Las matemáticas que explican por qué hay campanas de Gauss por todas partes

El teorema central del límite empezó como un truco de bar para los jugadores del siglo XVIII. Hoy en día, los científicos recurren a él a diario.

Un artículo de Joseph Howlett. Historia original reimpresa con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente respaldada por la Fundación Simons.

Mires donde mires, hay una curva de campana cerca.

Coloca una jarra medidora en tu patio cada vez que llueva y anota la altura del agua cuando deje de llover: tus datos se ajustarán a una curva de campana. Registra las estimaciones de 100 personas sobre el número de caramelos en un tarro, y seguirán una curva de campana. Mide suficientes alturas de mujeres, pesos de hombres, puntuaciones de la selectividad, tiempos de maratón… siempre obtendrás la misma forma suave y redondeada que se estrecha en los extremos.

¿Por qué aparece la curva de campana en tantos conjuntos de datos?

La respuesta se reduce al teorema central del límite, una verdad matemática tan poderosa que a menudo parece imposible para quienes la conocen por primera vez, como un truco de magia de la naturaleza. “El teorema central del límite es bastante asombroso porque es contraintuitivo y sorprendente”, comenta Daniela Witten, bioestadística de la Universidad de Washington. Gracias a él, el caos más aleatorio e inimaginable puede dar lugar a una notable capacidad de predicción.

Hoy es un pilar sobre el que descansa gran parte de la ciencia empírica moderna. Casi cada vez que un científico utiliza mediciones para inferir algo sobre el mundo, el teorema central del límite está presente en algún punto del método. Sin él, sería difícil que la ciencia pudiera afirmar nada, con un mínimo de confianza, sobre nada.

“No creo que el campo de la estadística existiera sin el teorema central del límite”, afirma Larry Wasserman, estadístico de la Universidad Carnegie Mellon. “Lo es todo”.

Del vicio, pureza

Quizá no debería sorprender que el impulso por encontrar regularidad en el azar surgiera del estudio de los juegos de apuestas.

En los cafés del Londres de principios del siglo XVIII, el talento matemático de Abraham de Moivre era evidente. Muchos de sus contemporáneos, entre ellos Isaac Newton y Edmond Halley, reconocieron su brillantez. De Moivre era miembro de la Royal Society, pero también era un refugiado, un francés que había huido de su país siendo joven ante la persecución contra los protestantes. Como extranjero, no pudo conseguir un puesto académico estable acorde con su talento. Así que, para poder pagar sus facturas, se convirtió en asesor de jugadores que buscaban ventaja matemática.

Lanzar una moneda, tirar un dado o sacar una carta de una baraja son acciones aleatorias, con todos los resultados igualmente probables. Lo que de Moivre comprendió es que, al combinar muchas acciones aleatorias, el resultado sigue un patrón fiable.

Lanza una moneda 100 veces y cuenta cuántas veces sale cara. Estará en torno a 50, pero no con gran precisión. Repite este juego 10 veces y es posible que obtengas 10 resultados distintos.

Ahora imagina jugar 1 millón de veces. La mayoría de los resultados estarán cerca de 50. Casi nunca obtendrás menos de 10 caras ni más de 90. Si haces un gráfico del número de veces que aparece cada valor entre cero y 100, verás esa forma clásica de campana, con 50 en el centro. Cuantas más veces repitas el experimento, más suave y definida será la campana.

De Moivre dedujo la forma exacta de esta campana, que pasó a llamarse distribución normal. Esta le permitía, sin necesidad de jugar realmente, conocer la probabilidad de los distintos resultados. Por ejemplo, la probabilidad de obtener entre 45 y 55 caras es de aproximadamente el 68 %.

De Moivre contemplaba con devoción casi religiosa el “orden constante del universo” que finalmente se imponía sobre cualquier desviación respecto a la campana. “Con el tiempo”, escribió, “estas irregularidades no guardarán proporción con la recurrencia de ese orden que resulta naturalmente de un diseño original”.

Utilizó estas ideas para sostener una vida modesta en Londres, escribiendo un libro titulado The Doctrine of Chances, que se convirtió en la biblia de los jugadores, y ofreciendo consultas informales en el famoso Old Slaughter’s Coffee House. Pero ni siquiera de Moivre comprendió el alcance completo de su descubrimiento. Solo cuando Pierre-Simon Laplace desarrolló la idea en 1810, décadas después de la muerte de de Moivre, se desveló toda su amplitud.

Consideremos un ejemplo algo más complejo que lanzar monedas: tirar dados. Cada lanzamiento de un dado tiene seis resultados igualmente probables. Si lo lanzas repetidamente y registras los resultados, obtendrás un gráfico plano: aparecerán aproximadamente tantos unos como doses, cuatros o seises.

