El salto de la rana, y familia

El juego “el salto de la rana” es un solitario perteneciente a la familia de juegos de intercambio de fichas colocadas sobre un tablero. Es sencillo y puede jugarse a cualquier edad, desde los 6 años en adelante. Es uno de esos juegos que a mí me gustan, fácil de construir (lápiz, papel y fichas), con reglas elementales, no necesita mucho tiempo para jugar, todo el mundo puede enfrentarse a él y resolverlo, y tiene interesantes aplicaciones didácticas.

IMAGEN 1

Pero antes de nada, expliquemos el juego y sus reglas, para el caso de 4 “ranas” –fichas- de cada color, como aparece en la imagen.

El tablero consiste en una fila de 9 casillas (en general, un número impar, 2n+1, de casillas). En la posición inicial del juego se colocan 4 fichas “oscuras” en un lado del tablero, por ejemplo el izquierdo, y otras 4 fichas “claras” en el lado opuesto, el derecho (en el caso general, n fichas de cada color).

IMAGEN 2

El objetivo del juego es intercambiar la posición de las fichas oscuras y claras, es decir, “mover” las fichas oscuras al lado derecho y las claras al izquierdo. Para lo cual hay que seguir las siguientes reglas sobre el movimiento de las fichas:

1.- las fichas oscuras solo se pueden mover hacia la derecha y las claras hacia la izquierda, y por lo tanto, las fichas no pueden retroceder;

2.- las fichas pueden desplazarse a la casilla que está inmediatamente delante si está libre o pueden saltar sobre una ficha de color opuesto si la casilla siguiente está vacía.

IMAGEN 3-a

IMAGEN 3-b

[Nota: la condición 1 se podría quitar y considerar como objetivo del juego intercambiar la posición de las fichas en el menor número de movimientos posible]

Para terminar el juego solamente hay dos opciones, o conseguir el objetivo de trasladar todas las fichas a las posiciones opuestas o quedarse bloqueado, sin poder mover ya ninguna ficha, con lo cual habrá que volver a empezar.

Si queréis plantear este juego a niños y niñas podéis utilizar una descripción más literaria que hable de un río cuyas orillas están unidas por nueve piedras alineadas y que las fichas sean cuatro ranas verdes y cuatro rojas. Es una opción.

Una vez explicadas las reglas de este solitario solo nos queda ponernos a jugar… para lo cual necesitáis un tablero y unas fichas. Eso es fácil. Podéis pintar el tablero en una hoja del papel y jugar con fichas de parchís o con cualesquiera objetos que se os ocurra que puedan hacer las veces de fichas. Si sois más atrevidos podéis incluso fabricaros un tablero y unas fichas más artísticos. Aunque siempre podéis jugar a alguna de las versiones que existen en internet, como por ejemplo esta o esta.

Yo os aconsejo que juguéis en una versión física. En cualquier caso, no esperéis y poneros a jugar ahora mismo…

Juego original “Top-over puzzle” de 1930, realizado por J. Pressman & Co., NY

Juego original “Top-over puzzle” de 1930, realizado por J. Pressman & Co., NY

No se conoce el origen de este juego. Aparece, con el nombre “un juego de peones”, en el libro Récréations mathématiques vol. 2 (Recreaciones Matemáticas vol. 2) del matemático francés Édouard Lucas (1842-1891), publicado en el año 1883. En el mismo se estudian las soluciones para los casos particulares de 2, 3 y 4 fichas de cada color, se obtiene la fórmula que permite calcular el número de movimientos para resolver el juego y se generaliza el solitario al caso bidimensional. El matemático y abogado inglés W. W. Rouse Ball (1850-1925), en su libro Mathematical Recreations and Essays (1892), al igual que muchos otros autores, citan el libro de E. Lucas como fuente original del juego. Sin embargo, la referencia más antigua a este juego según la bibliografía de David Singmaster sobre matemática recreativa es el número de junio de 1867 de la revista American Agriculturist, en la que aparece descrita, bajo el nombre de “puzzle español”, la versión de 3 fichas de cada color (a las que se refiere como hombres blancos y negros) del juego.

