La geometría poética del cubo (2)

Matemoción

Hace unas semanas, como motivo de la exposición LANTEGI, José Ramón Anda, que puede verse en la sala Kubo Kutxa de Donostia-San Sebastián, del 23 de mayo al 25 de agosto de 2019, escribí una primera entrada en el Cuaderno de Cultura Científica titulada, al igual que esta, La geometría poética del cubo . Con esta entrada empezaba una pequeña serie sobre la investigación artística que el genial escultor navarro José Ramón Anda (Bakaiku, Navarra, 1949), una de las figuras fundamentales de la escultura vasca contemporánea, ha realizado de la estructura geométrica que subyace a la figura del cubo, en particular, a través de distintas descomposiciones de este objeto geométrico básico, que simboliza el espacio tridimensional.

Fotografía en la que estamos el escultor Jose Ramón Anda y yo, Raúl Ibáñez, con motivo del paseo matemático que realicé por la exposición Lantegi, organizada por Kubo Kutxa. Fotografía de Jon Pagola

En esa primera entrada, centré mi atención en dos descomposiciones singulares del cubo, formadas ambas por tres piezas con una cierta simetría, que había realizado José Ramón Anda cuando empezaba a dar sus primeros pasos en la abstracción geométrica. En particular, una de ellas fue el origen de la genial escultura Descomposición del cubo (1973) y ha sido fundamental en la obra del artista navarro, ya que a partir de la misma han surgido toda una serie de obras, aparentemente sin conexión alguna, pero basadas todas ellas en esta interesante y personal descomposición del cubo, y creadas en diferentes momentos de su carrera artística. Entre las obras que tienen como punto de partida esta descomposición del cubo están Homenaje a Juan de Antxieta (1979 – 1986), Haizean [Al viento] (1978 – 2002), Pilotara [A la pelota] (1980), Basaldeko ateak [Las puertas del bosque] (2011 – 2017), o Acotar el vacío I, II y III (2019), sobre las que puede leerse en la anterior entrada La geometría poética del cubo.

Cuatro montajes diferentes de la obra Descomposición del cubo (1973), de José Ramón Anda, con cuatro de las treinta fotografías que ha realizado el fotógrafo José Luis López de Zubiria de esta dinámica escultura

En esta segunda entrega de la serie La geometría poética del cubo vamos a seguir analizando algunas descomposiciones del cubo realizadas por el artista navarro, basadas en lo que en matemáticas llamamos policubos y que le han llevado a crear obras como la genial Zazpiak bat [Las siete, una] (1976), que veremos más adelante.

Los policubos son las figuras geométricas tridimensionales que se forman al unir dos o más cubos por alguna de sus caras, e incluso, podemos considerar un único cubo como un policubo trivial.

Sencillos policubos, realizados con el material LiveCube, con 1, 2, 3 y 4 cubos pequeños, respectivamente, unidos estos cubos pequeños, dos a dos, por alguna de sus caras

El artista José Ramón Anda realiza, de forma independiente a las matemáticas, una investigación plástica de las descomposiciones del cubo en policubos de la siguiente forma. Considera el cubo como formado por 27 cubos pequeños, es decir, cada lado del cubo está formado por 3 de estos cubos (siendo el cubo grande una estructura 3 x 3 x 3), y lo descompone en diferentes piezas que están formadas por la unión, cara a cara, de algunos de estos cubos pequeños, es decir, estas piezas son policubos.

Las dos descomposiciones del cubo vistas en la entrada La geometría poética del cubo, son dos ejemplos de descomposiciones del cubo 3 x 3 x 3 en policubos. En estos ejemplos, cada una de las descomposiciones estaba formada por tan solo tres policubos de 7, 7 y 13 cubos pequeños. Pero José Ramón Anda investigó muchas más descomposiciones. Algunas de ellas, al igual que las anteriores, de pocas piezas, como las que podemos disfrutar en las dos siguientes imágenes, que son pequeñas maquetas realizadas en buztina (arcilla, en euskera), y que forman parte del taller del escultor.

