La mecánica cuántica ha logrado finalmente formularse utilizando únicamente números reales, abriendo una nueva etapa en el estudio de un viejo rompecabezas matemático situado en el corazón de la teoría.

Un artículo de Daniel Garisto. Historia original reimpresa con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente respaldada por la Fundación Simons.

Hace un siglo, el extraño comportamiento de los átomos y de las partículas elementales llevó a los físicos a crear una nueva teoría de la naturaleza. La mecánica cuántica triunfó de inmediato, demostrando su valor con cálculos muy precisos de la emisión y absorción de luz del hidrógeno. Pero había un problema: la ecuación central de la teoría incluía el número imaginario i, la raíz cuadrada de −1.

Los físicos sabían que i era una construcción matemática. Las magnitudes físicas reales, como la masa o el momento lineal, nunca generan valores negativos al ser elevadas al cuadrado. Aun así, este número “irreal”, que cumple i² = −1, parecía ocupar un lugar esencial en el mundo cuántico.

Tras derivar la ecuación plagada de números imaginarios —la ley de movimiento para entidades cuánticas— Erwin Schrödinger expresó su esperanza de que algún día fuese reemplazada por una versión enteramente real. («Hay sin duda cierta tosquedad en su forma actual», escribió en 1926.) Pese a su rechazo, la presencia de i se mantuvo, y generaciones posteriores de físicos utilizaron su ecuación sin demasiada preocupación.

En 2021, el papel de los números imaginarios en la teoría cuántica volvió a captar la atención. Un equipo de investigadores propuso un método para determinar empíricamente si i es realmente esencial para la teoría cuántica o solo una comodidad matemática. Dos grupos llevaron a cabo los complejos experimentos necesarios y encontraron pruebas aparentemente concluyentes de que la teoría cuántica necesita i.

Sin embargo, este año una serie de artículos científicos ha cuestionado esa conclusión.

En marzo, un grupo de teóricos con sede en Alemania rebatió los estudios de 2021, proponiendo una versión de la teoría cuántica basada exclusivamente en números reales exactamente equivalente a la versión estándar. Poco después, dos teóricos en Francia presentaron su propia formulación de una teoría cuántica en valores reales. Y en septiembre, otro investigador llegó al mismo resultado desde el campo de la computación cuántica: i no es estrictamente necesario para describir la realidad cuántica.

Aunque estas teorías evitan usar explícitamente el número imaginario, conservan características propias de su aritmética. Esto lleva a algunos investigadores a preguntarse si el aspecto imaginario de la mecánica cuántica —o incluso de la realidad misma— ha desaparecido realmente.

Como señala Jill North, filósofa de la física en la Universidad Rutgers, «la formulación matemática guía lo que inferimos sobre la naturaleza del mundo físico».

Valores imposibles

En Ámsterdam, en 1637, en pleno apogeo de la fiebre de los tulipanes, René Descartes se enfrentó a ecuaciones cuyas soluciones parecían tener valores imposibles. Tomó como ejemplo la ecuación cúbica x³ – 6x² + 13x – 10 = 0. Descartes observó que sus soluciones «no son siempre reales; a veces solo imaginarias… En ocasiones no existe cantidad alguna que corresponda a lo que uno imagina». En este caso, las soluciones son 2, 2 − i y 2 + i. Estos últimos números, con parte real e imaginaria, pasaron a denominarse números complejos.

Aunque Descartes los despreciaba, los números complejos acabaron adoptándose por su gran utilidad en campos como la geometría, la óptica o el análisis de señales.

Schrödinger reconoció a regañadientes que eran prácticos en la teoría cuántica. Su ecuación describe cómo evoluciona la función de onda, una entidad que representa los posibles estados cuánticos de un sistema y que puede interferir como lo hacen las ondas. Aunque todas las mediciones físicas arrojan valores reales, la función de onda es una función de valores complejos. «La teoría cuántica es realmente la primera teoría física donde los números complejos aparecen de forma completamente central», comenta el físico Bill Wootters.

Un número complejo puede representarse como un punto en un plano, y como un vector que apunta desde el origen hacia la posición (a, b). Multiplicar por i equivale a rotar ese vector 90 grados. Estas propiedades encajaban de manera natural con el comportamiento ondulatorio y vectorial de los estados cuánticos.

A lo largo del tiempo, varios físicos intentaron reformular la teoría usando únicamente números reales. En 1960, Ernst Stueckelberg desarrolló una mecánica cuántica en valores reales que imitaba las rotaciones del plano complejo mediante trucos matemáticos. Sin embargo, donde la formulación compleja era compacta, la formulación real resultaba engorrosa. Por ejemplo, describir la función de onda de dos partículas requiere cuatro números complejos, pero la formulación de Stueckelberg necesita dieciséis números reales.

