Los matemáticos comprenden finalmente el comportamiento de una importante clase de ecuaciones diferenciales que describen todo, desde la presión del agua hasta los niveles de oxígeno en los tejidos humanos.

Un artículo de Paulina Rowińska. Historia original reimpresa con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente respaldada por la Fundación Simons.

La trayectoria de una tormenta, la evolución de los precios de las acciones, la propagación de una enfermedad: los matemáticos pueden describir cualquier fenómeno que cambie en el tiempo o en el espacio mediante lo que se conoce como ecuaciones diferenciales parciales. Pero hay un problema: estas «EDP» suelen ser tan complicadas que resulta imposible resolverlas directamente.

En su lugar, los matemáticos recurren a un ingenioso rodeo. Puede que no sepan calcular la solución exacta de una ecuación dada, pero pueden intentar demostrar que dicha solución debe ser «regular», o bien comportada en cierto sentido; por ejemplo, que sus valores no den saltos repentinos físicamente imposibles. Si una solución es regular, los matemáticos pueden utilizar diversas herramientas para aproximarla y así comprender mejor el fenómeno que quieren estudiar.

Sin embargo, muchas de las EDP que describen situaciones realistas han permanecido fuera de alcance. Los matemáticos no han logrado demostrar que sus soluciones sean regulares. En particular, algunas de estas ecuaciones inalcanzables pertenecen a una clase especial de EDP para la que los investigadores desarrollaron durante un siglo toda una teoría, una teoría que nadie consiguió hacer funcionar para esta subclase concreta. Se toparon con un muro.

Ahora, dos matemáticos italianos han logrado por fin romper esa barrera, ampliando la teoría para abarcar esas EDP más desordenadas. Su artículo, publicado el verano pasado, marca la culminación de un ambicioso proyecto que, por primera vez, permitirá a los científicos describir fenómenos reales que durante mucho tiempo han desafiado el análisis matemático.

Traviesas o buenas

Durante una erupción volcánica, un río abrasador y caótico de lava fluye sobre el terreno. Pero al cabo de horas o días (o quizá incluso más tiempo), se enfría lo suficiente como para entrar en un estado de equilibrio. Su temperatura deja de cambiar de un momento a otro, aunque sigue variando de un lugar a otro en la vasta extensión de espacio que cubre la lava.

Los matemáticos describen situaciones como esta mediante lo que se llaman EDP elípticas. Estas ecuaciones representan fenómenos que varían en el espacio pero no en el tiempo, como la presión del agua que fluye a través de una roca, la distribución de tensiones en un puente o la difusión de nutrientes en un tumor.

Pero las soluciones de las EDP elípticas son complicadas. La solución de la EDP de la lava, por ejemplo, describe su temperatura en cada punto, dadas unas condiciones iniciales. Depende de muchas variables que interactúan entre sí.

Los investigadores quieren aproximar esa solución incluso cuando es imposible escribirla de forma explícita. Pero los métodos que utilizan solo funcionan bien si la solución es regular, es decir, si no presenta saltos ni quiebros bruscos (no habrá picos afilados en la temperatura de la lava de un lugar a otro). «Si algo falla, probablemente se deba a la [falta de] regularidad», explica Makson Santos, de la Universidad de Lisboa.

En la década de 1930, el matemático polaco Juliusz Schauder trató de establecer las condiciones mínimas que debe satisfacer una EDP elíptica para garantizar que sus soluciones sean regulares. Demostró que, en muchos casos, basta con probar que las reglas incorporadas en la ecuación —como la regla que describe la rapidez con la que se propaga el calor en la lava— no cambian de forma demasiado abrupta de un punto a otro.

En las décadas transcurridas desde la demostración de Schauder, los matemáticos han mostrado que esta condición es suficiente para asegurar que cualquier EDP que describa un material «agradable» y uniforme tiene soluciones regulares. En un material así, existe un límite a lo extremas que pueden ser las reglas subyacentes. Por ejemplo, si se supone que la lava es uniforme, el calor siempre fluirá dentro de ciertos límites de velocidad, nunca demasiado rápido ni demasiado lento.

Pero la lava es en realidad una mezcla diversa de roca fundida, gases disueltos y cristales. En un material no uniforme como este, no se pueden controlar los extremos, y pueden aparecer diferencias más drásticas en la rapidez con la que se propaga el calor según el lugar: algunas regiones de la lava pueden conducir el calor extremadamente bien y otras extremadamente mal. En este caso, se utiliza una EDP «no uniformemente elíptica» para describir la situación.

Durante décadas, nadie pudo demostrar que la teoría de Schauder siguiera siendo válida para este tipo de EDP.

Por desgracia, «el mundo real es no uniformemente elíptico», explica Giuseppe Mingione, matemático de la Universidad de Parma, en Italia. Eso significaba que los matemáticos estaban atascados. Mingione quería entender por qué.

Máquina del tiempo

En agosto de 2000, Mingione —con 28 años y recién doctorado— se encontraba en un viejo balneario en ruinas de Rusia, asistiendo a un congreso sobre ecuaciones diferenciales. Una noche, sin nada mejor que hacer, empezó a leer artículos de Vasiliĭ Vasil’evich Zhikov, un matemático al que había conocido en el viaje, y se dio cuenta de que las EDP no uniformemente elípticas que parecen bien comportadas pueden tener soluciones irregulares incluso cuando satisfacen la condición identificada por Schauder. La teoría de Schauder no era simplemente más difícil de demostrar en el caso no uniforme: necesitaba una actualización.

