El problema de los tres cuerpos. Un misterio en Cambridge.

Matemoción

Y resulta que el hermano de la señora Burge-Jones es un matemático que conoce personalmente al señor Lewis Carroll, autor de los rompecabezas (el cual, como profesor de Oxford que es, al parecer, utiliza otro nombre en la vida real). Y –para consternación de la señora Burge-Jones, diría yo por su tono de voz–, le ha expuesto a su hermana que Emily ha heredado su afición por las matemáticas y que tendría que considerar, si dicha afición se mantiene, la conveniencia de continuar sus estudios todo el tiempo que le apetezca, incluso en la universidad. Sí; la señora Burge-Jones me ha informado de que hay un college para damas precisamente aquí, en la Universidad de Cambridge. ¡Dos, en realidad! No se permite que las mujeres se gradúen, es cierto, pero pueden estudiar y tener tutores y asistir a las clases e incluso presentarse a los exámenes. ¡Cielo santo! Emily se ha puesto a dar saltos de alegría ante tal perspectiva, mientras su madre, con aire dubitativo, decía: Por fortuna, sólo tiene trece años. Hay tiempo de sobras para pensar en ello.

Este párrafo pertenece a las primeras páginas de la novela La incógnita Newton (rocaeditorial, 2004), de Catherine Shaw, una novela que podríamos calificar de muy matemática.

Ediciones en castellano, de rocaeditorial y Círculo de Lectores, de La incógnita Newton (2005), de Catherine Shaw
Ediciones en castellano, de rocaeditorial y Círculo de Lectores, de La incógnita Newton (2005), de Catherine Shaw

Esta novela de intriga, cuyo título en inglés es The Three-Body Problem. A Cambridge Mystery (El problema de los tres cuerpos. Un misterio en Cambridge), está ambientada en el Cambridge de 1888 y tiene como protagonista a una joven, Vanessa Duncan, aficionada a las matemáticas, que ha empezado a trabajar como maestra de niñas, la cual se ve obligada a investigar los asesinatos de tres matemáticos, y a recorrer media Europa, para demostrar la inocencia del hombre al que ama, un joven matemático, que al igual que los tres anteriores trabaja en el famoso “problema de los tres cuerpos”, planteado por el matemático inglés Sir Isaac Newton (1643-1727) y por cuya resolución el rey Oscar II de Suecia (1829-1907) había ofrecido un premio en 1884.

Esta novela tiene un alto contenido matemático (trama, personajes, anécdotas y otros elementos relevantes), aunque tratado de una forma sencilla, interesante y comprensible para todas las personas. Esto nos hace plantearnos en primer lugar quién es la autora de esta historia. Si miramos al libro podemos leer en la solapa interior “Catherine Shaw es académica. La incógnita Newton es su primera novela”. Nada más. Sin embargo, hoy sabemos que Catherine Shaw no es más que el seudónimo de la matemática norteamericana, afincada en Francia, Leila Schneps, experta en Teoría de Números.

Portadas de los cinco libros de la serie Misterios en Cambridge de Catherine Shaw
Portadas de los cinco libros de la serie Misterios en Cambridge de Catherine Shaw

La primera cuestión que sorprende en La incógnita Newton es que nos encontramos ante una novela epistolar, la historia se cuenta a través de las cartas que Vanessa Duncan le escribe a su hermana. Este recurso literario, que nos recuerda el estilo de Drácula (1897), de Bram Stoker, le ayuda a la autora de la novela a sumergir al lector en el ambiente de la Inglaterra victoriana.

La narración se apoya en hechos (el problema de los tres cuerpos, el premio de Oscar II de Suecia, la conferencia de Cayley sobre la enseñanza de las matemáticas, el acceso a la universidad de las mujeres, el cuento enmarañado de Lewis Carroll, etc) y personajes (Arthur Cayley, Grace Chisholm, Gösta Mittag-Leffler, el rey Oscar II de Suecia, etc) reales, con los que la autora consiguió crear una historia original y atractiva que cautivó a lectores y lectoras de todo el planeta y divulgó un pequeño episodio de la historia de las matemáticas.

