el más bello, o el más placentero estéticamente, entre todos los posibles rectángulos. Por citar uno de los muchísimos ejemplos que existen, en el libro Mathematical Concepts, A Historical Approach / Conceptos matemáticos, una aproximación histórica (1967), de la matemática estadounidense Margaret Willerding (1919-2003), se escribe lo siguiente.

El rectángulo áureo fue utilizado por los arquitectos griegos en las dimensiones de sus templos y otros edificios. Los psicólogos han demostrado que la mayoría de la gente elige inconscientemente tarjetas postales, fotos, espejos y paquetes con estas dimensiones. Por alguna razón, el rectángulo áureo es el que más atractivo artístico tiene.

Esta idea de que el rectángulo áureo es el que nos parece más hermoso viene del experimento realizado en la década de 1860 por el físico, filósofo y psicólogo alemán Gustav Fechner (1801-1887). El experimento era simple y consistió en lo siguiente. Fechner dispuso diez rectángulos de diferentes proporciones, desde el cuadrado (proporción 1) hasta el rectángulo 2:5 (proporción 2,5), pasando por los rectángulos 3:4 (proporción 1,33), 2:3 (proporción 1,5) o 5:8 (proporción 1,6), como se muestran en la siguiente imagen, y preguntó a diferentes personas cuál de ellos les parecía estéticamente más bonito. Tres de los rectángulos se llevaron el 75% de los votos, en concreto, los de proporciones 1,5 (el 20,6%), 1,6 (el 35%) y 1,77 (20%), mientras que los demás no llegaban al 8%, incluso el rectángulo 5:6 (proporción 1,2) prácticamente no fue elegido.

A partir de ese momento, el rectángulo áureo y, en general, la divina proporción, se convirtieron en símbolo de belleza. Por ejemplo, en la The New Columbia Encyclopedia, en su entrada sobre la sección áurea se afirma que

El rectángulo áureo, cuya longitud y anchura son los segmentos de una línea dividida según la sección áurea, ocupa un lugar importante en la pintura, la escultura y la arquitectura, porque sus proporciones se han considerado durante mucho tiempo las más atractivas a la vista.

Aunque, muchos investigadores modernos han puesto en duda el experimento estadístico de Gustav Fechner, por el uso de tan solo 10 opciones y la disposición de los rectángulos, de forma ordenada, en orden creciente de sus proporciones. En este sentido, un artículo muy interesante que pone en duda algunas de las creencias sobre la sección áurea, entre ellas esta, según la cual, el rectángulo áureo es el rectángulo más agradable desde el punto de vista estético, es Misconceptions about the Golden Ratio / Confusiones sobre la proporción áurea, del matemático George Markowsky. En particular, afirma que tendrían que haberse considerado muchos más rectángulos y distribuidos de una forma aleatoria, por ejemplo, como en la siguiente imagen.

En las últimas décadas se han realizado muchos intentos de reproducir el experimento de Fechner, de manera más rigurosa, por diferentes investigadores, entre ellos psicólogos y matemáticos, algunos con la idea de avalar el trabajo de Fechner, otros para tirarlo por tierra y algunos para ver cuál puede ser la realidad, obteniéndose todo tipo de respuestas. Esto merecería un análisis más profundo, que no voy a realizar en esta entrada. De hecho, hay varias cuestiones interesantes relacionadas, como la metodología del experimento (claramente la de Fechner no fue la adecuada), si la pregunta directa de cuál de los rectángulos es más hermoso no induce a reflexionar sobre ella y a dar una respuesta más racional, y finalmente si el hecho de que durante mucho tiempo se haya dado por bueno que el rectángulo áureo es el más hermoso no condiciona en la actualidad las respuestas. Para leer un poco más sobre el tema podéis consultar el libro de Mario Livio, La proporción áurea, La historia de phi, el número más sorprendente del mundo, o realizar vuestra propia investigación sobre los estudios realizados.

Dejando aparte estas cuestiones, veamos cómo construir un rectángulo áureo de forma sencilla. Dado un cuadrado (en la imagen el cuadrado ABCD), que podemos considerar de lado 1, es fácil ver, por el teorema de Pitágoras, que el segmento que va desde el punto M que está en la mitad de uno de los lados (el de abajo, AB, en la imagen) a uno de los vértices del lado opuesto (el de arriba a la derecha, C, en la imagen) tiene longitud igual a raíz cuadrada de 5 dividido 2 (√5/2). Si ahora trazamos el arco de circunferencia centrado en M y de radio esa longitud, es decir, que pasa por el punto C, y llamamos E al punto de intersección de la circunferencia con la recta que extiende el segmento AB, entonces el rectángulo creado AEFD es un rectángulo áureo, puesto que el largo es Phi [1/2 + √5/2 = (1 + √5)/2] y el ancho es 1, luego tiene proporción áurea.