Detalle de la página 226 del número de junio de 1867 de la revista American Agriculturist

Detalle de la página 226 del número de junio de 1867 de la revista American Agriculturist

La verdad es que este solitario ya aparece desde finales del siglo XIX con una multitud de muy distintos nombres: “frogs and toads” -ranas y sapos- (o muchos otros nombres que mencionan a las ranas, como “jumping frogs” -ranas saltarinas- o “el salto de la rana”, nombre por el que es conocido en castellano), “spanish puzzle”, “sphinxes and pyramids” -esfinges y pirámides-, “right and left puzzle”, “sheeps and goats” –ovejas y cabras-, “hares and tortoises” –liebres y tortugas”, “brown and white horses in stalls” –caballos marrones y blancos en establos-, “hop-over” –saltar sobre-, etc… o no se le asigna nombre y simplemente se hace uso de sencillas referencias como la de E. Lucas, “un juego de peones”.

Volvamos a la resolución del juego. Pero insisto en que antes de seguir leyendo esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica deberíais jugar al salto de la rana. Lo más interesante de un juego es jugar con él, pero además para conocerlo bien es completamente necesario haberse enfrentado a su resolución.

Este solitario es realmente asequible, aunque no nos dejemos engañar por su sencillez, ya que caeremos en la trampa de jugar mal y bloquear las fichas. En general, para cada movimiento hay dos posibilidades, una que nos lleva hacia la solución del solitario y otra que nos lleva a un bloqueo de las fichas, solo hay que tener cuidado de realizar en cada momento el movimiento correcto. Pero si a alguien se le resiste el juego, lo mejor es resolver primero una versión más simple, como por ejemplo el solitario con dos fichas de cada color, lo cual nos mostrará el camino para resolver los demás casos.

La solución del solitario para el caso de 2 fichas de cada color es la siguiente:

IMAGEN 6-a

IMAGEN 6-b

Como podemos observar se han necesitado 8 movimientos para resolverlo. Además, la resolución es única, una vez elegida la ficha inicial para el primer movimiento (la ficha clara o la oscura en la imagen). Si se observan las 9 posiciones que se producen entre la posición inicial y su opuesta, se observará que existe una simetría especular. Las posiciones leídas en el sentido inverso nos ofrecen de nuevo las mismas posiciones de resolución del juego. En consecuencia, a partir de la posición intermedia se vuelven a repetir las posiciones, pero en orden inverso.

Tras la resolución anterior del solitario con 2 fichas de cada color, no es mucho más complicado resolver los casos con 3, 4 o incluso 5 fichas.

Otra cuestión muy interesante (o incluso una sugerencia didáctica a utilizar en el aula) relacionada con el solitario “el salto de la rana” es el cálculo del número de movimientos que se necesitan para resolverlo, en el caso general de n fichas de cada color. Si se han superado los casos n = 2, 3, 4 y 5 del solitario, se habrá observado que

IMAGEN 7

Si nos fijamos en la tabla anterior, vemos que los números que aparecen en ella, 3, 8, 15, 24, son los números cuadrados (4, 9, 16, 25) menos 1. Luego podemos intuir que la cantidad de movimientos necesarios para resolver el solitario con n fichas de cada color es

(n+1)^2 – 1 = n^2 + 2n

Pero veamos que efectivamente ese es el número de movimientos. Cada una de las fichas de un color deben desplazarse n+1 posiciones para llegar a la que será su posición final (la casilla vacía y las n casillas que ocupan las fichas contrarias), suponiendo que no tuviese ningún obstáculo. En consecuencia, el número de desplazamientos que deberían hacer todas las fichas de un color, que son n, serían n(n+1), y el número total de desplazamientos de los dos colores 2n(n+1).

* Número total de desplazamientos (“si no hubiese saltos”): 2n(n+1).

Sin embargo, las fichas de un color entorpecen el movimiento de las fichas del otro color, motivo por el cual deberán ir saltándolas. Como cada ficha de un color debe saltar a todas las fichas del color opuesto, el número de saltos total es de n^2.