El problema de los tres cuerpos.

El origen del problema de los tres cuerpos sobre el movimiento de tres cuerpos (por ejemplo, la Luna, la Tierra y el Sol), o en general, de n cuerpos (como el sol y los planetas), sometidos a atracción gravitacional mutua, podemos fijarlo en la publicación de una de las obras más importantes en la historia de la ciencia, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), de Isaac Newton. Esta obra recogía la Ley de la Gravitación Universal “de Newton” (dos cuerpos en el espacio se atraen uno a otro con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa) y las leyes del movimiento “de Newton”. El autor de los Principia estableció así el modelo matemático, una serie de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, que describía el movimiento de n cuerpos en el espacio. Sin embargo, resolver estas ecuaciones diferenciales no es una tarea sencilla.

Portada de la obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), de Isaac Newton
Portada de la obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), de Isaac Newton

En ese tiempo se consiguió resolver el problema de los dos cuerpos (ya sea el Sol y un planeta, o un planeta y una luna), es decir, las ecuaciones diferenciales asociadas, resultado que venía a confirmar que Johannes Kepler tenía razón, las órbitas planetarias son elípticas. En general, para dos cuerpos en el espacio que se atraen por la gravedad, el movimiento de una respecto a la otra describe una trayectoria cónica, una elipse en el caso estable, y en el caso inestable, una parábola o una hipérbola. En dicha resolución estuvieron implicados el propio Newton, y los matemáticos suizos Johann Bernoulli (1667-1748) y Leonhard Euler (1707-1783).

El problema de los tres cuerpos, que por una vez vamos a formular completamente “determinar las posiciones y velocidades, en cualquier instante de tiempo, de tres cuerpos –con sus correspondientes masas- sometidos a la atracción gravitacional mutua, y partiendo de posiciones y velocidades iniciales dadas”, ya empezó a ser estudiado por Isaac Newton para el caso particular del Sol, la Tierra y la Luna. Este problema era importante en aquel tiempo, desde el punto de vista práctico, puesto que en ese momento se estaba intentando establecer la trayectoria de la Luna con el objetivo de resolver el problema de la longitud, fundamental para la navegación (véase el libro Longitud (1997), de Dava Sobel).

Sin embargo, al pasar de dos a tres cuerpos el problema se complicaba enormemente, y durante dos siglos muchos matemáticos (Newton, Bernoulli, Clairaut, Euler, Lagrange, Gylden, Hill, Dirichlet, Fuchs o Pincaré, entre muchos otros) intentaron resolver sin éxito las ecuaciones diferenciales correspondientes.

Retrato del rey Oscar II de Suecia, realizado por el artista sueco Anders Zorn
Retrato del rey Oscar II de Suecia, realizado por el artista sueco Anders Zorn

A principios de 1884 el rey Oscar II de Suecia, que había estudiado matemáticas en la Universidad de Upsala y mantenido el interés por esta ciencia toda su vida, y que incluso había apoyado económicamente el desarrollo de la matemática de su país, decidió que como parte de las celebraciones de su 60 aniversario, que tendrían lugar en 1889, concedería un sustancial premio a quien consiguiera resolver el conocido problema de los tres cuerpos. El monarca encargó la tarea de organizar esta competición matemática al matemático sueco Gösta Mittag-Leffler, con quien Oscar II de Suecia mantenía una muy buena relación, de hecho no se sabe a ciencia cierta si la idea del premio fue del matemático, o del propio monarca. El anuncio del premio apareció publicado en Acta Mathematica en 1885, y la fecha límite de entrega de los trabajos era el 1 de junio de 1888.