Una de las particularidades de esta construcción es que el pequeño rectángulo BEFC añadido al cuadrado ABCD para formar el rectángulo áureo AEFD, también es un rectángulo áureo. Por lo tanto, ese rectángulo áureo BEFC también puede descomponerse en un cuadrado y un pequeño rectángulo áureo, como se muestra en la siguiente imagen. A ese más pequeño rectángulo, que también es áureo, le podríamos descomponer, una vez más, en cuadrado y pequeño rectángulo áureo, y así hasta el infinito.

Un universo Phi

Volvamos al cómic ECHO para ver cómo aparece el número Phi. Como comentábamos más arriba, Phi es el nombre del proyecto que ha dado lugar a ese traje experimental con tecnología muy avanzada. El motivo del nombre, Proyecto Phi, era que la matemática Annie Trotter se había dado cuenta de que la clave para avanzar en una investigación tan compleja era desechar el sistema de numeración decimal, que es un sistema de numeración muy humano (“si quieres comprender los mecanismos del universo, debes dejar atrás los mecanismos de la humanidad. Incluyendo la base 10”), por un sistema más universal, el sistema de numeración en base Phi (que explicaré en mi siguiente entrada del Cuaderno de Cultura Científica).

Nos habíamos quedado en el punto del cómic en el que se explica la importancia y universalidad del número de oro. En este punto se produce el siguiente diálogo.

[Dr. Dumfries]: Annie recalculó las teorías más importantes usando la base Phi y cambió todo lo que pensábamos que sabíamos de la Física. ¡Tachán!

[Dan Backer]: Phi. ¿1,618, Phi?

[Dr. Dumfries]: ¡Sí! ¡Exactamente!

[Dillon Murphy]: ¿Cómo es que conoces Phi?

[Dan Backer]: Me gusta el Arte.

[Dillon Murphy]: Estoy perdido.

[Dr. Dumfries]: Es muy simple. El Phi lleva por aquí desde el imperio babilonio, por lo menos. Los griegos a los que te referías Dillon… en tiempos antiguos, definieron Phi como el extremo de una línea, y significa proporción.

[Griego 1]: Es un número irracional.

[Griego 2]: Pero es la solución a tu ecuación cuadrática.

Y entonces nos encontramos con las siguientes viñetas.

En la segunda viñeta de la imagen se dice “cuando el ser humano se dio cuenta de este fenómeno, empezó a verlo por todas partes” y mediante dibujos se indica que la divina proporción se encuentra en la Naturaleza, tanto en las plantas en relación con los números de Fibonacci (es cierto que en la Filotaxis, una parte de la Botánica, los números de Fibonacci y el ángulo áureo juegan un papel fundamental, como se puede ver, por ejemplo, en la conferencia El teorema de la Rosa), como en las medidas de los animales o las personas, y además se utiliza en la Música, el Arte, la Arquitectura o el Diseño. Sobre todo esto no hablaremos hoy, aunque pueden leerse las entradas del Cuaderno de Cultura Científica anteriormente citadas o las referencias de la bibliografía.

La estructura del cómic

En la siguiente entrada del Cuaderno de Cultura Científica hablaremos del sistema de numeración en base Phi que se ha mencionado y que era tan importante, en la ficción, para la matemática Annie Trotter y su investigación.

Para terminar esta entrada mostraremos que no solo aparece el número áureo en el contenido del cómic ECHO, sino también en su estructura. Para empezar, cada página del cómic está formada por un rectángulo de viñetas, como es habitual en la mayoría de los cómics, pero en este caso este rectángulo es áureo, como puede verse en la siguiente imagen (en la que hemos tomado el dibujo original de una de las páginas del cómic que Terry Moore tiene colgadas en el blog de la editorial Abstract Studio).

Si nos fijamos bien en el dibujo original, hay diferentes líneas que marcan la estructura del dibujo, una de ellas es la que se corresponde con la descomposición del rectángulo áureo en un cuadrado y un pequeño rectángulo áureo (que a su vez se puede descomponer), que en este caso determina la estructura del dibujo, como se ve en la siguiente imagen.

Pero incluso los diseños de algunas de las viñetas están marcados por el rectángulo áureo y sus descomposiciones. Veamos algunos ejemplos.

Bibliografía

1.- Mario Livio, La proporción áurea, La historia de phi, el número más sorprendente del mundo, Ariel, 2006.

2.- George Markowsky, Misconceptions about the Golden Ratio, The College Mathematical Journal 23, n. 1, 1992.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica