El ‘truelo’ de «el bueno», «el feo» y «el malo»

Imagen del duelo final de la película “El bueno, el feo y el malo” de Sergio Leone.

Imagen del duelo final de la película “El bueno, el feo y el malo” de Sergio Leone.

Rubio –«el bueno»–, Tuco –«el feo»– y Angel Eye –«el malo»– se enfrentan en un duelo a tres, que llamaremos un ‘truelo’.

Deciden que disparará en primer lugar Rubio, luego Tuco y por último Angel Eye; después de nuevo –«el bueno», y así sucesivamente, por turnos, hasta que sólo quede uno de ellos vivo. Si uno de ellos muere, se pasa al siguiente en este orden de disparos.

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Rubio es el que peor puntería tiene de los tres: tiene una probabilidad de 1/3 de matar a su adversario al disparar. Tuco acierta con 1/2 de probabilidad, y Angel Eye nunca falla el tiro.

Todos ellos conocen la probabilidad de éxito al disparar del resto de los contrincantes, y sólo buscan ganar el duelo, es decir, sobrevivir.

Cada uno de ellos puede elegir su estrategia como desee, incluso disparar al aire.

¿Qué debe hacer «el bueno»?

Vamos a argumentar las tres elecciones que puede realizar para ver con cuál de ellas tiene la mayor probabilidad de sobrevivir.

1) Rubio dispara a Tuco

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Esta estrategia no es buena. Si acierta en su tiro, se encuentra frente a Angel Eye, y morirá con toda seguridad, ya que «el malo» nunca falla.

Si no acierta en su tiro, es decir, si Tuco sobrevive, tiene la misma probabilidad de sobrevivir que si hubiera tirado al aire.

Es decir, la probabilidad de sobrevivir es inferior a la probabilidad de sobrevivir si erra su disparo, con lo que esta opción no es buena.

2) Rubio dispara a Angel Eye

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Eliminar al adversario más peligroso parece, intuitivamente, la mejor opción. Supongamos entonces que Rubio dispara a «el malo». Independientemente de lo que suceda, el siguiente en disparar es Tuco.

¿Cuál es la probabilidad p de que Rubio sobreviva? Es decir, p es la probabilidad de que Rubio gane frente a Tuco, si Tuco dispara primero. Sea q la probabilidad de que Rubio gane frente a Tuco, disparando él primero.

Entonces p = 1/2 q, ya que o Tuco mata a Rubio o le proporciona una probabilidad de q de ganarle.

Por otro lado, q = 2/3 p + 1/3, ya que Rubio tiene una probabilidad sobre 3 de matar a Tuco y dos probabilidades sobre tres de encontrarse en la situación en el que Tuco tire en primer lugar.

De las dos ecuaciones,

p = 1/2 q

q = 2/3 p + 1/3

se deduce que p = 1/4.

Esta estrategia es interesante sólo p es superior a la probabilidad de que Rubio dispare al aire, que ahora calcularemos.

3) Rubio dispara al aire

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«El bueno» decide fallar sistemáticamente su tiro hasta que se encuentre con un único adversario.

Tuco y Angel Eye no tienen ningún interés en disparar a Rubio si los tres continúan vivos. En efecto, si Tuco dispara sobre Rubio, sería un suicidio (el siguiente en disparar es Angel Eye, que lo matará). Y si «el malo» dispara sobre «el bueno» tendría una probabilidad de ganar de 1/2 (porque lo mataría, y el siguiente en disparar sería Tuco), mientras que puede conseguir una de 2/3 si dispara sobre «el malo». Así que en este caso, todo sucedería como si se tratara de un duelo entre Tuco y Angel Eye.

Así que comienza Tuco disparando. Si mata a Angel Eye, Rubio se encuentra frente a Tuco con probabilidad q de ganar. Si Tuco falla al disparar a «el malo», éste le dispara a su vez (y le mata) y le toca a Rubio disparar a Angel Eye, y no puede fallar (recordar que Angel Eye nunca falla), pero sólo tiene una probabilidad sobre tres de ganar. Así, la probabilidad de ganar con esta estrategia es de:

p’ = p + 1/2 x 1/3 = 1/4 + 1/6,

que es mayor que 1/4. Es decir, es la mejor estrategia.

En resumen, Rubio debe disparar al aire.

Nota 1: Este problema está extraído de Guillaume Deslandes y Clément Deslandes, Énigmes mathématiques corrigées, Ellipses (2014).

Nota 2: En la larga escena del duelo de El bueno, el feo y el malo no es esto lo que sucede…

Puede encontrarse un análisis matemático de esta escena en José María Sorando, Aventuras matemáticas en el cine, Gualdamazán (2015), páginas 117 a 144.

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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