* Número total de saltos: n^2

Más aún, como cada salto, que lleva una ficha a dos casillas más allá, ahorra uno de los desplazamientos considerados anteriormente, el número de movimientos necesarios para resolver el salto de la rana deberá ser

2n(n+1)-n^2=2n^2 + 2n – n^2=n^2 + 2n

* Número total de movimientos para resolver el solitario: n^2 + 2n.

En consecuencia, se producen n^2 saltos y 2n desplazamientos. Una pregunta para nuestros lectores y lectoras, ¿el hecho de que el número de desplazamientos que se produce sea 2n significa que cada una de las fichas, que en total son 2n, se desplaza una vez?

La sucesión de movimientos para resolver el salto de la rana 3, 8, 15, 24, 35, 48,… aparece bajo la denominación A005563 en la “Enciclopedia on-line de sucesiones de enteros”. Más información sobre la misma puede encontrarse aquí.

Más aún, si jugásemos a una versión del juego con m fichas oscuras y n fichas claras, entonces el mismo razonamiento nos llevaría a que el número de movimientos necesarios para resolver el solitario en este caso sería m(n+1)+(m+1)n-mn = mn+m+n.

El juego de la rana tiene una versión bidimensional. Podemos decir que para E. Lucas este es un “juego de peones sobre un damero”, aunque normalmente se le añade “de dimensión dos” al nombre del solitario anterior, con lo cual para nosotros el nombre de este juego sería “el salto de la rana de dimensión dos”.

Mostramos a continuación el juego y sus reglas para la versión de 25 fichas (que en el libro El juego y la matemática, de Luis Ferrero, se denomina “cinco por cinco, veinticuatro”). El tablero es un cuadrado 5×5 con las fichas (12 oscuras y 12 claras) colocadas como se muestra en la imagen.

IMAGEN 8 El objetivo del juego es intercambiar las posiciones de las fichas oscuras y claras con el menor número de movimientos posibles, para lo cual las fichas se pueden desplazar a una casilla adyacente o saltar sobre una ficha del color opuesto, en vertical y horizontal, pero no en diagonal.

Y una vez más es la hora de jugar… no vayáis a la solución sin intentar resolverlo antes.

La solución, de nuevo, no es muy complicada y se apoya en la solución anterior del salto de la rana de dimensión uno. La idea es realizar primero el cambio en la columna central y después utilizar la fila central, mientras vamos resolviendo el cambio para ella, como apoyo para ir realizando los cambios de las demás columnas. Mostramos algunos de los pasos intermedios…

IMAGEN 9-a
IMAGEN 9-b

1

IMAGEN 9-c

2

IMAGEN 9-d

3

IMAGEN 9-e

4

IMAGEN 9-f

5

IMAGEN 9-h

6

IMAGEN 9-i

7

IMAGEN 9-j

8

En total, 48 movimientos, que han venido de realizar 6 veces el salto de la rana unidimensional para dos fichas, una por cada columna y otra para la fila central, luego 6 x 8 = 48.

Para finalizar, mostramos una generalización del salto de la rana a un juego un poco más peliagudo, el puzzle “a proa y popa” (Fore and Aft puzzle), puzzle dieciséis inglés (English sixteen puzzle) o “juego diagonal”.

La invención de este juego suele atribuirse al autor de matemáticas recreativas e inventor de puzzles y juegos, el norteamericano Sam Loyd (1841-1911) y aparece en su libro Sam Loyd’s Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums with Answers, publicado en 1914. En la explicación del juego Sam Loyd dice que el inventor fue un marino inglés que trabajó en Sailor’s Snug Harbor (Staten Island, NY) y que se sacaba un dinero extra vendiendo este puzzle, aunque el juego había sido creado en Londres y por eso se denominó “puzzle dieciséis inglés”.

IMAGEN 10

Sin embargo, la primera publicación en la que aparecía mencionado el juego (como “tercer problema con peones”) fue el libro de W. W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays (1892). Al año siguiente, 1893, el Profesor Hoffman en su libro Puzzles old and new, menciona como referencia original del juego a John Heywood, de Manchester.