La novela La incógnita Newton se desarrolla precisamente en ese momento, el año 1888, cuando estaba terminando el plazo de entrega de manuscritos. La primera carta de Vanessa es del 8 de febrero y la última del 11 de junio. Al principio de la novela se va explicando el problema de los tres cuerpos y el contexto histórico alrededor del mismo. Incluso, en la sexta carta se va incluyendo poco a poco y comentando el texto del anuncio del premio, que empieza así:

SU MAJESTAD Óscar II, deseoso de dar una nueva prueba del gran interés que […] siente en el progreso de las ciencias matemáticas, un interés que […] ha expresado en otras ocasiones promoviendo la publicación de las Acta Mathematica, que se realiza bajo SU augusta protección, ha decidido conceder, el 21 de enero de 1889, sexagésimo aniversario de SU nacimiento, un premio para un importante descubrimiento en el ámbito de la matemática analítica superior. El premio consistirá en una Medalla de Oro con la imagen de SU MAJESTAD, de un valor de mil francos, así como la suma de dos mil quinientas coronas (una corona = un franco y cuarenta céntimos).

Lo que no aparece en la novela es el desenlace del premio, que es también una historia muy interesante, que puede leerse en el libro Poincaré and the Three Body Problem, de June Barrow-Green. Efectivamente, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912), recibió el premio el 21 de enero de 1889, por su memoria Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Sin embargo, mientras se preparaba el manuscrito para su publicación, se descubrió un error en el mismo que Poincaré corregiría en los siguientes meses. Se ordenó parar la impresión de la revista Acta Mathematica que contenía la memoria de Poincaré, pero fue tarde y algunos ejemplares de la revista fueron ya enviados a sus suscriptores. Se ordenó destruir todas las copias ya impresas y volver a imprimir la revista con la versión corregida. Poincaré mismo cubrió el coste de volver a imprimir la revista. Aunque el nuevo resultado obtenido por Poincaré como fruto de su error fue el inicio de la Teoría del caos, los primeros destellos del comportamiento caótico en sistemas dinámicos. En conclusión, en relación al problema de los tres cuerpos no existen soluciones analíticas.

Simulación de la trayectoria de un planeta alrededor de dos estrellas. J. C. Sprott, University of Wisconsin
Simulación de la trayectoria de un planeta alrededor de dos estrellas. J. C. Sprott, University of Wisconsin

2. Investigación matemática. En la novela se reflexiona sobre el trabajo de los matemáticos. Una de las características de la investigación matemática es que en ella juegan un papel importante tanto el trabajo individual, es decir, el enfrentamiento en solitario a la resolución del problema, como el trabajo colaborativo, esto es, la comunicación de los avances realizados a otros matemáticos para contrastar los avances, buscar solución a las trabas aparecidas e incluso discutir posibles vías de poder avanzar en la investigación.

Aunque en ese punto llega también el problema de la autoría de la investigación realizada, puesto que muchas de las grandes ideas de una investigación surgen en conversaciones, más o menos informales, que después se van materializando.

Conferencia de la matemática Maryam Mirzakhani, primera mujer en recibir la Medalla Fields de las Matemáticas
Conferencia de la matemática Maryam Mirzakhani, primera mujer en recibir la Medalla Fields de las Matemáticas

También se ve en la novela la arrogancia de algunos científicos, el egoísmo o las ansias de reconocimiento por parte de sus colegas, de la sociedad o incluso de la historia.

En general, se describe con bastante realismo a los matemáticos y su mundo, teniendo en cuenta, eso sí, que es Cambridge a finales del siglo XIX. En la celebración del juicio al joven matemático surgen un par de tópicos. Para el fiscal la investigación matemática puede “descarriar mentalmente al matemático” y llevarlo a la locura, mientras que para la defensa solo los matemáticos jóvenes pueden generar grandes resultados (opinión extendida entre algunos matemáticos).

