El cubo soma: diseño, arte y matemáticas

Matemoción

En la anterior entrega de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica, “Un delicioso puzzle de chocolate vimos como el puzzle geométrico tridimensional “cubo soma” había servido de inspiración para que el diseñador Santos Bregaña realizara un original proyecto para unos bombones, que debían de guardarse en una caja cúbica, de ahí la importancia del puzzle, dentro de su colaboración con el maestro chocolatero Enric Rovira.

Pero existen algunos otros diseños que han hecho uso de este puzzle tridimensional. Por ejemplo, en la siguiente imagen podemos apreciar el diseño de una mesa de salón del divulgador de las matemáticas norteamericano Michael Serra basado en las piezas del “cubo soma”. Cinco de las piezas (todas, salvo las piezas L y Z) conforman la parte de apoyo de la mesa, sobre la que se sitúa la parte plana, en este caso el cristal, y las otras dos piezas del puzzle quedan de acompañamiento, ya sea como sencillos asientos, como mesitas auxiliares o simplemente como complementos decorativos.

Diseño de una mesa utilizando las piezas del “cubo soma”, por Michael Serra
Diseño de una mesa utilizando las piezas del “cubo soma”, por Michael Serra
Maqueta de la colocación de las piezas del “cubo soma” en el diseño anterior, realizado con pequeñas piezas de madera del juego
Maqueta de la colocación de las piezas del “cubo soma” en el diseño anterior, realizado con pequeñas piezas de madera del juego

El proyecto “Polyomino” presentado en el Festival del Diseño de Londres (London Design Festival) el pasado mes de septiembre (2014), como fruto de una colaboración entre el diseñador de complementos inglés Ally Capellino y el arquitecto inglés Seng Watson, también ha encontrado la inspiración y la forma en este puzzle geométrico cuyas siete piezas están formadas por la unión de cubos.

Ally Capellino le encargó a Seng Watson la realización de una serie de “stands” para colocar, durante el London Design Festival, sus bolsos y otros complementos en las tiendas que Capellino tiene en Londres. Una de las inspiraciones del proyecto “Polyomino” fue la arquitectura “brutalista” londinense de los años 1960, en la que está también inspirada la colección otoño/invierno 2014 de Capellino. El arquitecto decidió realizar los “stands” con las piezas del “cubo soma”, a partir de cubos de 27.250 mm3 de “papercrete” (hormigón de papel), una mezcla de cemento y papel, que hace que las piezas del diseño tengan el aspecto crudo del hormigón, pero sean a la vez ligeras y manejables.

Las siete piezas del proyecto “Polyomino” realizadas en hormigón de papel
Las siete piezas del proyecto “Polyomino” realizadas en hormigón de papel

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“Stands” del proyecto “Polyomino” con bolsos y complementos en una de las tiendas de Ally Capellino en Londres
“Stands” del proyecto “Polyomino” con bolsos y complementos en una de las tiendas de Ally Capellino en Londres

Curiosamente, el nombre del proyecto, “Polyomino”, es confuso, puesto que las piezas del “cubo soma” no son poliominós (es decir, figuras geométricas planas formadas conectando dos o más cuadrados por alguno de sus lados), sino que son policubos (esto es, figuras geométricas tridimensionales que se forman al unir dos o más cubos por alguna de sus caras). Solo cuatro de las piezas del “cubo soma” podrían ser consideradas poliominós, puesto que son las cuatro piezas “planas” del puzzle, aquellas que pueden colocarse para que tengan solo la altura de un cubo, y no más altura, como ocurre en las otras tres piezas (véanse las piezas del “cubo soma” de la siguiente imagen).

Pero dejemos de lado, los diseños basados en el “cubo soma”, y centrémonos en el propio puzzle geométrico tridimensional. Como ya comentábamos en la entrada “Un delicioso puzzle de chocolate” del Cuaderno de Cultura Científica, el “cubo soma” es un juego de ingenio relativamente moderno, que fue inventado en 1933 por el poeta, matemático, diseñador e inventor danés Piet Hein (1905-1996).