La primera descomposición, realizada en buztina, cuenta con tres piezas (policubos) de 4, 6 y 17 cubos pequeños. A diferencia, de las dos descomposiciones estudiadas en la anterior entrada, esta es completamente asimétrica, aunque de nuevo dispone de una potente pieza central, y con la particularidad de que dispone de un hueco central.

Maqueta, realizada en arcilla, de una descomposición del cubo en tres piezas, con 4, 6 y 17 cubos pequeños, realizada por José Ramón Anda. Fotografía de Raúl Ibáñez

La segunda maqueta de una descomposición del cubo que presentamos en esta entrada, también realizada con arcilla, está formada por tres piezas con 1, 8 y 18 cubos pequeños. En esta última descomposición podemos observar la búsqueda de una cierta autosimilitud, es decir, de repetición a escala, de las piezas que la conforman. La pieza más pequeña es un cubo (aunque resulta trivial, es pertinente indicar que es el cubo 1 x 1 x 1), la segunda pieza sería el cubo 2 x 2 x 2, menos la pieza anterior, es decir, menos el cubo 1 x 1 x 1, y la tercera pieza es el cubo 3 x 3 x 3 menos la unión de las dos anteriores, es decir, menos el cubo 2 x 2 x 2.

Maqueta, realizada en arcilla, de una descomposición del cubo en tres piezas, con 1 –esta no está en la imagen-, 8 y 18 cubos pequeños, realizada por José Ramón Anda. Fotografía de Raúl Ibáñez

De hecho, esta descomposición podría ampliarse a cubos más grandes de forma recurrente. Cada cubo de orden n, es decir, formado por n x n x n cubos pequeños, estaría descompuesto por las piezas de la descomposición del cubo de orden n – 1, más la pieza que consiste en todos los cubos pequeños que están en el cubo de orden n, pero no en el de orden n – 1. Por ejemplo, el cubo 4 x 4 x 4 estaría formado por 4 piezas, a saber, las tres anteriores de la descomposición de José Ramón Anda y la última sería el cubo 4 x 4 x 4 menos la unión de las anteriores, que es el cubo 3 x 3 x 3.

Descomposición del cubo 4 x 4 x 4, realizado con piezas del material LiveCube, siguiendo la idea del escultor José Ramón Anda

Sin embargo, otras descomposiciones del cubo en policubos, investigadas por José Ramón Anda, estaban formadas por más piezas. En particular, el artista navarro estaba interesado en descomposiciones con siete piezas. El motivo era la realización de una escultura que materializara el lema “zazpiak bat” (las siete, una), que reivindica la unión política de los siete territorios en los que se manifiesta la cultura vasca. Como indica la Auñamendi Eusko Entziklopedia, esta expresión toma cuerpo en el siglo XIX, aunque tiene sus antecedentes en el siglo XVIII y se populariza en el siglo XX. En concreto, en referencia directa al lema podemos leer: “el Zazpiak Bat como lema y divisa empieza a perfilarse ya en un poema acróstico de Felipe Casal del año 1891 titulado Ama Euskarari. Zazpiak Beti bat, «A la madre euskera. Las siete (provincias) siempre unidas«; y será al año siguiente en las Grandes Fêtes Internationales du Pays Basque, organizadas por el municipio de San Juan de Luz bajo el patronazgo de Antoine d’Abbadie, cuando aparece ya en los carteles el escudo de las siete provincias”.

A continuación, mostramos una maqueta de buztina con una descomposición del cubo en siete policubos, los cuales están formados por 1, 3, 3, 3, 4, 6 y 7 cubos pequeños. Tres de las piezas son policubos iguales, formados por 3 cubos pequeños y con forma de L y otras tres piezas son “esquinas” con diferente número de piezas cada una, 4, 6 y 7, las cuales se completan con un policubo trivial.