3. Mujeres, educación, universidad. Otro de los temas que aborda la novela es la educación de las jóvenes, así como el acceso de las mujeres a la universidad y, en general, los problemas que tenían en esa época para poder dedicar su vida a la investigación matemática.

Las mujeres no podían dedicarse a la enseñanza reglada, solo, como en el caso de Vanessa Duncan, a enseñar a niñas. Estas recibían una educación al margen de los niños, y enfocada a lo que se suponía que debía conocer una mujer para su futura vida de esposa y madre. Normalmente esa educación era en pequeñas escuelas solo para niñas.

Las mujeres no eran admitidas en las universidades, por lo que cuando querían estudiar alguna materia debían buscar soluciones alternativas. La matemática francesa Sophie Germain (1776-1831) se escondería bajo el seudónimo de Antoine-Auguste Leblanc y la matemática rusa Sofía Kovalevskaya (1850-1891) acordó un matrimonio de conveniencia para poder viajar a Alemania, pero allí tampoco era posible el acceso de mujeres a la universidad, aunque su talento acabaría convenciendo a Weierstrass para que le diera clase e incluso le dirigiera su tesis doctoral.

¿Sabe usted, señorita Duncan, que el señor Weierstrass es muy famoso por haber tenido no sólo “hijos” matemáticos sino una “hija”? Sí, la famosa Sofía Kovalieskaia fue alumna suya y hace dos años ganó el Premio Bordin de la Academia de Ciencias Francesa con un artículo tan interesante que doblaron la dotación económica del premio para recompensarlo como se merecía. Ahora ocupa una cátedra extraordinaria en Estocolmo, trabaja en la redacción de este periódico [Acta Mathematica] que tengo en las manos y asesora a Mittag-Leffler, creo, en la organización del Concurso del Aniversario.

Caricaturas de Sophie Germain y Sofia Kovalevskaya, realizadas pr E. Morente y G. Basabe, para la exposición El rostro humano de las matemáticas, de la Real Sociedad Matemática Española
Caricaturas de Sophie Germain y Sofia Kovalevskaya, realizadas pr E. Morente y G. Basabe, para la exposición El rostro humano de las matemáticas, de la Real Sociedad Matemática Española

A finales del siglo XIX se empezó a permitir que las mujeres, tras pasar un examen análogo al de los hombres, fueran a estudiar a las universidades de Cambridge y Oxford (hacia 1870), pero no recibían título alguno (lo cual no sería posible hasta 1920), ni después podían realizar un doctorado. Es de destacar que a las mujeres se les exigiera el mismo nivel que los hombres, al realizar un examen similar, cuando no habían podido tener una enseñanza reglada similar, no había escuelas que las ayudaran a formarse y encima tampoco se les iba a conceder un título al terminar sus estudios.

Para poder realizar la tesis doctoral la matemática británica Grace Chisholm (1868-1944), que en la novela aparece cuando aún es estudiante de matemáticas en uno de los collages que admitía a mujeres, Girton College, tuvo que marcharse a Gotinga, donde ya se había doctorado Sofia Kovalevskaya. En la novela solo se comenta que “La señorita Chisholm abandonará audazmente su país para estudiar en una tierra desconocida, solo por amor a las matemáticas”.

4. Lewis Carroll. El autor de Alicia en el país de las maravillas (1865), Lewis Carroll, seudónimo del profesor de matemáticas de Oxford Charles L. Dodgson (1832-1898), está muy presente en toda la novela.

Vanessa Duncan acude a una librería y le pide consejo al librero sobre libros de matemáticas.

«Pero ¿no lee usted The Monthly Packet señorita?», me preguntó, asombrado […]. «El señor Lewis Carroll, matemático, publicaba allí problemas para jóvenes. No hay mejor manera de enseñar a razonar y, a la vez, disfrutar haciéndolo.» Me tendió una gran pila de ejemplares viejos y polvorientos y yo me los llevé a casa sin más tardanza y los hojeé hasta encontrar los rompecabezas de los que me había hablado. No había leído nunca The Monthly Packet, querida, y es tan edificante…

Lewis Carroll publica en la revista Un cuento enmarañado, una historia por capítulos (diez nudos) con problemas de ingenio dentro. Vanessa reproduce el primer nudo entero, en una de las cartas, lo que permite al lector enfrentarse al problema de ingenio incluido si lo desea.