Fue durante una conferencia sobre mecánica cuántica del premio Nobel de Física, Werner Heisenberg (1901-1976), cuando Piet Hein se dio cuenta de que con todos los policubos irregulares formados por 4, o menos, cubos (matemáticamente que sean irregulares quiere decir que cada uno de esos policubos es no convexo, es decir, que dados dos puntos cualesquiera del mismo no es cierto que todos los puntos que están en el segmento que los une estén también en el policubo, por tanto hay que descartar los regulares, que son o una serie de cubos alineados, uno, dos o tres, o un “cuadrado” formado por cuatro cubos), que son siete, se podía formar un cubo 3x3x3.

Las piezas del “cubo soma”
Las piezas del “cubo soma”

Las siete piezas del juego de ingenio que Piet Hein bautizó con el nombre de “cubo soma” son un policubo formado por tres cubos (con la forma de una L “corta”) y seis policubos formados por cuatro cubos (una esquina o trípode, una L “larga”, una T, una Z y otras dos piezas que son una la imagen especular de la otra).

Este puzzle geométrico, que consiste en formar un cubo de tamaño 3x3x3 con los siete policubos irregulares, admite 240 soluciones distintas. Y fueron los matemáticos ingleses John H. Conway y Richard K. Guy quienes obtuvieron la lista completa de las 240 soluciones, “en una tarde lluviosa de 1961”.

A continuación, mostraremos el estudio que realizaron los dos matemáticos, y que aparece en el libro Winning ways for your mathematical plays de Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway y Richard K. Guy, sobre las posibles posiciones de cada una de las siete piezas del “cubo soma” dentro del cubo final de tamaño 3x3x3 y que les permitió conocer que hay 240 soluciones posibles, y obtenerlas explícitamente.

Para empezar, como vemos en la siguiente imagen, asocian cada pieza del puzzle a un número y un color, para poder identificarlas.

La pieza L “corta” es blanca y su número es el 1, la L es amarilla y el 2, la pieza T es verde y tiene el 3, la Z debería de ser naranja, aunque nosotros a falta de cubos naranjas la hemos fabricado multicolor, y su número es el 4, la pieza azul tiene el 5 y su imagen especular es roja con el número 6, y finalmente, la pieza esquina es negra y su número es el 7
La pieza L “corta” es blanca y su número es el 1, la L es amarilla y el 2, la pieza T es verde y tiene el 3, la Z debería de ser naranja, aunque nosotros a falta de cubos naranjas la hemos fabricado multicolor, y su número es el 4, la pieza azul tiene el 5 y su imagen especular es roja con el número 6, y finalmente, la pieza esquina es negra y su número es el 7

Si observamos el cubo de tamaño 3x3x3 que es el objeto final de este rompecabezas, este tiene 8 cubos vértice (que aparecen en rojo en la siguiente imagen), 12 cubos laterales (en verde), 6 cubos cara (en blanco) y un cubo central (que no se ve, ya que está en el interior).

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Pero fijémonos en los vértices, que son 8, y veamos cuántos vértices pueden ser ocupados, como máximo, por cada una de las piezas del “cubo soma”. La pieza blanca solo puede ocupar 1 vértice, la pieza amarilla 2 vértices, la verde 2 vértices, la naranja (en nuestro caso, multicolor) 1 vértice, y de la misma forma, las piezas azul, roja y negra pueden ocupar solo 1 vértice.

Número máximo de cubos vértices que puede ocupar cada pieza
Número máximo de cubos vértices que puede ocupar cada pieza

De este simple comentario ya podemos extraer algunas consecuencias interesantes. Para empezar, la cantidad máxima total de vértices del cubo final que pueden ocupar las siete piezas (si miramos la tabla anterior) es 9, por lo tanto, cuando se monte el cubo, una de las piezas no podrá alcanzar su número máximo de vértices. A esta pieza se le llamará “deficiente”. Eso sí, el resto de piezas tendrán que ocupar necesariamente todos los vértices que le son posibles. Por ejemplo, si la pieza roja es la deficiente, es decir, que no ocupa ningún cubo vértice, las piezas blanca, naranja, azul y negra ocuparán un vértice, y las piezas amarilla y verde, dos vértices. Si nos fijamos en la pieza verde, esta puede ocupar tan solo 0 o 2 vértices, luego esta pieza nunca podrá ser la deficiente. Mientras que la pieza amarilla, que a priori podría ocupar 0, 1 o 2 vértices, sí puede ser la deficiente, pero lo que no puede ocurrir es que no toque ninguna posición vértice, tendrán que ser una o dos.