Maqueta, realizada en arcilla, de una descomposición del cubo en siete piezas, con 1, 3, 3, 3, 4, 6 y 7 cubos pequeños, realizada por José Ramón Anda. Fotografía de Raúl Ibáñez

Aunque, José Ramón Anda investigó muchas otras descomposiciones, en particular, la que dio lugar a la escultura Zazpiak bat [Las siete, una] (1976), realizada en madera de roble, que mostramos en la siguiente imagen.

Escultura Zazpiak bat [Las siete, una] (1976), de José Ramón Anda, en la posición en la que las siete piezas de la obra forman un cubo. Escultura realizada en roble y de unas dimensiones de 18 x 18 x 18 cm
Escultura Zazpiak bat [Las siete, una] (1976), de José Ramón Anda, con las siete piezas desplegadas
En la anterior imagen se puede distinguir bien la estructura geométrica de cada una de las piezas que componen la escultura. Son siete piezas formadas por 1, 2, 4, 4, 5, 5 y 6 cubos pequeños, pero todas ellas piezas distintas entre sí.

En esta escultura podemos apreciar de nuevo, ya lo comentamos en la anterior entrada para la escultura Descomposición del cubo (1973), tres características fundamentales de la filosofía artística del escultor navarro. La primera es que José Ramón Anda concibe sus esculturas para que sean tocadas, para que pueda percibirse la forma, la textura o los materiales de cada escultura, no solo a través de la vista, sino que también mediante el tacto. Además, Zazpiak Bat [Las siete, una] (1976) es también una obra dinámica, que puede tomar diferentes formas en función de la persona que interaccione con la escultura, una de ellas el cubo tridimensional que a partir de cuya descomposición se genera. Y, además, el escultor de Bakaiku no elige una forma fija para la escultura, sino que la pieza encierra en sí misma, el germen de todas las posibles formas que se generan a partir de ella.

Aunque en esta pieza encontramos un par de diferencias significativas respecto a la escultura Descomposición del cubo (1973). La primera es que, al disponer de más piezas, se produce la curiosa circunstancia de que ya solo el intentar montar el cubo generador a partir de las siete piezas separadas es un pequeño reto, que convierte a esta escultura dinámica en una especie de puzle geométrico, de juego. De esto ya se dio cuenta José Ramón Anda, que hizo dos versiones de Zazpiak bat para una ikastola de la zona en la que tiene su taller, la ikastola Andra Mari de Etxarri Aranatz, para que los niños y niñas de la misma jugaran con ella. La segunda diferencia también está relacionada con el hecho de tener más piezas, ya que esto ofrece una mayor versatilidad en las formas que se pueden generar a partir de ella.

Mi propia versión del cubo de José Ramón Anda, realizado con las piezas del material LiveCube, para poder jugar, manipularla y crear diferentes montajes de la escultura

La investigación plástica que realiza José Ramón Anda del cubo se produce al margen de las matemáticas. Sin embargo, cuando algunas personas del ámbito de las matemáticas observamos una escultura como Zazpiak bat (1976), no podemos dejar de relacionarla con algunos puzles geométricos que han sido creados dentro de la matemática recreativa, como el cubo soma (véase la entrada Cubo soma: diseño, arte y matemáticas), que también está formado por 7 piezas, los 7 policubos irregulares con 4, o menos, cubos pequeños, o el cubo de Steinhaus, formado por 6 piezas.

Las siete piezas del cubo soma, en la versión a color y magnética que ha sacado la empresa Lúdilo bajo el nombre cubimag

Este es un nuevo ejemplo de cómo dos investigaciones paralelas, una artística y otra matemática, puede llevar a resultados relacionados.

En esos últimos años de la década de 1970, José Ramón Anda realiza otra versión muy interesante de la escultura Zazpiak bat, que podemos relacionar con otro objeto matemático, los fractales (concepto matemático que el escultor desconoce cuando realiza esta creación artística), o más concretamente, con una de sus propiedades, la autosemejanza, es decir, la repetición a escala.