Ilustración de un cuento enmarañado (1880-1885), de Lewis Carroll, realizada por el ilustrador Arthur B. Frost
Ilustración de un cuento enmarañado (1880-1885), de Lewis Carroll, realizada por el ilustrador Arthur B. Frost

La revista The Monthly Packet (cuyo nombre entero era The Monthly Packet of Evening Readings for Younger Members of the English Church), fundada por la novelista Charlotte Yonge, era una revista para “chicas anglicanas (jóvenes) de clase media y alta”, aunque entre sus lectores se incluían hombres, personas adultas y a las clases bajas. Otra revista de la que se habla en la novela es The Woman’s world.

Se llama Mundo de mujeres y la dirige un tal señor Oscar Wilde. – Hace poco que se ha hecho cargo de la dirección de la revista -me explicó el señor Weatherburn-. Le ha dado un aire más literario ya que, previamente, sólo contenía artículos sobre moda. La relación de Oscar Wilde con el bello sexo parece ser de franca amistad y simpatía, como sólo puede desarrollarla un hombre muy especial. Las colaboradoras son exclusivamente femeninas. He disfrutado mucho leyéndola en el tren y le recomiendo, sobre todo, el relato firmado por Amy Levy.

Oscar Wilde dirigió esta revista para el grupo emergente de mujeres que habían recibido educación, recogiendo su nueva posición en la sociedad británica. El objetivo del escritor irlandés fue centrarse en lo que las mujeres “pensaban y sentían” y no escribir solamente de moda.

Portada de la revista editada por Oscar Wilde, The Woman’s World
Portada de la revista editada por Oscar Wilde, The Woman’s World

De una de las cartas de Vanessa: “Nos entretuvimos con unos cuantos juegos de salón, sobre todo acertijos. Primero, el señor Morrison nos deleitó con una hermosa charada del señor Lewis Carroll, a quien conoce personalmente”.

Las charadas son un pasatiempo, que consiste en adivinar una palabra, o una frase, la cual se descompone en partes, por ejemplo, en las sílabas de la palabra (primera, segunda,… y todo es la palabra entera), dándose pistas sobre cada una de esas partes, juegos de palabras o similitudes fonéticas, y suelen expresarse como pequeños poemas, aunque en la actualidad se juega como un juego de mímica.

En la wikipedia podemos leer algún ejemplo: 1) Curóme un todo en un mes / Dos apetito uno tres (solución: car-de-nal); 2) En segunda de primera / van mil todos por la acera (solución: ti-pos).

Lewis Carroll era aficionado a las charadas, para cuya creación demostró tener mucho arte. Catherine Shaw hace jugar a algunos de los personajes a construir charadas. Aquí os dejo una de ellas: “Mi primera es imprevisible y obstinada; / por su culpa nos ponemos abrigos y sombrero. / La segunda puede ser terriblemente dolorosa; / es lo que Ulises hizo con sus naves. / La suma es alguien de esta habitación; / Seguro que adivinaréis fácilmente a quien”. La solución es Weather-burn (weather es tiempo en inglés y burn es quemar), que es el apellido del joven matemático del que está enamorado Vanessa Duncan.

Charada manuscrita de Lewis Carroll, con ilustraciones incluidas, cuya solución es I-magi-nation
Charada manuscrita de Lewis Carroll, con ilustraciones incluidas, cuya solución es I-magi-nation

Y se hace una breve mención a Alicia en el país de las maravillas (1865), cuando Vanessa tiene que entrevistarse con el rey Oscar II de Suecia: “Intenté imaginarme hablando con el rey y no era fácil: pensé si no parecería una suerte de Alicia dirigiéndose respetuosamente al gato de Cheshire”.