Coloreemos ahora los 27 cubos del cubo 3x3x3 final con dos colores, blanco y negro, y de forma alternada, es decir, si un cubo es blanco, los cubos que tocan a este cara con cara, serán negros. Así, los cubos que son cara o vértice en el cubo grande serán de color blanco, mientras que los cubos laterales y el central serán de color negro, como aparece en la siguiente imagen.

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Tomemos una solución cualquiera del “cubo soma”, por ejemplo, la que aparece en la siguiente imagen, y computemos el número de cubos blancos y negros que ocupa cada pieza del puzzle en esa solución.

Una solución del cubo soma
Una solución del cubo soma

Vemos que en esa solución el número de cubos blancos y negros de cada pieza es el siguiente:

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Si nos fijamos en las piezas de color amarillo, naranja (en nuestro cubo, la pieza multicolor), azul y rojo, estas van a tener siempre estos números, es decir, ocuparán 2 cubos blancos y 2 negros. Puesto que la pieza de color verde no puede ser deficiente, como hemos justificado anteriormente, entonces tiene que ocupar dos vértices, lo que la obliga a que siempre ocupe 3 posiciones de cubos blancos y 1 de negro, como en la anterior solución. La pieza de color blanco podría ocupar 2 cubos blancos y 1 negro, o al revés, así como la pieza de color negro podría ocupar 1 cubo blanco y 3 negros, o al revés. Sin embargo, como la cantidad total de cubos blancos (14) y negros (13) es siempre la misma, y las otras piezas no cambian la cantidad de cubos blancos y negros, entonces las piezas de color blanco y negro tampoco podrán cambiar, y los números que aparecen en la tabla anterior son válidos para cualquier solución del “cubo soma”.

¡¡En cada solución del cubo soma, la pieza de color blanco ocupa 2 posiciones blancas y 1 negra, y la pieza de color negro ocupa 3 posiciones negras y 1 blanca!!.

Estas restricciones que acabamos de describir son muy fuertes, puesto que nos determinan que posiciones pueden ocupar, y cuales no, cada una de las siete piezas del puzzle tridimensional.

Si construimos las piezas del “cubo soma” con cubos negros y blancos para saber donde puede ir situado cada uno de los cubos que lo forman en el cubo 3x3x3 final, entonces las piezas tendrían que ser exactamente como se muestra en esta imagen, salvo quizás la pieza “L” que podría tener los colores al revés
Si construimos las piezas del “cubo soma” con cubos negros y blancos para saber donde puede ir situado cada uno de los cubos que lo forman en el cubo 3x3x3 final, entonces las piezas tendrían que ser exactamente como se muestra en esta imagen, salvo quizás la pieza “L” que podría tener los colores al revés

Si nos fijamos en la posición que puede tener cada pieza en la configuración final de una solución sobre el cubo 3x3x3, entonces cada pieza podrá ser deficiente, central (si uno de los cubos que forman la pieza ocupa el cubo central de la solución), ambas cosas o ninguna, y diremos, en este último caso, que la pieza está en una posición normal.

Todas las posibles posiciones de las siete piezas del puzzle
Todas las posibles posiciones de las siete piezas del puzzle

Teniendo en cuenta toda la información anterior, se puede obtener el listado completo de las 240 soluciones posibles (salvo simetrías) del “cubo soma”, como hicieron Conway y Guy.

En el libro Winning ways for your mathematical plays se incluye además el SOMAP, es decir, el mapa de las soluciones del puzzle “cubo soma”.

Reconstrucción del SOMAP de Conway y Guy que aparece en la página web “Thorleif's SOMA page” [http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/NEWS/N030518.HTM]. Pero cuidado, ya que en este diagrama las letras, puesto que su autor ha cambiado algún color, que se corresponden con las piezas son: pieza blanca (B), pieza amarilla (Y), verde (G), naranja (O), azul (U), roja (R) y negra (A)
Reconstrucción del SOMAP de Conway y Guy que aparece en la página web “Thorleif’s SOMA page” . Pero cuidado, ya que en este diagrama las letras, puesto que su autor ha cambiado algún color, que se corresponden con las piezas son: pieza blanca (B), pieza amarilla (Y), verde (G), naranja (O), azul (U), roja (R) y negra (A)
Cada solución del puzzle viene determinada por cuatro datos (en algunos casos tres), tres letras y un número. Por ejemplo, algunas soluciones particulares son RU0g, YU2c o U6a. Las letras mayúsculas antes del número nos indican cuales son las piezas deficiente y central. Así, en la solución RU0g, la pieza deficiente es la roja (R) y la central la pieza azul (U), en la solución YU2c la pieza deficiente es la amarilla (Y) y la central es la azul (U), mientras que en la solución U6a, la pieza azul (U) es deficiente y central.