La nueva versión de la escultura Zazpiak bat [Las siete, una], también realizada en madera de roble y con un tamaño de 18 x 18 x 18 cm, toma como base la anterior descomposición del cubo en siete piezas, pero montado de tal forma que el policubo trivial, es decir, la pieza con un solo cubo pequeño, está en una esquina superior. Y sobre este pequeño cubo, José Ramón Anda realiza de nuevo la descomposición en siete piezas. Es decir, la nueva escultura Zazpiak bat está formada por dos descomposiciones del cubo a diferentes escalas. Esta escultura fue expuesta, y vendida, en una exposición individual organizada en la Librería Axular, de Vitoria-Gasteiz, en 1979, pero no se conserva ninguna imagen de la misma. Por este motivo, he realizado un sencillo modelo de la escultura con el programa SketchUp.

Modelo, realizado con el programa SketchUp, de la versión fractal de la escultura de José Ramón Anda, Zazpiak bat (década de 1970), realizada originalmente en madera de roble y de un tamaño de 18 x 18 x 18 cm

La investigación geométrico-plástica que realiza el escultor José Ramón Anda de la figura del cubo, no se limita a las descomposiciones mediante policubos, sino que también investiga otras propiedades de este objeto geométrico. Por ejemplo, una de ellas está relacionada con las secciones del cubo, empezando por un vértice, que consisten en triángulos y hexágonos. Precisamente, la escultura que ya mostramos en La geometría poética del cubo, titulada Nahi eta ezin [Querer y no poder] (1975), está relacionada con esta propiedad geométrica.

Sin embargo, me gustaría terminar esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica con una hermosa maqueta, realizada una vez más con buztina, de una gran riqueza geométrica y plástica, que analiza la existencia de un tetraedro regular dentro del cubo.

Maqueta de buztina del escultor José Ramón Anda, basada en la existencia de un tetraedro regular dentro de un cubo. Fotografía de Raúl Ibáñez

Como se puede apreciar en la anterior imagen, los seis lados del tetraedro (recordemos que un tetraedro es uno de los cinco solidos plátónicos, es decir, poliedros regulares, que existen y que está formado por cuatro caras triangulares –podemos decir que es una pirámide de base triangular-, seis lados o aristas y cuatro vértices) son las seis diagonales del cubo, luego todas de la misma longitud, en el que está incluido el tetraedro.

Fotografía de las esculturas de José Ramón Anda, Obelisco (1999-2003), en madera de roble, 79 x 16 x 19 cm, y Obelisco II (2000-2001), en madera de boj, 37 x 10,5 cm, en la exposición LANTEGI, José Ramón Anda, en la sala Kubo Kutxa de Donostia-San Sebastián. Fotografía de Raúl Ibáñez

Bibliografía

1.- Jose Ramón Anda (escultor), Javier Balda (comisario), Lantegi, José Ramón Anda (catálogo), Sala Kubo Kutxa (Donostia-San Sebastián), 23 de mayo – 25 de agosto de 2019, Kutxa Fundazioa, 2019.

2.- Página web de la Sala Kubo Kutxa

3.- Página web del artista José Ramón Anda

4.- Jose Ramón Anda (escultor), Javier Balda (comisario), José Ramón Anda. Causa formal y materia – Kausa formala eta materia, Museo Oteiza (Alzuza, Navarra), 21 de junio – 1 de octubre de 2017, Fundación Museo Oteiza, 2017.

5.- Jose Ramón Anda (escultor), Javier Balda (comisario), José Ramón Anda, Denboraren aurkako formak, Formas contra el tiempo, Museo de Bellas Artes de Bilbao, 7 de mayo – 9 de septiembre de 2012, Museo de Bellas Artes de Bilbao, 2012.

6.- Auñamendi Eusko Entziklopedia: zazpiak bat

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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