5. Matemáticas y matemáticos. La incógnita Newton es una novela de intriga que tiene como escenario de los asesinatos y la investigación de los mismos una pequeña parte de la historia de las matemáticas. Se incluyen varios personajes de la historia de las matemáticas, algunos que aparecen personalmente en la novela, y otros que simplemente son mencionados.

Entre los personajes matemáticos que aparecen están el matemático sueco Gösta Mittag-Leffler, quien organiza la competición matemática para buscar la solución al problema de los tres cuerpos. En la parte final de la novela, la maestra-investigadora Vanessa Duncan viaja a Estocolmo a entrevistarse con él para intentar exculpar al joven matemático de los asesinatos de sus tres colegas y descubrir además quien, o quienes, son los asesinos, para ello necesita ver que manuscritos han sido enviados desde Cambridge. El nombre de Gösta Mittag-Leffler también está asociado a la no existencia de Premio Nobel de Matemáticas, debido a la rivalidad entre Alfred Nobel y el matemático. Así mismo, está asociado al nombre de Sofía Kovalevskaya, a quien ayudó a tener una posición en la Universidad de Estocolmo. En ese viaje Vanessa Duncan también se entrevistaría con el monarca Oscar II de Suecia, que también tenía formación matemática.

Otro de los personajes que aparecen en la novela es el matemático británico Arthur Cayley (1821-1985). La protagonista de La incógnita Newton acude a uno de los acontecimientos, tanto científico como social, de ese año, la conferencia de Arthur Cayley en defensa de la utilización de Los Elementos de Euclides en la enseñanza de las matemáticas.

Yo no sabía que la cuestión de Euclides pudiera suscitar tantas pasiones en los corazones de sus seguidores y de sus enemigos. El profesor Cayley sostuvo que la única puerta para acceder a las matemáticas era Euclides, que el pensamiento matemático alcanzaba la máxima perfección posible en sus obras y que nunca era demasiado pronto para empezar a estudiarlas. Recomendó encarecidamente su enseñanza a los niños y dijo que no debía abandonarse nunca su estudio hasta alcanzar un dominio absoluto de los volúmenes existentes.

La matemática Grace Chisholm aparece en la novela cuando solo era estudiante de matemáticas, así como el matemático que era su tutor, William Young, que acabaría casándose con ella.

Y entre los matemáticos citados en la novela están Isaac Newton (quien propuso el problema de los tres cuerpos), Gustav Lejeune-Dirichlet, Leopold Kronecker, Lazarus Fuchs, Charles A. Briot, Jean Cloude Bouquet, Henri Poincaré (el trabajo de estos matemáticos, en relación al problema de Newton, también es citado en el texto de la convocatoria), Karl Weierstrass, Sofía Kovalevskaya y Lewis Carroll.

Bibliografía

1.- Catherine Shaw, La incógnita Newton, rocaeditorial, 2005.

2.- June Barrow-Green, Poincaré and the Three Body Problem, American Mathematical Society – London Mathematical Society, 1997.

3.- June Barrow-Green, Oscar II’s Prize Competition and Error in Poincaré’s Memoir on the Three Body Problem, Archive for History of Exact Sciences, 48, n. 2, pp. 107-131, 1994.

4.- Richard Montgomery, reseña del libro The Three Body Problem, A Cambridge Mistery (Catherine Shaw), Notices of the AMS, 2006.

5.- Dava Sobel, Longitud, Debate, 1997.

6.- VV.AA., El rostro humano de las matemáticas, Nivola, 2008.

7.- Adela Salvador Alcaide, La enseñanza de la geometría en dimensión tres vista por Grace Chisholm Young, Un Paseo por la Geometría, UPV/EHU, 2006/2007.

8.- Isa Bowman, The Story of Lewis Carroll

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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