El número que aparece en la nomenclatura es el “valor de orientación” (en inglés es el “dexterity value”). Las piezas blanca (recordemos que era la número 1), amarilla (número 2) y naranja (número 4) pueden aparecer en su forma derecha (formando las letras L corta, L y Z)

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o en su forma izquierda

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de manera que el “valor de orientación” es igual a la suma de los números de las piezas que aparecen en su posición derecha (para ver el valor de la pieza blanca, número 1, hay que colocarla con uno de sus lados apoyado en la fila de abajo de la cara en la que esté). Así en la solución RU0g el valor de orientación es 0, luego ninguna pieza está colocada en su orientación derecha, en la solución YU2c el valor es 2, luego solo la pieza amarilla (2) está colocada en su forma derecha, mientras que en la solución U6a son las piezas amarilla (2) y naranja (4) las que están colocadas en su orientación derecha.

Finalmente, la última letra, en minúsculas, simplemente sirve para numerar las soluciones que son del mismo tipo. Por ejemplo existen 11 soluciones RU0 que se distinguirán añadiendo a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, al final de la expresión RU0.

En el diagrama SOMAP unas soluciones están conectadas con otras a través de líneas. Las líneas continuas unen dos soluciones, tales que cambiando dos piezas de una solución se obtiene la otra. Si nos fijamos en la izquierda del diagrama observaremos que la solución U6a se transforma en la solución YU4b, si se cambia solamente la posición de las piezas y-u (amarilla y azul). Cuando aparecen líneas discontinuas se necesitan tres piezas para pasar de una solución a otra. Así, la solución anterior YU4b se transforma en la solución YU3b al cambiar la posición de las piezas b-o-y (blanca, naranja y amarilla). Hay una solución, el diamante R7d que necesita que se cambien de posición 4 piezas para obtener la solución R7c.

Pero dejemos ya esta parte matemática del puzzle de Piet Hein, relacionada con la combinatoria (el cálculo del número de soluciones del juego), y terminemos la entrada con un par de ejemplos de la presencia del “cubo soma” en el arte.

La primera obra de arte (que aparece en la siguiente imagen) es la obra “Letter From the New World to theOld World” de la artista danesa Simon Dybbroe Møller.

“Letter From the New World to theOld World”, Simon Dybbroe Møller
“Letter From the New World to the Old World”, Simon Dybbroe Møller

El artista estadounidense Arnold Martin ha utilizado el puzzle geométrico en su obra “Anatomy of a Cube or This is Not a Stack of Crates”, de su instalación IN-KOM-PRI-HEN-SUH-BUHL.

“Anatomy of a Cube or This is Not a Stack of Crates”, Arnold Martin
“Anatomy of a Cube or This is Not a Stack of Crates”, Arnold Martin

Bibliografía

1.- Michael Serra, página web

2.- Disegno Daily, Polyomino by Ally Capellino and Seng Watson, 12 de septiembre de 2014,

3.- Ally Capellino, Polyomino at Ally Capellino, 15 de septiembre de 2014,

4.- Pedro Alegría, Santiago Fernández, Raúl Ibáñez, Goyo Lekuona, Juegos didácticos para el programa BBK-máticas, las matemáticas en las bibliotecas escolares, Fundación BBK, 2009. [www.divulgamat.net]

5.- Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy, Winning ways for your mathematical plays, volume 4, A.K. Peters, 2004.

6.- Thorleif’s SOMA page

7.- Exposición de Simon Dybbroe Møller en el Museo de Arte de la Universidad de Michigan

8.- Simon Dybbroe Møller , “Letter From the New World to theOld World

9.- Absurd Realities, blog del artista Arnold Martin

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

Esta entrada participa en la XII Edición del Carnaval de Humanidades, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

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