Aun así, en 2008 y 2009 dos equipos demostraron que estas teorías podían reproducir los resultados estándar del test de Bell, una prueba fundamental para la teoría cuántica. «Para muchas cosas, la teoría en valores reales funciona», señala Wootters. Pero quedaba una cuestión abierta: ¿funcionaría siempre?

Supuestos fundamentales

En 2021, Nicolas Gisin y su grupo idearon una manera de poner a prueba los límites de las teorías en valores reales mediante una versión más elaborada del test de Bell. En este test extendido había dos fuentes distintas de partículas entrelazadas y tres participantes: Alice, Bob y Charlie. Sus cálculos mostraron que, para una teoría basada solo en números reales, la correlación máxima posible entre las mediciones era más baja que en la teoría cuántica compleja. Por tanto, existía una prueba empírica capaz de descartar definitivamente las teorías reales.

Un equipo de la Universidad de Ciencia y Tecnología de China llevó a cabo el experimento y encontró correlaciones muy superiores al límite real. Todo parecía indicar que los números complejos eran indispensables.

Pero el resultado no convenció a todos.

Algunos físicos señalan que los números complejos no son más que pares de números reales con reglas de combinación particulares. ¿Por qué no iba a ser posible describir la mecánica cuántica usando únicamente números reales?

Los equipos francés y alemán cuestionaron además un supuesto fundamental del artículo de 2021: que una teoría real tenía que usar el mismo producto tensorial que la teoría compleja. Ese producto tensorial, explican, no es más que un caso particular de una familia más amplia de reglas de combinación de vectores. En espacios curvos, por ejemplo, la suma de cuadrados para calcular la hipotenusa ya no se cumple. De forma análoga, distintos productos tensoriales pueden aplicarse en teorías reales. Usando estas nuevas reglas, ambos equipos han construido teorías en valores reales completamente equivalentes a la teoría cuántica estándar.

En paralelo, Craig Gidney, experto en computación cuántica en Google, demostró que cualquier algoritmo cuántico puede escribirse sin recurrir a la puerta lógica T, que introduce rotaciones en el plano complejo. Su resultado numérico mostró que la computación cuántica no necesita números complejos.

¿Por qué son tan naturales los complejos?

La viabilidad de las teorías en valores reales plantea una pregunta profunda: si podemos prescindir de i, ¿por qué la formulación compleja es tan sencilla y elegante? Schrödinger ya lo había observado hace un siglo: trabajar con funciones de onda complejas simplifica enormemente los cálculos.

Para muchos físicos, esto no es casualidad. La teoría cuántica compleja, con su producto tensorial natural, sigue siendo más concisa y directa que las alternativas reales. Incluso cuando la teoría se reescribe exclusivamente con números reales, su estructura interna sigue reflejando la aritmética de los números complejos. Como comenta Wootters: «Incluso en su versión real, se ve la huella de la aritmética compleja».

Los propios defensores de las teorías reales admiten que, en el fondo, estas imitan el comportamiento de los números complejos, especialmente su capacidad para generar rotaciones. «Simulamos los números complejos mediante números reales», reconoce Anton Trushechkin, físico de la Universidad heinrich Heine de Düsseldorf y coautor del artículo alemán.

Para la filósofa Jill North, los números complejos parecen encajar de manera especialmente natural en la estructura cuántica. Su objetivo es identificar qué rasgo profundamente cuántico —quizá el espín, una propiedad sin análogo clásico— hace que esa formulación sea tan adecuada.

A otros les inquieta que los números complejos sigan apareciendo de forma encubierta en las teorías reales. Para Vlatko Vedral, de la Universidad de Oxford, esto sugiere que su esencia sigue presente, y que su aparente desaparición podría estar exagerada. Su aspiración sería encontrar axiomas más simples e intuitivos que permitieran reconstruir la teoría cuántica desde cero de una forma completamente nueva.

«No tenemos ni una sola alternativa a cómo se planteó la mecánica cuántica hace cien años», reflexiona Vedral. «Y la pregunta es: ¿por qué? ¿Por qué no podemos ir más allá?».

El artículo original, Physicists Take the Imaginary Numbers Out of Quantum Mechanics, se publicó el 17 de noviembre de 2025 en Quanta Magazine. Cuaderno de Cultura Científica tiene un acuerdo de distribución en castellano con Quanta Magazine.

Traducido por César Tomé López