Ahora lanza ese dado 10 veces y calcula la media. Probablemente obtendrás un valor cercano a 3,5. Repite el experimento muchas más veces y representa todos los resultados. Obtendrás una curva de campana con un máximo en 3,5 y una estructura perfectamente definida a ambos lados.

Esa es la magia del teorema central del límite. Partes de una distribución de resultados posibles sin estructura alguna —todas las caras del dado con la misma probabilidad—. Pero al tomar la media de múltiples mediciones, y repetir ese proceso una y otra vez, obtienes una estructura matemática precisa y predecible: la curva de campana.

Laplace condensó esta estructura en una fórmula sencilla, la que más tarde se conocería como el teorema central del límite. No importa cuán irregular sea un proceso aleatorio, incluso si es imposible de modelizar: la media de muchos resultados sigue la distribución que describe este teorema. “Es realmente potente, porque significa que no necesitamos preocuparnos por cuál es la distribución de los valores que se han promediado”, explicó Witten. “Lo único que importa es que la propia media va a seguir una distribución normal”.

Una herramienta omnipresente

Puede parecer que calcular medias es algo propio de los humanos, pero el teorema central del límite se aplica de forma invisible a todo tipo de fenómenos observables en el mundo, como la altura de las personas. “La estatura de alguien puede depender de la de su padre, la de su madre, su genética, su alimentación y todos esos pequeños efectos que se suman”, explica Jeffrey Rosenthal, estadístico de la Universidad de Toronto. Esos efectos son independientes entre sí (por lo general, la altura de tu padre no tiene nada que ver con lo que comes). “Es como hacer la media de muchos pequeños efectos”, añadió Rosenthal, y por eso la estatura sigue aproximadamente una distribución normal.

Por eso tantos conjuntos de datos parecen ajustarse espontáneamente a esta forma tan elegante. “En cualquier situación en la que haya una media subyacente, si es una media de suficientes factores, acabarás obteniendo una distribución normal”, dijo Witten.

El teorema también proporciona a los estadísticos la capacidad de detectar cuándo algo no encaja. Supongamos que estás tomando café en el Old Slaughter’s y un cliente te da una moneda apostando a que no puedes obtener 45 caras en 100 lanzamientos. Lo intentas y solo consigues 20. ¿Cómo saber si la moneda está trucada y el proceso no es tan aleatorio como debería? Gracias al teorema central del límite, sabes que los resultados de hasta 20 caras representan solo el 0,15 % de la campana, por lo que hay únicamente un 0,15 % de probabilidad de que una moneda equilibrada produzca un resultado tan bajo. Es casi seguro que te están engañando.

Ese es el verdadero poder de la fórmula de Laplace. Sabía que al promediar cualquier proceso se obtiene una curva de campana, lo que permite decir algo sobre ese proceso sin conocer en profundidad cómo funciona.

Úsese con precaución

A pesar de su papel central en la ciencia moderna, el teorema central del límite tiene sus propios límites. Solo funciona cuando se combinan muchas muestras, y estas deben ser independientes. Si no lo son —por ejemplo, si realizas una encuesta nacional solo en una pequeña localidad de Maine—, repetir el experimento no te acercará a la curva de campana esperada.

Y a veces, en ciencia, los valores atípicos pueden ser más importantes que la media. “Las ‘inundaciones centenarias’ están ocurriendo cada vez con más frecuencia”, señala Richard D. De Veaux, estadístico aplicado en el Williams College. “Hoy en día, modelizar eventos extremos es probablemente tan importante como modelizar la media”.

Afortunadamente, la idea que subyace al teorema central del límite —la potencia y la fiabilidad de las medias— se ha aplicado ampliamente para ampliar el alcance de la estadística. Los estadísticos suelen formular una versión del teorema adaptada al problema específico en el que trabajan. “Hay muchísimas situaciones más complejas en las que, si eres ingenioso, puedes escribirlas como una media muestral más algún término de error”, explicó Wasserman. En esos casos, se puede utilizar una variante del teorema para simplificar el problema.

El teorema central del límite es un pilar de la ciencia moderna, en última instancia, porque es un pilar del mundo que nos rodea. Cuando combinamos muchas mediciones independientes, obtenemos agrupaciones. Y, si somos lo suficientemente ingeniosos, podemos utilizar esas agrupaciones para descubrir algo interesante sobre los procesos que las han generado.

El artículo original, The Math That Explains Why Bell Curves Are Everywhere, se publicó el 16 de marzo de 2026 en Quanta Magazine. Cuaderno de Cultura Científica tiene un acuerdo de distribución en castellano con Quanta Magazine.

Traducido por César Tomé López