De vuelta en Italia, se unió a dos colegas y propuso que las EDP no uniformemente elípticas debían satisfacer una condición adicional para garantizar que sus soluciones fueran regulares. No solo las reglas que gobiernan el flujo de calor tenían que cambiar gradualmente de un punto a otro, sino que esos cambios debían estar estrictamente controlados para tener en cuenta la no uniformidad de la lava. En particular, sostenían los matemáticos, cuanto más desigual sea el material, más estricto debe ser ese control. Representaron esta condición mediante una desigualdad, que daba un umbral preciso de cuánta no uniformidad podía tolerar un sistema.

Mostraron que, para las EDP en las que la desigualdad no se cumple, ya no se puede garantizar que las soluciones sean regulares. Pero no pudieron demostrar que la desigualdad marque exactamente el punto en el que las soluciones pasan de ser regulares a potencialmente irregulares. Mingione pasó años trabajando en el problema, sin éxito. Finalmente, abandonó el intento.

Pasaron casi 20 años. Entonces, en 2017, una estudiante de primer año de doctorado llamada Cristiana De Filippis oyó hablar de la búsqueda de una extensión de la teoría de Schauder a ecuaciones no uniformemente elípticas. Matemáticos con más experiencia le advirtieron que no se metiera en ese problema, pero ella ignoró el consejo y se puso en contacto con Mingione. En una llamada nocturna por Skype, le dijo que tenía algunas ideas sobre cómo demostrar su conjetura y que estaba decidida a retomar el trabajo donde él lo había dejado.

«Fue como una máquina del tiempo», cuenta Mingione. «Fue como encontrarme conmigo mismo de hace 20 años llamando a la puerta de mi propia mente».

Según él, fue la «nueva energía, el entusiasmo y la fe en que esto se podía hacer» de De Filippis lo que le convenció de reactivar su intento, largamente dormido, de demostrar su conjetura.

Milagros

La clave para demostrar que la solución de una EDP es regular consiste en mostrar que siempre cambia de manera controlada. Los matemáticos lo hacen estudiando una función especial que describe con qué rapidez cambia la solución en cada punto. Quieren demostrar que esta función, llamada gradiente, no puede hacerse demasiado grande.

Pero, del mismo modo que suele ser imposible calcular directamente la solución de una EDP, también suele ser imposible calcular su gradiente.

En su lugar, De Filippis y Mingione dedujeron de la EDP original lo que llamaron una «ecuación fantasma», una sombra de aquello que realmente necesitaban.

Ahí es donde Mingione se había quedado atascado décadas antes. Pero De Filippis tuvo una idea para afinar la ecuación fantasma de modo que ofreciera una visión más nítida de la EDP. Mediante un procedimiento largo y de muchos pasos, la pareja consiguió extraer de la ecuación fantasma información suficiente para reconstruir el gradiente.

«Es un poco rebuscado hacerlo así», comenta Simon Nowak, de la Universidad de Bielefeld, en Alemania. «Pero funciona, y es bastante bonito».

Ahora tenían que averiguar cómo demostrar que el gradiente recuperado no podía hacerse demasiado grande. Lo descompusieron en piezas más pequeñas y demostraron que cada una de ellas no podía superar un tamaño determinado. Esto requirió un esfuerzo enorme: incluso un diminuto error de medida en una sola pieza arruinaría su estimación del gradiente y los alejaría del umbral que pretendían demostrar.

En un preprint de 2022, lograron controlar todas esas piezas lo suficiente como para demostrar que la mayoría de las EDP no uniformemente elípticas que satisfacen la desigualdad de Mingione deben tener soluciones regulares. Pero todavía faltaban algunas EDP. Para demostrar la conjetura completa, los matemáticos tuvieron que obtener cotas aún mejores para el tamaño de las piezas del gradiente. No había absolutamente ningún margen de maniobra. Eso obligó a empezar de nuevo muchas veces: «un juego interminable», dice De Filippis. Pero, al final, consiguieron demostrar que el umbral que Mingione había previsto décadas atrás era exactamente el correcto.

Fue «un milagro por desesperación», afirma él.

De Filippis y Mingione no solo han completado un proyecto de un siglo de duración. También han hecho posible que los matemáticos estudien procesos reales complejos que hasta ahora tenían que modelizarse mediante ecuaciones irrealmente simplificadas.

Los investigadores también están entusiasmados por aplicar sus técnicas al estudio de otros tipos de ecuaciones diferenciales parciales, incluidas las que cambian tanto en el espacio como en el tiempo. «La parte mágica es que estaban reuniendo toda esta teoría profunda bajo un mismo paraguas y luego extrayendo de ahí la demostración», comenta Tuomo Kuusi, de la Universidad de Helsinki.

Las EDP siempre han sido casi prohibitivamente difíciles de analizar desde el punto de vista matemático. Ahora lo son un poco menos. Detrás de ellas, dice De Filippis, «hay una enorme realidad» esperando ser explicada.

El artículo original, Long-Sought Proof Tames Some of Math’s Unruliest Equations, se publicó el 8 de diciembre de 2025 en Quanta Magazine.

Traducido por César Tomé López