El tablero está formado por dos cuadrados 3×3 con una casilla común, vértice de ambos cuadrados. Hay 16 fichas, 8 claras y 8 oscuras, de forma que en el inicio las fichas de cada color ocupan las casillas de un cuadrado, salvo la casilla común, como se muestra en la imagen.

IMAGEN 11

Las reglas son similares al salto de la rana de dimensión 2. De nuevo el objetivo es intercambiar las posiciones de las fichas oscuras y claras con el menor número de movimientos posibles, para lo cual las fichas se pueden desplazar a una casilla adyacente o saltar sobre una ficha del color opuesto a una casilla vacía, en vertical y horizontal, pero no en diagonal.

Una vez más, tras entender las reglas del juego, lo más importante es jugar, por lo que os animo a que fabriquéis vuestro propio tablero y os pongáis a ello (al final de la entrada os dejo un bonito tablero para imprimir). En cualquier caso, siempre tendréis la posibilidad de jugar a algún juego online (que además os contará el número de movimientos que realizáis) como este o este.

Este juego ya no es tan sencillo como sus antecesores. El Profesor Hoffman dio una solución en 52 movimientos que para muchos era la solución mínima, Ball por su parte ofreció una solución en 48 movimientos en la primera edición de su libro MRE, pero es el matemático Henry E. Dudeney (1857-1930), experto en puzzles y juegos matemáticos, quien en un artículo para la revista inglesa Tit-Bits (número 33, 1898) da una solución simétrica en 46 movimientos, que es la que se recoge en el libro de Sam Loyd y en otros libros de juegos.

La solución de Hoffman de 52 movimientos es (cada número indica la casilla en la que está la ficha que se mueve)…

IMAGEN 12-a

Fragmentos del libro Puzzles old and new del professor Hoffman

Fragmentos del libro Puzzles old and new del professor Hoffman

La solución simétrica de 46 movimientos dada por Dudeney y que recoge el libro Mathematical Puzzles of Sam Loyd, editado por Martin Gardner en 1959, es la siguiente

IMAGEN 13

Hhg • Ffc •CBHh • GDFfehbag • GABHEFfdg • Hhhc • CFf • GHh

Tablero que aparece en el libro The Curious Book of Mind-boggling Teasers, Tricks, Puzzles & Games de Charles Barry Townsend

Tablero que aparece en el libro The Curious Book of Mind-boggling Teasers, Tricks, Puzzles & Games de Charles Barry Townsend

Bibliografía

1.- Édouard Lucas, Recreaciones Matemáticas (volumen 2), Ed. Nivola, 2007.

2. David Singmaster, Sources in Recreational Mathematics: An Annotated Bibliography, 8th preliminary edition, 2004.

3. W. W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays, McMillan and Co.,1892. [Edición de 1905]

4.- Luis Ferrero, El juego y la matemática, Ed. La Muralla, 2001.

5.- Sam Loyd’s Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums with Answers, publicado en 1914

6.- Martin Gardner (editor), Mathematical puzzles of Sam Loyd, Dover, 1959.

7.- Profesor Hoffman, Puzzles old and new, Frederick Warne and Co., 1893.

[https://archive.org/details/puzzlesoldnew00hoff]

8.- Games and puzzles, http://www.gamesandpuzzles.co.uk/solutions.htm

9.- Charles Barry Townsend, The Curious Book of Mind-boggling Teasers, Tricks, Puzzles & Games, Sterling, 2003.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

5 Comentarios

Deja un comentario

Sangakoo.comSangakoo.com

Excelente Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU, lo compartimos. Saludos =)

El salto de la rana, y familia | Mi Cajó...

[…] El juego “el salto de la rana” es un solitario perteneciente a la familia de juegos de intercambio de fichas colocadas sobre un tablero. Es sencillo y puede jugarse a cualquier edad, desde los 6 años en adelante.  […]

Deja un comentario

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>